Notions de modèles hydrogéologiques Adrien Wanko & Sylvain Payraudeau Chapitre IV : Notions de modèles hydrogéologiques Représentation, physique ou graphique, mais plus généralement mathématique, des relations qui existent réellement ou qui, par hypothèse, semblent exister entre des phénomènes ou entre les différents éléments d'un système, en vue d'études analytiques ou expérimentales (simulations) propres à faciliter la compréhension de certains mécanismes, notamment par la validation d'hypothèses, et à mieux éclairer les fonctions de prévision (modèles prévisionnels) ou de décision (modèles décisionnels). [CILF. - Commission des Sciences commerciales. - « Machine ou ensemble de relations mathématiques dont les réponses à des entrées appropriées sont approximativement celles du système réel » (Meetham). ((Définition de)) Bourdieu. Expression, formalisée par un ensemble de formules mathématiques, d'une théorie, ou d'une situation causale, considérée comme l'origine des données observées. Maquettes ou systèmes physiques qui simulent ou reproduisent certaines caractéristiques des phénomènes. 1ère année (2007-2008) Strasbourg – Février 2008 Adrien Wanko & Sylvain Payraudeau

Outils de gestion de la ressource en eaux souterraines Quantitatif : Prédire l’impact d’un pompage sur l’aquifère (chapitre II). Qualitatif : Prédire le transport d’une pollution (stratégies de dépollution d’un aquifère) (chapitre III).

Plan Notion de modèle Différences finies Eléments finis Application d’un modèle hydrogéologique : gestion de l’eau

Qu’est-ce qu’un modèle ? Représentation simplifiée d'un système complexe (tel le cycle de l'eau) Qu'est ce qu'un modèle ? et à quoi sert un modèle ? C’est le problème posé qui conduit à la création/utilisation d'un modèle Ce sont les hypothèses posées qui conditionnent le choix de la modélisation.   Qualité d'un modèle : adéquation des résultats avec la réalité Caractère prédictif   Vision simplifiée d'un système Simplifications = Hypothèses Domaine de validité = limite le champ d’application Représentation simplifiée d'un système complexe (tel le cycle de l'eau) Qu'est ce qu'un modèle ? et à quoi sert un modèle ? C’est le problème posé qui conduit à la création/utilisation d'un modèle Ce sont les hypothèses posées qui conditionnent le choix de la modélisation.   Qualité d'un modèle : adéquation des résultats avec la réalité Caractère prédictif Synthèse des connaissances sur une problématique   Vision simplifiée d'un système = réductionniste Simplifications = f(hypothèses) pertinentes à une échelle spatiale et temporelle donnée. Domaine de validité = limite le champ d’application

Qu’est-ce qu’un modèle ? Variables d’entrée (de forçage) indépendantes Représentation graphique, physique ou mathématique. Paramètres Modèle Forçage : En programmation, intervention permettant d'imposer des actions. Variables de sortie dépendantes

Modèle hydrogéologique Variables d’entrée (de forçage) Indépendantes : Pluie, ETP Représentation graphique, physique ou mathématique Paramètres : Porosité, Conductivité hydraulique, Modèle Géométrie du réservoir Nappe libre/captive Variables de sortie dépendantes : hauteur d’eau, vitesse, concentration + état initial + conditions aux limites + sollicitation (source/puits), contact rivière, …

Modèle hydrogéologique Échelle des réservoirs Deux concepts Approche globale Approche mécaniste Échelle des réservoirs Échelle du VER

Approche globale (équations bilan des réservoirs) Modèle Gardenia (global) Modèle de réservoirs en cascades Cycle de l’eau simulé par un système de 3 ou 4 réservoirs Modélisation des relations pluie-débit ou pluie-niveau piézométrique > Modèle de réservoirs en cascade : Logiciel GARDENIA • Modélisation des relations pluie-débit ou pluie-niveau piézométrique • 8 paramètres hydrologiques, calage semi-automatique • Cycle de l'eau simulé par un système de 3 à 4 réservoirs en cascade

Approche mécaniste (équations bilans des VER) VER: volume élémentaire représentatif Représentation graphique, physique ou mathématique. Modèle Lois de conservation : Conservation de la masse Loi de Darcy Loi de Fick, … Loi de diffusivité Ex : Ecoulement dans une nappe captive avec T isotrope T . h x  + y + Q = S . t Conditions initiales Conditions aux limites

