CHAPITRE III Hypothèses de la Résistance des Matériaux Hautes Etudes d’Ingénieur 13, rue de Toul 59046 Lille Cedex Résistance des Matériaux Cours de Tronc Commun CHAPITRE III Hypothèses de la Résistance des Matériaux

I. Hypothèses générales I.1 Sur les solides En RDM, les solides étudiés portent le nom de poutres. Par définition, une poutre est un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de gravité G décrit une courbe (g) (la ligne moyenne), (S) restant perpendiculaire à (g) . très long / à ses dimensions transversales, (g) rectiligne ou à très faible courbure, section constante (S) ou lentement variable. (g) (S) G

I. Hypothèses générales I.2 Sur les matériaux Les matériaux utilisés doivent être : homogènes : mêmes propriétés mécaniques en tout point, isotropes : en un même point, mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions (non vérifié pour le bois, les matériaux composites…). I.3 Sur les déformations Les déformations doivent être : petites  réversibles, lentes  à chaque instant le corps peut être considéré comme étant en équilibre statique.

I. Hypothèses générales I.3 Sur les déformations Hypothèse de BERNOUILLI Les sections droites planes et perpendiculaires à la ligne moyenne, restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation.

I. Hypothèses générales I.3 Sur les déformations Principe de superposition La déformation (ou la contrainte) en un point M de la poutre due à plusieurs actions mécaniques extérieures est égale à la somme des déformations (ou des contraintes) dues à chaque action mécanique extérieure prise isolément. Intérêt: ramener un système composé (complexe) à une somme de systèmes simples.

II. Actions intérieures – Forces de cohésion II.1 Définition Lorsqu’un solide est soumis à un système de forces extérieures, il s’exerce, au cœur du matériau constituant le solide, des forces intérieures (non visibles) permettant au solide de garder son intégrité physique. Ces forces intérieures portent aussi le nom de forces de cohésion.

II. Actions intérieures – Forces de cohésion II.1 Définition Pour mettre en évidence ces forces de cohésion, on peut effectuer une coupure fictive suivant un plan perpendiculaire à la ligne moyenne, séparant la poutre en deux tronçons E1 et E2, tel que E=E1+E2. Si on isole le tronçon de gauche (E1), les forces de cohésion représenterons les efforts exercés par le tronçon de droite (E2) sur le tronçon de gauche (E1).

II. Actions intérieures – Forces de cohésion II.2 Eléments de réduction Ce sont les différentes composantes des actions intérieures exprimées par rapport au centre de gravité G de la section S de la coupure fictive. Les expressions des éléments de réduction seront des fonctions de x, l’abscisse du centre de gravité G de la section S.

II. Actions intérieures – Forces de cohésion II.2 Eléments de réduction En 3D Effort Normal Efforts Tangentiels = Efforts tranchants Moments de flexion Moment de torsion

II. Actions intérieures – Forces de cohésion II.2 Eléments de réduction En 2D T Mf On isole le tronçon de gauche N Remarque: les conventions de signe sont choisies arbitrairement. Celles présentées sont celles le plus couramment utilisées (si Mf>0, la fibre inférieure est tendue) On isole le tronçon de droite N T Mf

II. Actions intérieures – Forces de cohésion II.3 Détermination des éléments de réduction T Mf On isole le tronçon de gauche N Lorsqu’on a isolé le tronçon de gauche, on applique le principe fondamental de la statique : on écrit l’équilibre du tronçon de gauche soumis aux efforts extérieurs et aux efforts exercés par le tronçon de droite sur le tronçon de gauche (c’est à dire les éléments de réduction des forces de cohésion) Remarque: on peut procéder de manière identique en isolant le tronçon de droite, les résultats sont inchangés (si on n’oublie pas d’utiliser la bonne convention de signes!!)

II. Actions intérieures – Forces de cohésion II.3 Détermination des éléments de réduction Il faut connaître les efforts extérieurs appliqués au solide. Donc, pour déterminer les EDR, il faut d’abord calculer les réactions d’appui. A chaque discontinuité (de géométrie ou liée à l’apparition d’une nouvelle force), il faut faire une nouvelle coupure. Les éléments de réduction étant des fonctions de x (abscisse du centre de gravité de la section où on coupe), on peut tracer des diagrammes (de l’effort normal, de l’effort tranchant et du moment fléchissant). Il existe une relation entre l’effort tranchant et le moment fléchissant:

III. Nature des sollicitations Forces de cohésion Traction ou Compression N Cisaillement simple T Torsion simple Mt Flexion pure Mf Flexion simple T+Mf Flexion composée N+T+Mf Sollicitations simples