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1 seule fois, svp

Primitives – Intégration  un dernier exemple La probabilité de rencontre entre deux individus d’une même espèce

Probabilité de se rencontrer au temps t

Probabilité de se rencontrer entre t1 et t2

 L’exemple des tourterelles en Grande Bretagne La modélisation  L’exemple des tourterelles en Grande Bretagne

Croissance d’une population de tourterelles Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne : 1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964 ! On s’intéresse à l’accrois- sement de la population de ces tourterelles en GB.

Données de recensement Temps Nombre de lieux 1955 1 1956 2 1957 6 1958 15 1959 29 1960 58 1961 117 1962 204 1963 342 1964 501

Un autre regard Variation du nombre de lieux : DN = a N Dt

Un autre regard L’accroissement du nombre de lieux : DN = a N Dt

Un autre regard L’accroissement du nombre de lieux : DN = a N Dt D’autres hypothèses : Les individus sont isolés les uns des autres Pas de compétition intra-spécifique Ils sont bien représentés par leur moyenne Pas de variabilité individuelle

Équation différentielle Accroissement Accroissement relatif Solution Équation différentielle

Retour sur un autre exemple Lors de l’administration d’un médicament par injection intraveineuse, la quantité de médicament dans le sang (QMS) est instantanément maximale, puis décroît… pourquoi ?

Exemple en pharmacocinétique A chaque instant t, la variation de la quantité de médicament dans le sang est proportionnelle à la quantité de médicament dans le sang à l’instant t : Solution Équation différentielle

Les équations différentielles

Un peu d’histoire La notion d'équation différentielle apparaît chez les mathématiciens à la fin du XVIIème siècle. Leibniz sera l'inventeur en 1686, en même temps que Newton, du calcul différentiel et intégral. A cette époque, les équations différentielles s'introduisent en mathématique par le biais de problèmes d'origine mécanique ou géométrique. Ce n’est qu’au XXème siècle que les équations différentielles trouvent de nombreuses applications dans les Sciences de la Vie

Définition On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x et les valeurs y, y’, y’’, …, y(n) d’une fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x.

Lexique général Dérivée première Dérivée n ième

Lexique général Résoudre (intégrer) Conditions initiales Solution particulière Courbe intégrale

Une infinité de solutions y’  y(x) : notion de primitive Si y(x), alors y(x) + Cste est aussi solution

Un exemple trivial On cherche y(x) telle que y’ (x) = x On cherche la primitive de y(x) :

 Quelques méthodes types Pour aller plus loin  Quelques méthodes types

Équations Différentielles d’ordre 1 À variables séparables Homogènes Linéaires Sans second membre (SSM) Avec second membre (ASM) À coefficients constants Condition initiale :

Prochain RDV Vendredi 01/10 à 8h15 Équations Différentielles Suite et fin ATTENTION, vendredi EVALUATION TD