Donnés nécessaires - calage et validation du modèle Conductivité hydraulique (K) : - connue en quelques points (interprétation de pompage), - pouvant être modifier lors du calage du modèle (paramètre d’ajustement). Débits d’échange et d’alimentation (Q + infiltration) : - déterminés le plus précisément possible (difficulté de l’estimation de la recharge Pluie – ETP – Ruissellement). Coefficient d’emmagasinement (S) : Uniquement si besoin de modéliser en régime transitoire. Mal connu, seulement en quelques points (essais de pompage) Conductivité hydraulique (K) : - connue en quelques points (interprétation de pompage), - pouvant être modifier lors du calage du modèle (paramètre d’ajustement). Débits d’échange et d’alimentation (Q + infiltration) : - déterminés le plus précisément possible (difficulté de l’estimation de la recharge Pluie – ETP – Ruissellement). Calage de la transmissivité (T) pour obtenir les charges observées (H) avec les débits pompés estimés. Coefficient d’emmagasinement (S) : Uniquement si besoin de modéliser en régime transitoire. Mal connu, seulement en quelques points (essais de pompage) En général : géométrie de l’aquifère (+) K, colmatage des cours d’eau et la recharge mal connus (-)

Conditions aux limites Conditions aux limites : 3 types (mathématique) 1 - Conditions de Dirichlet : charge (h) imposée : h lim = f(t) Contact nappe-rivière 2 - Conditions de Neumann : première dérivée de la charge imposée donc flux imposé Limites flux nulles (substratum basal ou latéral) Limites flux imposés (recharge de nappe, prélèvement par puits) 3 - Conditions de Cauchy : h et h n h n lim = f(t) h n h n a . h + b . lim = f(t) Contact nappe-rivière – au travers d'une limite semi-perméable

Modélisation bidimensionnelle (2D) : mono-couche Intégration des propriétés (S, T) sur l'épaisseur de la couche Rivière 1 Rivière 2 x y Aquifère (vue de dessus)

Modélisation tridimensionnelle (3D) : Aquifère complexe Hypothèses : 1 - Empilements d’aquifères séparés par des semi-perméables 2 – Ecoulements bi-dimentionnels horizontaux (aquifères) 3 – Écoulement vertical ( couche semi-perméable) 4 – Les semi-perméables sont soit réels (marnes) soit artificiels pour différencier 2 aquifères 1 - Empilements d’aquifères séparés par des semi-perméables 2 – Ecoulements bi-dimentionnels horizontaux (aquifères) 3 – Écoulement vertical (semi-perméable) 5 – Les semi-perméables sont non capacitifs (permettent le passage entre 2 aquifères mais ne contiennent pas un volume d’eau conséquent)

Représentation par le modèle Aquifère complexe (3D) Situation réelle Représentation par le modèle Hydroexpert

Méthode des différences finies : discrétisation spatiale Sur chaque maille : Transmissivité (T) Coefficient d'emmagasinement (S) Débit prélevé/injecté (Q) Infiltration par la pluie efficace (si une seule couche) Apport de la couche du dessus (si multicouche)  Niveau piézométrique Grille régulière maille Division d'une région en un nombre finis d’éléments.. Aquifère (vue de dessus)

Discrétisation spatiale : taille et nombre de mailles Taille (et donc nombre) des mailles : Précision souhaitée sur les calculs Contours +/- sinueux des limites Nombres et éloignements des puits Capacité de l'ordinateur Taille de 5 m (étude d’une digue) à 5 km (étude régionale) Nbre de mailles  1000 à 10 000

Calcul par maille : discrétisation de l’équation Méthode des différences finies : ex nappe captive en régime permanent HC = inconnue Bilan en eau sur maille centrale : N N q O C ? E a O C E a S S  flux de masses entrantes/sortantes = masse entrante/sortante Flux de masse quittant C vers O : M = superficie du côté . vitesse . Masse volumique n M = a.e . (- K . ) .  = - a .  . T . h n

Approximation des dérivées par différence : Calcul par maille h n Approximation des dérivées par différence : Flux quittant le côté vers E = - a .  . T . = -  . T . (HE - HC) HE - HC a EC HO - HC a HS - HC HN - HC Flux quittant le côté vers O = - a .  . T . = -  . T . (HO - HC) Flux quittant le côté vers S = - a .  . T . = -  . T . (HS - HC) Flux quittant le côté vers N = - a .  . T . = -  . T . (HN - HC) Flux du terme puits/source (q) = -  q NC OC SC T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + T. ( HN – HC ) + T. ( HS - HC ) = Q EC

 T. (Hd – HC) = Q T. (Hd – HC) = 0 Si milieu homogène et isotrope : Calcul par maille Txx . h x  + Tyy . y = q Équation aux dérivées partielles (1) Equation (1) discrétisée donnant la hauteur piézométrique dans la maille C T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + T. ( HN – HC ) + T. ( HS - HC ) = Q EC OC SC NC T. (Hd – HC) = Q d = 1  4 Si milieu homogène et isotrope : T EC OC NC SC = Const. T. (Hd – HC) = 0 Si pas de terme puits/source d = directions (O, E, S, N)

