Cinématique Étude du mouvement d’un corps en fonction du temps, indépendamment de toute cause pouvant le provoquer ou le modifier. Le mouvement s’effectue le long d’une trajectoire, la trajectoire se trouve sur une courbe (droite, arc, …) Mouvement : modification de la position d’un corps pendant un intervalle de temps. On attribue à la position du corps une ou plusieurs valeurs numériques (coordonnées) qui situent le corps en fonction du temps dans un référentiel. Trajectoire : l’ensemble des positions successives du corps dans l’espace.

On distingue : Mouvement rectiligne uniforme : la trajectoire se trouve sur une droite, la vitesse est constante en direction et en norme. Le vecteur vitesse V est constant, en direction et en norme. Mouvement rectiligne uniformément accéléré : la trajectoire se trouve sur une droite, la direction du déplacement est constante, mais la norme de la vitesse varie au cours du temps (augment ou diminue). L’accélération (ou la décélération) est constante. Le vecteur vitesse V est constant en direction, mais sa norme varie. Mouvement rectiligne varié : l’accélération n’est pas constante dans le temps. Mouvement circulaire uniforme : la trajectoire se trouve sur un cercle ou un arc de courbe. La norme du vecteur vitesse V est constante, mais sa direction change. Mouvement curviligne : la trajectoire se trouve sur une courbe. La norme du vecteur vitesse et sa direction changent au cours du temps.

Notion de référentiel La description du mouvement d’un point matériel exige de connaître sa position dans l’espace à tout instant. Pour cela, nous devons définir : Un repère d’espace Une horloge L’ensemble repère – horloge constitue un référentiel. Tout observateur est muni d’un temps t associé à une horloge et d’un espace affine E (ou vectoriel) orienté à 3 dimensions. À tout instant t, il existe un point M(t) de l’espace E avec lequel coïncide le point matériel à l’instant t (point coïncidant). Dans l’espace à 3 dimensions, il faut trois données (coordonnées) pour définir la position d’un point M.

Mouvement à une dimension Vitesse : Vitesse moyenne : Vitesse instantanée : C’est la limite de cette expression quand l’intervalle de temps Dt tend vers un infiniment petit dt :

Accélération accélération moyenne : La vitesse d’un mobile est susceptible de varier, elle peut : Augmenter (accélération positive > 0) Diminuer (accélération négative < 0) si la vitesse est constante, l’accélération est nulle L’accélération rend compte de la rapidité avec laquelle la vitesse change. Remarque : si la vitesse et l’accélération ont même signe, l’accélération est positive, si leurs signes différent, l’accélération est négative. accélération instantanée :

Équation du mouvement : équation horaire L’équation horaire d’un mouvement rectiligne, uniformément accéléré s’écrit : Cette équation est obtenue par intégration de la définition de l’accélération g : d’où Puisque g est constante, on peut la sortir de l’intégrale, K est une constante d’intégration que l’on détermine à partir des conditions initiales (position et vitesse). En appelant vo la vitesse à l’instant t = 0, on a : De même : K’ est déterminée à partir de la position initiale xo à t = 0 :

Systèmes de coordonnées

Rappels sur le calcul vectoriel  Une quantité physique peut être déterminée entièrement :   par sa grandeur  SCALAIRE c’est le cas d’un volume, du temps, de la masse, de l’énergie .... par sa grandeur et sa direction  VECTEUR c’est le cas d'un déplacement, d’une vitesse, d’une accélération, d'une force ... = vecteur unitaire | | = 1 O A

Addition elle est commutative :   associative : on peut faire l'addition de deux vecteurs graphiquement : + = on peut aussi faire l'addition de façon analytique : en prenant des coordonnées cartésiennes  d’où :

Coordonnées cartésiennes : z M j i k y x m

Système de coordonnées polaires planes, (cylindriques dans 3D) O q M r Axe polaire Angle polaire = vecteur unitaire (vecteur radial) Dans l’espace à 3 dimensions, on ajoute la coordonnée z : Les 3 coordonnées de M sont alors : Les relations entre coordonnées cartésiennes et cylindriques sont :

Dérivée d’un vecteur tournant par rapport à son angle polaire uq x y O i j ur M q Or : D’où : Finalement :

Système de coordonnées sphériques Le vecteur OM est représenté dans la base Avec r = OM toujours positif q = (OZ, OM) j = (OX, OM) Le vecteur OM s’écrit : Les coordonnées de M sont : Les relations entre coordonnées cartésiennes et sphériques de M sont :

Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs (on dit A scalaire B) est la quantité scalaire (un nombre) que l’on obtient en multipliant le produit des grandeurs |A| et |B| des deux vecteurs par le cosinus de l’angle qu’ils forment : où et Propriétés : La relation constitue un critère d’orthogonalité des deux vecteurs. Le produit scalaire de deux vecteurs peut être considéré comme le produit de la grandeur d’un des vecteurs par la projection de l’autre sur le premier :

Le produit scalaire est commutatif : car distributif par rapport a l’addition : Expression analytique (en cartésiennes) :

Produit vectoriel produit vectoriel (produit extérieur) de deux vecteurs (on dit A vectoriel B, ou A cross B) faisant entre eux un angle orienté q est un vecteur perpendiculaire au plan formé par Sa grandeur est : Sa direction est telle que

Propriétés La relation constitue un critère de parallélisme de deux vecteurs non nuls. La grandeur du produit vectoriel est égale à la surface du parallélogramme formé par les deux vecteurs . Le produit vectoriel est anti-commutatif : distributif par rapport à l’addition : Expression analytique :

Vecteur rotation Pour un mouvement dans un plan, on peut définir un axe perpendiculaire à ce plan. En désignant par k le vecteur unitaire porté par cet axe, on définit le vecteur rotation : Remarque : En tenant compte des propriétés du produit vectoriel et de , nous pouvons écrire : w ur -ur uq De manière analogue, nous obtenons :

Mouvement dans l’espace : expression des vecteurs vitesse et accélération dans un référentiel galiléen Cartésiennes : où Sont les composantes du vecteur vitesse dans la base où Sont les composantes du vecteur accélération dans la base

Polaires, cylindriques :

Si le mouvement est circulaire (r = constante) et uniforme (vitesse angulaire = constante) Le vecteur accélération s’écrit : L’accélération centripète est dirigée vers le centre de la trajectoire

Vitesse le long d’une trajectoire : Sur la trajectoire on définit l’abscisse curviligne s La direction de la vitesse est toujours celle de la tangente orientée t à la courbe représentative de la trajectoire s :