Enseigner / apprendre le calcul mental… (2) Les principes à faire partager (en deux phases) : Distinguer deux aspects complémentaires dans le calcul mental : 1 (essentiel du diaporama [1]) - mémorisation des tables (des faits numériques) – des connaissances (immédiatement disponibles) 2 - (essentiel du diaporama [2]) – enseignement et automatisation des procédures (ce qui suppose quelles soient explicitement enseignées) – des capacités à exercer reposant sur les connaissances (des faits numériques et des nombres). le savoir expert (la compétence) : c’est la procédure personnelle que l’élève choisit parmi les procédures expertes qu’il a apprises ; celle-ci est dépendante des relations particulières entre les nombres en présence. Les tables sont enseignées en classe ; l’apprentissage de la mémorisation est conduit par l’enseignant (à la maison on reprend, révise…) Les procédures spécifiques de calcul mental (à distinguer des techniques opératoires : on ne pose jamais une opération « dans sa tête ») sont identifiées et enseignées chacune explicitement, découvertes, identifiées, nommées, institutionnalisées (cahier « outil ») produites enfin. Le passage à l’écrit (calcul en ligne, arbres à calcul, droite graduée) est une étape incontournable de tout début d’apprentissage des procédures (et un support important de l’explicitation de tout élève relatant sa procédure…) Le niveau expert en fin d’école élémentaire (à décliner à chaque niveau de l’école) : c’est la capacité de choix (y compris celui de renoncer à une procédure automatisée…) tenant compte de l’identité et des relations des nombres en présence au regard des techniques apprises et maîtrisées (lien important avec la « numération ») : « L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification » calcul mental (2)

45 + 17 45 - 17 45 x 17 45 / 17 Faire du calcul mental… Ex. Calculer mentalement : 45 + 17 45 - 17 45 x 17 RAPPEL : le premier calcul a été proposé aux stagiaires. Quelles propriétés y sont en jeu ? Comment chacun résout-il mentalement ce calcul ? Noter les propositions (diapo suivante) L’enseignement des procédures est une priorité, complémentaire de l’apprentissage des tables, mais peu explicite dans les programmes (diapo suivante). En reprenant l’exemple précédent, parmi les procédures utilisées, on en retiendra quelques-unes sur les bases suivantes : 1- Une analyse comparée : Calcul dit ou pensé par rapport à ce qui est écrit (mathématiquement – règles d’écriture / symboliquement – représentation) Calcul dit : Ex. « quarante-cinq plus dix cinquante-cinq plus sept soixante-deux » Nb. Ainsi, si on demande à l’élève d’écrire ce calcul on lui « impose » une écriture erronée : 45+17=45+10=55+7=62 Calcul écrit : Ex. 45+17 = 45+10+7=55+7=62 Le calcul écrit en ligne (pas la technique opératoire) mérite une approche spécifique (algébrique) : l’enseignant traduit en ligne le choix des décompositions permettant d’utiliser des relations privilégiées connues des élèves (cet exemple est transposable dès le CP : les valeurs seront adaptées). Calcul représenté : .Les arborescences permettent une représentation des calculs partiels .La ligne numérique doit être un support privilégié des représentations 2 – Une analyse comparée du « coût » en mémoire de travail : en reprenant quelques procédures on peut facilement analyser ce qu’on traite, ce qu’on met en mémoire pour un traitement ultérieur. Ex1. si je traite 45+10, je mets en mémoire 7 donc je devrai associer le résultat à 7 soit deux entités à mémoriser Ex2. si je procède à la décomposition des deux nombres 40+5+10+7 et traite 40+10 je dois mémoriser 5 et 7 et le résultat de la première somme, soit un nombre plus élevé de faits. Ex3. si je pose l’opération « dans ma tête », la comptabilité des faits à mémoriser – avec des indications spatiales très structurées – montre que cela devient un obstacle majeur pour les élèves (retenue, traitement de nombres à trois chiffres en particulier). On peut recommander de « déconstruire » ce recours (« j’ai posé l’opération dans ma tête ») très fréquemment reconnu par des élèves… peut-être à défaut d’ordres modèles. 3 – Avec les élèves, on nommera ces procédures (la diapositive propose des exemples) étudiées, retenues. Dans l’exemple, on fait le choix de ne pas retenir la « décomposition des deux nombres » trop lourde. Elle ne sera pas étudiée. Les autres seront enseignées (diapo suivante) affichées, présentes sous cette forme sur le cahier mémoire des élèves. La dénomination permet une catégorisation, une modélisation essentielles à la structuration et à l’automatisation des procédures. 45 / 17 calcul mental (2)

