Atelier Centre Galois Juin 2010 Le ballon de foot Atelier Centre Galois Juin 2010 Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM LE BALLON DE FOOT Vous avez déja shooté dedans! Mais l'avez vous déja observé? Savez-vous que des scientifiques travaillent toujours pour mettre au point le ballon de foot idéal. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Pour jouer au football, on veut une balle qui évolue avec la même facilité dans toutes les directions. On peut facilement le prendre à la main!! Que pensez vous de ce ballon? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Le jeu au pied est plus compliqué! Les rebonds sont aléatoires. De quoi donner du piquant au jeu de rugby!! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

La trajectoire du ballon dépend de sa position au sol Voyons voir, comment je vais disposer ce ballon? La position du ballon sur le tee définit déjà sa trajectoire Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Comparons les symétries du ballon de rugby avec celles du ballon de foot. Imaginez un ballon de rugby posé au sol sur son grand axe. Selon l'endroit où est le joueur qui va tirer, l'objet semble différent. Le ballon de foot lui est le même! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Dans les temps préhistoriques, nos ancètres jouaient au “foot” avec des balles de pierre assez rondes dont on aurait retrouvé quelques exemplaires à Malte. Et la tête!!! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM La forme idéale pour un ballon de foot est donc sphérique. Mais les essais de moulage comme pour les ballons de basket n'en faisaient pas un objet assez souple. A votre avis, pourquoi un ballon de basket ne convient-il pas pour jouer au foot? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Le ballon de plage est sphérique,mais à votre avis, pourrait-il résister à ça ? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM 1930 T-SHAPE Le T-Shape a été le ballon utilisé lors de la première coupe du monde en 1930 en Uruguay. Il se caractérisait ses 12 faces en forme de T Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM 1934 Italie 1938 ALLEN: 13 faces en cuir Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM 1950 12 faces, gonflé avec une valve 1954 18 faces, couleur 1958 Pratiquement identique Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM 1970 Telstar Noir et blanc pour la télé 1966 Challenge couleur 1962 Santiago Longues faces octogonales Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM 1974 Telstar Durlast Marquage change 1978 Tango Rosario 20 faces hexagonales 7 cercles, Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM 1982 Tango espana Dernier cuir, coutures en caoutchouc non solides 1986 Aztequa Ballon synthétique 1990 Etrusco unico Design change Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM 1998 Tricolore Fabriqué hors Europe pour la première fois 2002 Fevernova Look asiatique 1994 Questra imprévisible Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Tous différents mais semblables également Les caractéristiques du ballon de foot de compétition sont définies par la loi 2 du football de International Board. Elles ont été arrétées en 1937. Le ballon doit-être sphèrique, en cuir ou dans une autre matière adéquate, avoir une circonférence de 70cm au plus et 68 cm au moins, un poids de 450g au plus et 410g au moins au début de match et une pression située entre 0,6 et 1,1 atmosphère. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Les patrons On a décidé de faire un ballon en cuir et d'utiliser un patron. Un patron est une représentation à plat du solide qui permet en le repliant de le reconstituer. Essayez d'imaginez un patron pour reconstituer la sphère. La peau de l'orange est-elle plane? Reconnaissez vous ce solide? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Il n'existe pas de patron pour la sphère et les les techniciens ont donc abandonné l'idée de faire un ballon sphèrique pour jouer au football et ils ont fait... de la géométrie Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Pour garder un maximum de symétries, on construit un patron en assemblant des polygones identiques. Quels polygones connaissez vous? Quels sont leurs axes de symétrie? Comment doit-on construire un polygone pour qu'il ait un maximum d'axes de symétrie? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Travail sur le triangle Équilatéral 3 axes de symétrie Quelconque, 0 axe de symétrie Isocèle 1 axe de symétrie Pour avoir le plus d'axes de symétrie, il faut des polygones réguliers!!! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Construire 3 types de polyèdres avec des triangles équilatéraux. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Les polyèdres construits à partir du triangle Le tétraèdre L'octaèdre L'isocaèdre Pour chacun de ces polyèdres,montrez qu'en additionnant le nombre de faces et le nombre de sommets, on obtient le nombre d'arêtes +2. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Peut-on construire un polyèdre régulier avec plus de 5 triangles au sommet ? Non, on ne peut pas faire un toit !!! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Quels polyèdres réguliers peut-on construire avec des carrés? Faites un patron. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Avec le carré Pas possible de faire un sommet avec plus de 3 carrés!! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Pas si facile de dessiner un pentagone régulier