Calcul aux limites E a Ex. limite à flux imposé (au nord) : puits O C T. ( HN – HC ) remplacé par FluxN S T. ( HN – HC ) = FluxN T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + T. ( HS - HC ) = Q - FluxN Ex. limite à charge imposé (au nord) : rivière TN. ( HN – HC ) = T. HN – T.HC T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) – T.HC + T. ( HS - HC ) = Q - T. HN Résolution : 5 inconnues pour 5 mailles Soit r nombre de mailles dans le maillage et p nombre de mailles avec conditions aux limites Matrice de ce système est régulière (inversible avec solution unique) si p >=1

Si maillage et domaine réguliers r = n1*n2 = Nbre de maille Notation Si maillage et domaine réguliers r = n1*n2 = Nbre de maille jème colonne n1 mailles sur la ligne i n2 mailles sur la colonne j N O C E ième ligne S (i,j) (i,j-1) (i+1,j) (i,j+1) (i-1,j) ième ligne jème colonne C  (i,j)

Pour la maille C quelconque (1) T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + T. ( HN – HC ) + T. ( HS - HC ) = QC Pour la maille (i,j) quelconque T. (Hi,j+1 – Hi,j) + T. ( Hi,j-1 – Hi,j ) + T. ( Hi+1,j – Hi,j ) + T. ( Hi-1,j – Hi,j ) = Qi,j (2) Soit r nombre de mailles et p nombre de mailles avec conditions aux limites le système a (r-p) mailles à charges inconnues (1) ou (2) : système linéaire de (r-p) équations à (r-p) équations

Cas 1 : K est homogène et e constant sur l'ensemble de la nappe Exemple de calcul Cas 1 : K est homogène et e constant sur l'ensemble de la nappe Rivière 1 Rivière 2 Niveau piézométrique Surface du sol z h1 e h2 K x L Si K et e constante  T = Constante

Exemple de calcul Vue de dessus H2 = 90m H1 =114m Aquifère LAC1 LAC2 (1,1) (4,6) Aquifère T. (Hi,j+1 – Hi,j) + T. ( Hi,j-1 – Hi,j ) + T. ( Hi+1,j – Hi,j ) + T. ( Hi-1,j – Hi,j ) = Qi,j Qi,j = 0 i = 1 à 4; j = 1 à 6 soit 24 mailles Écrire les équations du système exploitant les conditions aux limites: (2,1), (1,2), (1,1), …

Exemple de calcul Vue de dessus Maille (2,1) H2 = 90m H1 =114m LAC2 H1 =114m H2 = 90m Aquifère (1,1) ( 4,6) (2,1) T. (Hi,j+1 – Hi,j) + T. ( Hi,j-1 – Hi,j ) + T. ( Hi+1,j – Hi,j ) + T. ( Hi-1,j – Hi,j ) = 0 Maille (2,1) : i= 2, j = 1 H2,2 + H3,1 + H1,1 – 4*H2,1 = - H2,0 Hi,2 + Hi+1,1 + Hi-1,1 – 4*Hi,1 = - H1 Avec H2,0 = H1 avec i = 2, 3

T. (H1,3 – H1,2) + T. ( H1,1 – H1,2 ) + T. ( H2,2 – H1,2 ) + 0 = 0 Exemple de calcul Vue de dessus Maille (1,2) H1 =114m H2 = 90m Aquifère (1,1) (4,24) (1,2) T. (Hi,j+1 – Hi,j) + T. ( Hi,j-1 – Hi,j ) + T. ( Hi+1,j – Hi,j ) + T. ( Hi-1,j – Hi,j ) = 0 Maille (1,2) : i = 1, j = 2 T. (H1,3 – H1,2) + T. ( H1,1 – H1,2 ) + T. ( H2,2 – H1,2 ) + 0 = 0 T. ( H0,2 – H1,2 ) = 0 H1,3 + H1,1 + H2,2 – 3*H1,2 = 0

Exemple de calcul Vue de dessus Maille (1,1) H2 = 90m H1 =114m Aquifère (1,1) (4,6) T. (Hi,j+1 – Hi,j) + T. ( Hi,j-1 – Hi,j ) + T. ( Hi+1,j – Hi,j ) + T. ( Hi-1,j – Hi,j ) = 0 Maille (1,1) : i = 1, j = 1 T. (H1,2 – H11) + T. ( H1,0 – H1,1 ) + T. ( H2,1 – H11 ) + T. ( H0,1 – H1,1 ) = 0 T. ( H0,1 – H1,1 ) = 0 et H1,0 = H1 H1,2 + H2,1 – 3*H1,1 = -H1