Calculer mentalement des sommes et des différences. CP Calculer mentalement des sommes et des différences. Calculer en ligne des sommes, des différences ‘ CE1 Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits. Calculer en ligne des suites d’opérations. CE2 Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. CM1 Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. CM2 Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. Rappel : les procédures de calcul mental évoquées dans les programmes 2008. Le répertoire est limité… En cohérence, une investigation dans les dernières évaluations nationales des CE1 ou CM2 aboutiraient à un constat assez proche : peu de « procédures » de calcul mental sont évaluées. CP Calculer mentalement des sommes et des différences. - Calculer en ligne des sommes, des différences CE1 Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits. - Calculer en ligne des suites d’opérations. C’est au CE1 qu’apparaît le terme spécifique de « procédures de calcul mental » ; elles ne sont pas spécifiées. « Le nombre au cycle 2 » (Denis BUTLEN) retient quelques propositions à recommander (reprises dans une diapositive - voir plus loin) CE2 Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. CM1 Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. - Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. - Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. La multiplication par 10, 100… (et division au CM2) est la seule procédure explicitement évoquée dans les programmes. On lira plus loin (diapositive ) quelques propositions non exhaustives (mais qui doivent être considérées comme complémentaires de celles du cycle 2 (« à consolider » comme le recommandent les programmes!) Le statut de l’estimation dans les programmes d’enseignement n’a ni la place ni l’enseignement qu’elle mérite : il s’agit également d’enseigner des techniques d’estimation. CM2 Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. - Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000.

Enseigner les procédures 45+17 = 45+10+7 = 55+7 = 62 45+17 = 45+5+12 = 50+12 = 62 45+17 = 45+15+2 = 60+2 = 62 45+17 = 2+43+17 = 2+60 = 62 45+17 = 40+5+10+7 = 50+12 = 62 Les propositions les plus probables sont relevées ici. (lors de la seconde phase en présentiel, elles feront l’objet d’une analyse systématique) On peut faire observer qu’à la base, chez l’expert, de nombreuses propriétés sont utilisées implicitement… Cela va de soit, ce sont des pratiques automatisées : Décomposition Commutativité Associativité (la distributivité également si on avait demandé 45x7) Les connaissances sont immédiatement disponibles La remémoration des faits numériques est automatisée (cela va de soi : le savoir est immédiatement DISPONIBLE) - l’absence de ces capacité (ou le fait qu’il faille les rappeler par des cheminements plus ou moins lourds) est un obstacle majeur (c’est encore plus explicite dans des situations de multiplication… l’obstacle des tables est quasi insurmontable pour 37 x 7 – impossible, très lourd pour le moins, pour les tables de multiplication… alors qu’on peut reconstruire les sommes). ATTENTION : les écriture mathématiques rendent très mal la logique et la chronologie des calculs mentaux. Il faut le mettre en évidence : Sur le premier exemple on pense : «  45 plus 17, c’est 45 et 10… 55 (on doit avoir mémoriser le 7 sans le penser, le formuler explicitement…) puis 55 et 7… 52 » Si on demande aux élèves d’écrire, on aura donc ce type : 45+17= 45+10 = 55+7 = 62 On observe très fréquemment ce type d’écriture : le signe [=] est apparenté à une touche « d’exécution » d’un calcul ; l’écriture est la narration chronologique d’une suite « d’opérations ». Penser et dire le calcul sont des passages ORAUX très importants ; l’écriture des calculs sous la forme mathématiquement correcte nécessite une maturation symbolique qui doit être accompagnée. On peut évoquer le « paradoxe de l’automatisme » (Denis Butlen – « le nombre au cycle 2 ») La majorité des élèves interrogés répondent qu’ils « ont posé l’opération dans leur tête » : « … lorsque les connaissances de l’élève sont plus limitées, il va se réfugier dans les procédures apparemment plus sûres, mais beaucoup plus coûteuses et conduisant souvent à l’échec. » Le paradoxe de l’automatisme (transposition des techniques opératoires au calcul mental) doit être déconstruit et doit conduire à un enseignement de procédures spécifiques au calcul mental. 45+17 = 45+20-3 = 65-3 = 62 calcul mental (2)

RECONNAÎTRE IDENTIFIER DISPONIBILITE . Faits numériques . Procédures RECONNAÎTRE IDENTIFIER Fait numérique / Procédure CHOISIR une procédure pertinente dans le contexte numérique PRODUIRE un calcul Mémoriser les faits numériques / Automatiser les procédures Il n’y a pas symétrie de ces deux champs mais complémentarité : on ne peut identifier, reconnaître, ni produire une procédure sans la fonder sur des « faits numériques » établis. La mémorisation doit avoir pour objectif de rendre les faits numériques disponibles : les associations (un couple de nombres : sa somme, son produit) produisent immédiatement un résultat. A une étape antérieure, ils ne sont que mobilisables : un retour explicite est nécessaire (reconstruction, recours, pour les tables d’addition à une petite décomposition – 9 et 9 devient 9 et 1 et 8 ; c’est plus difficile pour les tables de multiplication – l’élève alors reprend la récitation de la table concernée pour trouver le résultat) ; c’est une difficulté très sensible qui fait obstacle à la mise en œuvre des procédures. calcul mental (2)