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Quel polyèdre régulier peut-on construire avec des pentagones? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Avec le pentagone Impossible de mettre plus de 3 pentagones au sommet!! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Un hexagone réguliers est facile à construire avec un compas! Peut-on construire un polyèdre avec des hexagones réguliers? Essayez! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Avec l'hexagone Avec 3, la surface est plane, impossible de faire un toit!! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Un peu d’histoire Euclide (300 av JC) a prouvé qu'il existe exactement 5 cinq polyèdres réguliers inscriptibles dans une sphère et dont toutes les faces sont des polygones réguliers isométriques (côtés de même longueur et angles de même mesure). . Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Les solides de Platon Pour le phylosophe Platon, le monde s’appuie sur cinq éléments essentiels : le Feu, l’Air, l’Eau, la Terre et l’Univers. Selon Platon, la perfection de ces polyèdres symbolise par excellence les cinq éléments. On les appelle aujourd'hui « Les solides de Platon ». Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

La description des cinq solides de Platon Tétraèdre 4 faces : triangles équilatéraux 4 sommets 6 arêtes. Le feu Octaèdre 8 faces : triangles équilatéraux 6 sommets 12 arêtes. L’air Icosaèdre 20 faces : triangles équilatéraux 12 sommets 30 arêtes. L’eau Cube 6 faces : carrés 8 sommets 12 arêtes. La terre Dodécaèdre 12 faces : pentagones réguliers 20 sommets 30 arêtes. L’univers Pour chacun de ces polyèdres, constatez qu'en additionnant le nombre de faces et le nombre de sommets, on obtient le nombre d'arêtes +2. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Le Feu, l’Air, l’Eau, la Terre et l’Univers. C'est maintenant évident, parmi les éléments essentiels Platon avait oublié le football!! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Du foot et de la géométrie? Eh oui!! Il se cache bien souvent des formules mathématiques derrière toute chose, comme par exemple …pour calculer la superficie d'une pièce ou encore lorsque nous cuisinons… Notre ballon de foot n'échappe pas à la règle.!!! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM 36

Un polyèdre est dit convexe si il est tout entier contenu dans un des demi-espaces délimités par ses faces. Exemple de la maison La relation d'Euler Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

A votre avis convexe ou non convexe ? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

LA RELATION D'EULER Pour tous les polyèdres convexes, on a la relation F+S=A+2 où F est le nombre de faces, S le nombre de sommets et A est le nombre d'arètes. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Problème mathématique Essayons de construire un polyèdre qui approche la sphère. Il n'est pas forcément régulier. On choisit les faces: triangle, carré, pentagone et hexagone? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Parmi les solides de Platon quel est celui avec lequel vous préfèreriez jouer au foot? Tétraèdre Octaèdre Icosaèdre Dodécaèdre Cube Des propositions autres? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Une idée… L’idéal serait des angles encore moins pointus… Par exemple avec des faces hexagonales. Qu’en pensez-vous? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Recouvrir la sphère Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Problème Peut-on recouvrir la sphère uniquement avec des hexagones? La réponse est NON mais pour répondre à la question on élargit le problème… Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Problème plus large… Peut-on recouvrir la sphère avec des hexagones et des pentagones? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Règles d’assemblage Deux polygones ne sont juxtaposés que quand ils ont une arête commune et on le fera le long de cette arête Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Trois polygones sont juxtaposés s’ils ont un sommet commun et on le fait par leur sommet commun et en juxtaposant les polygones deux à deux comme précédemment indiqué. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Mise en équation x est le nombre de pentagones y est le nombre d’hexagones f est le nombre de faces a est le nombre d’arêtes s est le nombre de sommets Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM x+y = f Pourquoi? Car on a pavé la sphère uniquement avec x pentagones et y hexagones Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM 5x+6y = 2a Pourquoi? Car chaque pentagone possède 5 arêtes , que chaque hexagone possède 6 arêtes et qu’elles sont toutes comptées deux fois car chaque arête appartient à deux polygones Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM 5x+6y = 3s Pourquoi? Même raisonnement cette fois avec les sommets car chaque sommet appartient à 3 polygones Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM f + s = a + 2 Et on a toujours la relation d’Euler Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

