Problèmes de distribution, problèmes de partage. Séquence MS/GS/CP Problèmes de distribution, problèmes de partage. Objectifs généraux Construction du nombre entier : Comparer des collections, mémoriser la suite des nombres, dénombrer, représenter des nombres. Première approche du nombre rompu : Dans une situation de partage avec reste, traiter du partage de ce reste.

Avertissements Le matériel présenté sur le document n’est proposé qu’à titre indicatif. Les variables données pour chaque situation permettent la déclinaison des séances en étapes indispensables à la réalisation des objectifs (chaque situation donnera donc lieu à plusieurs séances).

Matériel utilisé Une piste (route + trottoir) Des véhicules Des personnages Les véhicules, ici de 6 places, peuvent être autres (4, 8, 12). On envisagera des barquettes (n’induisant pas un nombre de passagers) pour complexifier la situation.

Situation 1 distribution Objectifs : Être capable de répartir une collection d’objets. Observer qu’un problème peut avoir plusieurs solutions (plusieurs répartitions sont possibles). Comparer des quantités. Dénombrer. Utiliser à bon escient : moins de, plus de, etc...

« Fais monter ces 11 passagers dans 4 voitures. Il doit y avoir : Situation 1, distribution « Fais monter ces 11 passagers dans 4 voitures. Il doit y avoir : -des passagers dans toutes les voitures, -plus aucun passager sur le trottoir -au moins 2 passagers par voiture.  -pas plus de 5 passagers par voiture .» Renvoi vérification

Annexe Situation 1 Variables : Nombres de personnages, de véhicules. Contrainte : la contrainte des nombres mini et maxi de passagers pourra être revue, voire enlevée avec des MS.

situation 2 distribution Objectifs : Être capable de répartir une collection d’objets. Observer que pour certains problèmes, la solution est unique (ici 6, 6, 5). Comparer des quantités. Dénombrer. Utiliser à bon escient : moins que, plus que, autant.

« Fais monter ces 17 passagers. Il faut : Situation 2, distribution « Fais monter ces 17 passagers. Il faut : -Ne plus avoir de passager sur le trottoir. -Utiliser le moins de voitures possibles.  -Prendre au garage les voitures nécessaires.»

Annexe situation 2 Variables : Nombres de personnages et de places dans les véhicules. Contrainte : le garage est éloigné et on ne peut s’y rendre qu’une seule fois.

Situation 3 partage Objectifs : Être capable de partager équitablement une collection d’objets (partage sans reste). Prendre conscience de l’égalité (cardinale) de chaque part (quotient). Utiliser à bon escient : autant que.

« Fais monter ces 20 passagers dans 4 voitures. Il faut : Situation 3, partage « Fais monter ces 20 passagers dans 4 voitures. Il faut : - Ne plus avoir de passager sur le trottoir - Autant de passagers dans chaque voiture.» Renvoi distribution

Annexe situation 3 Variables : Nombres de personnages, de véhicules [avec un nombre de personnages qui est multiple du nombre de véhicules]. Proposer une distribution (non équitable) des personnages dans les véhicules et demander aux élèves de modifier le nombre de passagers afin de répondre à la consigne (qu’il y en ait autant dans chaque véhicule).

Situation 4 partage Objectifs : Être capable de partager équitablement une collection d’objets (partage sans reste). Prendre conscience de l’égalité (cardinale) de chaque part (quotient). Utiliser à bon escient : autant que. Prendre conscience qu’une même quantité peut donner lieu à des partages différents.

« Fais monter ces 20 passagers dans des voitures. Il faut : Situation 4, partage « Fais monter ces 20 passagers dans des voitures. Il faut : - Ne plus avoir de passager sur le trottoir. - Autant de passagers dans chaque voiture. - Prendre au garage les voitures nécessaires» Renvoi tâche Renvoi X solutions

Annexe situation 4 Variables : Nombre de personnages influençant le nombre de solutions qui peut être 0 si nombre premier. Exemple a : 12 = 2X6 = 3X4 = 4X3 = 6X2 Exemple b : 15 = 3X5 = 5X3 Exemple c : 13  pas de solution (sauf avec 13 véhicules) Nombre de places par véhicule : on pourra proposer des véhicules à 8 places. Contrainte : le garage est éloigné et on ne peut s’y rendre qu’une seule fois.

Situation 4b partages Objectifs : Être capable de partager équitablement une collection d’objets (partage sans reste). Prendre conscience de l’égalité (cardinale) de chaque part (quotient). Utiliser à bon escient : autant que. Comparer les résultats de ces différents partages : mettre en évidence la relation nombre de voitures nombre de passagers (plus le diviseur est grand, plus le quotient est petit). 12 = 6X2 = 4X3 = 3X4 = 2X6

« Fais monter ces 12 passagers dans des voitures. Il faut : Situation 4b, partages « Fais monter ces 12 passagers dans des voitures. Il faut : - Ne plus avoir de passager sur le trottoir. - Autant de passagers dans chaque voiture. Prendre au garage les voitures nécessaires Faire deux partages différents »

Annexe situation 4b Variables : Nombre de personnages influençant le nombre de solutions. A cet égard, 3 types de problèmes sont envisageables. Le résultat (2 solutions) peut comporter des véhicules à 1 seul passager : 2, 3, 4, 5, 6 , passagers au départ Le résultat comporte bien 2 solutions (8, 10, 12, 15, 24 par exemples) La consigne ne peut être réalisée car 1 seule possibilité (7, 9, 14 par exemple), voire aucune (11, 13) Contrainte : le garage est éloigné et on ne peut s’y rendre que deux fois (1 fois par partage). Remarque : le fait de proposer 10 véhicules permet les 2 solutions pour 24

Situation 5 partage avec reste Objectifs : Être capable de partager équitablement une collection d’objets. Prendre conscience que des partages peuvent tomber juste ou pas Observer et retenir que le reste est toujours < que le nombre de véhicules (diviseur)

Situation 5, partage avec reste « Il y a 19 passagers. Fais en monter le plus possible dans ces 4 voitures. Attention, il faut : - Autant de passagers dans chaque voiture.»

Annexe situation 5 Variables : Généralisation Nombre de voitures, de personnages. Pour un même nombre de personnages, la variation du nombre de véhicules peut mettre en exergue le fait de tomber juste ou pas. Exemple 16 = 4X4 et 16 = (3X5)+1 Généralisation On multipliera les situations afin de mettre en évidence les 2 objectifs citées précédemment. A cet égard, on pourra proposer : 13 billes entre 2 enfants 11 biscuits entre 3 enfants 17 cartes entre 2 enfants puis entre 3 enfants Le partage des tablettes de chocolat..

Exemples d’illustrations Distribution. Entrée dans la tâche Plusieurs résultats pour une même situation. Validation, remédiation.

à une tâche préparée et réfléchie. Les possibilités d’anticipation sont variables. On passera d’une tâche réalisée de manière impulsive et spontanée (variante de la situation 4, avec 12 passagers, garage éloigné et 1 seul déplacement). à une tâche préparée et réfléchie. Situation 4

Prendre conscience qu’une même quantité peut donner lieu à des partages différents (variante de la situation 4, avec 12 passagers). Situation 4

à une distribution réfléchie, organisée, avec vérification. La distribution en elle-même pose problème. On passera d’une distribution réalisée de manière aléatoire, à une distribution réfléchie, organisée, avec vérification. Situation 3b de partage Situation 3b

Vérification des différentes contraintes de la consigne, réajustement, validation. (situation 1) Avec intervention de la maîtresse Individuellement ou par un pair Situation 1