Enseigner les procédures 45+17 = 45+10+7=55+7=62 Décomposition du 2nd nombre 45+17 = 45+5+12=50+12=62 45+17 = 45+15+2=60+2=62 45+17 = 2+43+17=2+60=62 Passage à la dizaine supérieure 45+17 = 40+5+10+7=50+12=62 L’enseignement des procédures est une priorité, complémentaire de l’apprentissage des tables, mais peu explicite dans les programmes. En reprenant l’exemple précédent, parmi les procédures utilisées, on en retiendra quelques-unes sur les bases suivantes : 1- Une analyse comparée : Calcul dit ou pensé par rapport à ce qui est écrit (mathématiquement – règles d’écriture / symboliquement – représentation) Calcul dit : Ex. « quarante-cinq plus dix cinquante-cinq plus sept soixante-deux » Nb. Ainsi, si on demande à l’élève d’écrire ce calcul on lui « impose » une écriture erronée : 45+17=45+10=55+7=62 Calcul écrit : Ex. 45+17 = 45+10+7=55+7=62 Le calcul écrit en ligne (pas la technique opératoire) mérite une approche spécifique (algébrique) : l’enseignant traduit en ligne le choix des décompositions permettant d’utiliser des relations privilégiées connues des élèves (cet exemple est transposable dès le CP : les valeurs seront adaptées). Calcul représenté : .Les arborescences permettent une représentation des calculs partiels .La ligne numérique doit être un support privilégié des représentations 2 – Une analyse comparée du « coût » en mémoire de travail : en reprenant quelques procédures on peut facilement analyser ce qu’on traite, ce qu’on met en mémoire pour un traitement ultérieur. Ex1. si je traite 45+10, je mets en mémoire 7 donc je devrai associer le résultat à 7 soit deux entités à mémoriser Ex2. si je procède à la décomposition des deux nombres 40+5+10+7 et traite 40+10 je dois mémoriser 5 et 7 et le résultat de la première somme, soit un nombre plus élevé de faits. Ex3. si je pose l’opération « dans ma tête », la comptabilité des faits à mémoriser – avec des indications spatiales très structurées – montre que cela devient un obstacle majeur pour les élèves (retenue, traitement de nombres à trois chiffres en particulier). On peut recommander de « déconstruire » ce recours (« j’ai posé l’opération dans ma tête ») très fréquemment reconnu par des élèves… peut-être à défaut d’ordres modèles. 3 – Avec les élèves, on nommera ces procédures (la diapositive propose des exemples) étudiées, retenues. Dans l’exemple, on fait le choix de ne pas retenir la « décomposition des deux nombres » trop lourde. Elle ne sera pas étudiée. Les autres seront enseignées (diapo suivante) affichées, présentes sous cette forme sur le cahier mémoire des élèves. La dénomination permet une catégorisation, une modélisation essentielles à la structuration et à l’automatisation des procédures. Le « cahier mémoire » doit retenir le nom des procédures et leur écriture sous la forme mathématique (pas toujours, on l’a vu, exactement conforme à l’économie des opérations mentales mises en œuvre pour parvenir au résultat) Décomposition des 2 nombres 45+17 = 45+20-3=65-3=62 Ajout de dizaine et soustraction calcul mental (2)

Enseigner les procédures (2) Une semaine sur la procédure 1 Une semaine sur la procédure 2 Passage à la dizaine supérieure Ajout de dizaines et soustraction Une semaine sur la procédure 3 ADAPTATION Une semaine où l’élève a le choix de l’utilisation … Le processus d’enseignement consiste à construire progressivement les automatismes correspondant à chacune des procédures retenues… La semaine 1, quatre séances courtes imposent un passage systématique par la procédure « ajout de dizaines et soustraction » dans diverses situations où l’élève doit transposer (mentalement) : l’enseignant écrit à chaque fois la somme en ligne correcte, peut représenter ce calcul (utiliser les arborescences ou la ligne numérique pour les figurer). La semaine 2 c’est une autre procédure (avec quelques rappels de celle de la semaine précédente) Et ainsi de suite… ADAPTATION : c’est la phase essentielle pour construire des « PROCEDURES PERSONNELLES ». Une semaine est en effet consacrée à inviter les élèves à effectuer un choix personnel (parmi les procédures apprises, celle qui lui semble la plus adaptée) qu’il doit justifier. Ce sont les nombres en présence qui induisent le plus souvent ce choix, mais on ne négligera pas l’écoute des procédures justifiées par les élèves : 56 + 19 (procédure 1 - le passage à 20 est plus aisé – on retire 1, c’est le prédécesseur) 59 + 16 (procédure 2 – le passage à la dizaine supérieure [60 + 15] facilite la tâche) … C’est dans cette phase que se construisent et concrétisent les « procédures personnelles ». Décomposition du 2nd nombre calcul mental (2)