d’où le système à résoudre x+y = f 5x+6y = 2a 5x+6y = 3s f + s = a + 2 Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

après quelques calculs… f = 2 + a/3 s = 4 + 2a/3 y = -10 + a/3 et x = 12 Que signifie le résultat x = 12? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Dans n’importe quel pavage de la sphère avec des hexagones et des pentagones, le nombre de pentagones est fixé à 12. Seul le nombre d’hexagones peut varier… Il est donc impossible de paver la sphère avec uniquement des hexagones ( c’est-à-dire 0 pentagones) Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

a doit être un multiple de 3 Pourquoi? car les nombres f, s , y et a doivent être entiers Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Pourquoi? Car les nombres cherchés sont des nombres positifs; en particulier y ≥ 0 c’est-à-dire -10 + a/3 ≥ 0 a/3 ≥ 10 a ≥ 30 Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Un pavage possible On choisit a = 30 alors y = 0 et f = 12. On ne pave la sphère qu’avec des pentagones. Dodécaèdre Le cinquième élément Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Les autres pavages Cette fois, on souhaite paver la sphère avec des pentagones et des hexagones (y ≠ 0) Question: Peut-on joindre 3 hexagones par un sommet? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Non car la somme des angles au sommets serait de 120°+120°+120° et l’angle formé au sommet serait plat: il serait alors difficile de « refermer » la sphère A chaque sommet de la sphère, il y a donc au moins un pentagone Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Les configurations possibles Un pentagone et deux hexagones: l’angle formé au sommet est de 120°+120°+108°=348° Deux pentagones et un hexagone: l’angle formé au sommet est de 120°+108°+108°= 336° Avec quels sommets préfèreriez-vous jouer au foot? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Quel choix? On choisit la configuration qui donne l’angle le plus grand à chaque sommet (celui qui donnera un sommet moins pointu lorsqu’on refermera la sphère) donc à chaque sommet un pentagone et deux hexagones. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Géométrie du ballon de foot Comme il y a x = 12 pentagones, cela fait 12 x 5 = 60 sommets puisque chaque sommet appartient à un pentagone. En reportant s = 60 dans les équations précédentes on obtient : a = 90 , f = 32, y = 20 Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Remarque On aura pu également remarquer qu’ un des solides de Platon a une silhouette qui en la modifiant légèrement est un bon modèle pour le ballon de foot. Pouvez vous dire lequel? Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Indice : Pour arriver à la structure du ballon On a tronqué un des polyèdres au niveau de chacun de ses sommets... Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM 65

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Réponse : On tronque l'icosaèdre au niveau de chacun de ses sommets de façon à “arrondir les angles”. lcosaèdre tronqué : 60 sommets, 20 faces hexagonales qui remplacent les faces triangulaires initiales 12 faces pentagonales (morceaux enlevés autour de chaque sommets) 90 arêtes. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM l'icosaèdre tronqué : 60 sommets, 20 faces hexagonales qui remplacent les faces triangulaires initiales 12 faces pentagonales (morceaux enlevés autour de chaque sommets) 90 arêtes. 66