…c’est une initiative, un choix ! Etre expert, c’est CHOISIR une procédure personnelle ! c’est être capable de choisir parmi les procédures apprises celle qui est la plus adaptée aux singularités, à la « personnalité » des nombres en présence celle qui est la plus adaptée aux performances acquises à un moment de sa scolarité « Ce sont les nombres en présence qui déterminent les choix sous réserve que plusieurs procédures aient été enseignées, apprises, retenues, donc automatisées. Les procédures personnelles émanent des techniques expertes enseignées étroitement dépendantes des connaissances sur le nombre et la numération. Ces procédures doivent être identifiées, nommées, formalisées, exercées systématiquement ; l’automatisation consiste pour l’apprenant expert à choisir dans un répertoire acquis. C’est « l’intelligence du calcul » souvent citée dans la « conférence nationale sur l’enseignement des maths » ! …c’est une initiative, un choix ! calcul mental (2)

Niveau expert ? 37 x 8 37 + 8 37 x 2 x 2 x 2 (on double trois fois de suite) 30 x 8 + 7 x 8 37 + 3 + 5 30 + 7 + 8 25 x 12 50 x 12 Ces exemples portent sur « l’intelligence du calcul » Ici Exemples 1 et 2 : La décomposition de 8 est très différente dans l’un et l’autre des cas : pratique dans 37x8, 2x2x2 est totalement inefficace dans 37 + 8 Exemples 3 et 4 : la décomposition de 12 est liée au premier nombre – la seconde procédure montre que la distributivité peut elle être appliquée dans de nombreux cas de multiplication… Si elle est enseignée ! 25 x 4 x 3 25 x 10 + 25 x 2 50 x 2 x 6 50 x 10 + 50 x 2 calcul mental (2)

La construction de « procédures personnelles » est la combinaison, la résultante : de procédures apprises (des automatismes) d’une mémoire réactive des faits numériques (connaissances disponibles) d’une habileté à utiliser une décomposition pertinente des nombres de la capacité à s’adapter aux nombres en présence (l’initiative) d’une bonne estimation des grandeurs calcul mental (2)

Programmes 2008 – CP, CE1, CE2, CM1, CM2 « L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification » Les travaux conduits dans le domaine « Nombres et calcul » concourent dans leur diversité à construire la notion de nombre : par la construction de la numération par le calcul qui s’opère dans cette structure (la décomposition d’un nombre, le passage à la dizaine supérieure… ne peuvent être envisagés séparément, indépendamment) par la capacité à estimer des ordres de grandeurs, à arrondir (l’estimation des grandeurs est un puissant facteur des connaissances numériques). - par les problèmes de la vie courante : le calcul mental y étant permanent, mais pas toujours explicite, ni conscient… Malgré la technologie qui ne dispense pas d’un contrôle ou d’une anticipation ! Programmes 2008 – CP, CE1, CE2, CM1, CM2 calcul mental (2)

Procédures : repères pour le calcul mental – « Le nombre au cycle 2 » Compléter à 10 à la dizaine supérieure Compléter à 100 à la centaine supérieure Trouver le complément quand il s’agit de 10, multiples de 10, 100… Ajouter, retirer 10, 100 Calculer des additions en ligne Décomposition additive d’un nombre Exprimer un nombre en faisant intervenir la dizaine ou centaine supérieure Compléter des égalités de type : 37 +18 = 47 + … A enseigner : 123 – 56 = 127 - 60 Extrait de « Le nombre au cycle 2 » calcul mental (2)

Procédures : repères pour le calcul mental – Cycle 3 ESTIMATION Distributivité (somme et différence par rapport au produit et quotient) Associativité 25 x 12 = 25 x 4 x 3 = 25 x 2 x 6 25 x 12 = 12 x 5 x 5 Multiplication, division par 10, 100… Multiplication par multiples de 10 Quotient et reste Multiples et diviseurs Extension au calcul avec les décimaux (voir C2 et ci-dessus) Compléter un décimal au naturel immédiatement supérieur, à la dizaine supérieure Des propositions… C’est un essai très restreint, à poursuivre et compléter (merci à chacun de contribuer à cette explicitation). calcul mental (2)