Le ballon de foot actuel n'est donc pas totalement rond et cela peut-avoir un effet lors des tirs. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

à la découverte des sciences IREM d'Orléans Depuis 1970, l'équipementier sportif Adidas, fournisseur exclusif pour la coupe du monde fournit un ballon spécifique pour chaque coupe du monde…et des scientifiques se penchent sur ce problème à la découverte des sciences IREM d'Orléans

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Jusqu’en 2006, les transformations opérées sur le ballon ne touchent que le design (couleurs , motifs )…en respectant les symétries (pas si simple). A partir de 2006, c’est le patron du ballon qui change Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Le Teamgeist (esprit d'équipe)‏ 2006 Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

que 14 découpage et donc une surface plus Le « Teamgeist » n'a que 14 découpage et donc une surface plus lisse et plus sphérique permettant au joueur une meilleure précision de frappe. . Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM La perfection n’est pas atteinte. Il est trop lisse et les goals se plaignent… Donc nos chercheurs repartent en quête d’un nouveau ballon pour 2010 Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

JABULANI (faire la fête) 2010 Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Jabulani intègre les dernières avancées technologiques. En passant vos mains sur sa surface, la texture grip’n’groove, mélange unique, assure à tout moment un contrôle optimal, des trajectoires stables et une accroche parfaite. Les cercles profilés tournent autour du ballon de façon aérodynamique. Ses rainures lui donnent des caractéristiques en vol inédites. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Moins de coutures, plus de précision Contrairement à ses prédécesseurs, qui utilisaient la technologie des panneaux plats, Jabulani comprend huit panneaux 3D soudés thermiquement. Pour la première fois, ces panneaux sont parfaitement sphériques, ce qui fait de Jabulani le ballon le plus rond et le plus précis qui soit. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Et pourtant… Aux dernières nouvelles, le Jabulani est fortement critiqué par les joueurs… A la fin du tournoi, une réflexion sera menée Et si on revenait à la géométrie pour 2014… Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

à la découverte des sciences IREM d'Orléans Prenez vos règles, vos compas, vos polygones, vos formules mathématiques... et essayez d'imaginer un nouveau ballon pour la coupe du monde de 2014!! à la découverte des sciences IREM d'Orléans

Football et ... sciences physiques Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Une découverte inattendue Des chercheurs ont eu l’idée, en cherchant tout autre chose, d’observer la structure géométrique du ballon de football et de mettre un atome de carbone à chaque sommet…. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Le Carbone 60 était né Ce sont Harold Kroto, Robert Curl et Richard Smalley qui découvrent cette nouvelle molécule de carbone ayant la même structure, le même aspect que l'icosaèdre tronqué. On la nomme C60 ou carbone 60 ou fullerène (du nom de Fuller l’architecte célèbre qui a inventé le dôme géodésique). Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Une utilisation du C60 Les structures composées de ce réseau d'atomes de carbone sont très légères et extrêment solides . Le matériau constitué par les molécules C60 est cent fois plus résistant que l’acier. Il est utilisé pour créer des circuits électroniques beaucoup plus petits que les puces électroniques en silicone d'aujourd'hui …et a été vraiment découvert par hasard!! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM Une utilisation du C60 Les structures composées de ce réseau d'atomes de carbone sont très légères et extrêment solides . Le matériau constitué par les molécules C60 est cent fois plus résistant que l’acier. Il est utilisé pour créer des circuits électroniques beaucoup plus petits que les puces électroniques en silicone d'aujourd'hui …et a été vraiment découvert par hasard!! Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM La solidité de cette structure explique également le choix fait pour le ballon de football puisqu'il faut que le ballon soit très résistant aux coups.La molécule C60 s’appelle aussi la molécule footballène en raison de sa structure. Les inventeursde cette molécule ont reçu en 1996 le Prix Nobel de chimie. Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

Sophie JACQUOT et Isabelle VAN DEN BOOM

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