Hi,j+1 + Hi,j-1 + Hi+1,j + Hi-1,j – 4*Hi,j = 0 Exemple de calcul Vue de dessus Maille (1,1) H1 =114m H2 = 90m Aquifère (1,1) (4,6) Hi,j+1 + Hi,j-1 + Hi+1,j + Hi-1,j – 4*Hi,j = 0 H1,2 + H2,1 – 3*H1,1 = -H1 H1,3 + H1,1 + H2,2 – 3*H1,2 = 0

Exemple de calcul Q (m3/s) H1 Aquifère (1,1) (4,6) Q (m3/s) prélèvements (débits : q3,2 , q2,4) injection (débit : q1,6) Déterminer le système d’équations linéaires donnant les hauteurs piézométriques Hi,j dans chaque maille

Exemple de calcul HC = inconnu H1 = 6m Charge imposé Flux nul H2 = 4m

Exemple de calcul HC = inconnu H1 = 6m Stabilisation de h : (10-2 mm) H2 = 4m

Calcul de T par mailles  calcul de T moyen par côté (TEC) Calcul avec K variable Cas 2 : K n'est homogène et/ou e n'est pas constant sur l'ensemble de la nappe : T variable Surface du sol z h1 e h2 K1 K2 x L1 L2 Domaine 1 Domaine 2 Calcul de T par mailles  calcul de T moyen par côté (TEC) TEC. (HE – HC) + TOC. ( HO – HC ) + TNC. ( HN – HC ) + TSC. ( HS - HC ) = 0

Calcul en régime transitoire Régime permanent : 4 T. (Hd – HC) + Q + infiltration = 0  d = 1 directions (O, E, S, N) Régime transitoire : 4 T. (Hd – HC) + Q + infiltration =  h t a² . S . d = 1 directions (O, E, S, N) Approximation exacte si dt infiniment petit 4 T. (Hd – HC) + Q + infiltration =  H t + dt - Ht dt a² . S . d = 1 directions (O, E, S, N)

Choix du pas de temps de calcul (dt) si dt trop grand <> solution analytique Empiriquement : S : coefficient d’emmagasinement T : transmissivité a² : aire de la maille 100 . S . a² 4 . T dt <=

Calcul en transitoire H1 = 6m Etat initial connu (t = 0) Modélisation de l’effet d’un pompage jusqu’au régime permanent H2 = 4m

Exploitation du modèle aux différences finies Attention à l’exploitation du modèle : ex. charge (H) dans un puits En général : a (côté de la maille) >>> rayon d’un puits Pour comparer H simulée et H observée dans un puits : facteur de correction Q 2.p.T a rP p 2 Hmaille – HPuits = ln - a : côté de la maille rP : rayon du puits T : transmissivité de la maille

2- définir la restriction de la variable (h) sur chaque élément Principe 1- discrétiser le domaine en petits éléments (triangle, quadrilatère, …) 2- définir la restriction de la variable (h) sur chaque élément 3- écrire la formulation variationnelle de la loi de diffusivité Diminution de la taille des éléments au voisinage de la rivière h h A' 3 4 A h ? 1 2 1 2 3 4 A A' A A' x Aquifère (vue de dessus) Si forte variabilité (

Coefficient d'emmagasinement (S) Débit prélevé/injecté (Q) Données nécessaires Sur chaque noeud : Transmissivité (T) Coefficient d'emmagasinement (S) Débit prélevé/injecté (Q) Infiltration par la pluie efficace (si une seule couche) Apport de la couche du dessus (si multicouche)  Niveau piézométrique Aquifère Edwards (US) : www.edwardsaquifer.net/ Aquifère (vue de dessus)

Exemple d'application d'un modèle hydrogéologique Utilisation des aquifères captifs de l’Albien et du Néocomien (bassin parisien) pour alimenter la population de la zone agglomérée d'Ile de France en eau potable en cas de scénario catastrophe (Roche, ENPC) Coupe géologique schématique du bassin sédimentaire de Paris (formation lithostratigraphiques) (AESN)

Besoins ultimes en eau potable ? 20 l.hab-1.jours-1 (15 domestiques, 4 hôpitaux et 1 agroalimentaire) 11 millions d'habitants  220 000 m3. jours-1 Capacités actuelles des forages dans l'Albien et le Néocomien ? 33 forages : débit actuel 55 000 m3. jours-1 (20 million de m3. an-1) débit maximum de 105 000 m3. jours-1 (38 million de m3. an-1) Complément nécessaire  115 000 m3. jours-1 En utilisant un ratio d'un puits de 150 m3. h-1 par zone de 180 000 hab.  32 puits (finalement 37 puits retenus)

Données requises/calage Distribution de la transmissivité de l’Albien (m²/s) ajustée après calage (AESN)

Données requises/calage Distribution de la transmissivité du Néocomien (m²/s) ajustée après calage (AESN)

Démarche de modélisation Exploitation en crise réaliste ? Débit actuel 55 000 m3. jours-1 (20 million de m3. an-1) Débit de crise = 4 . débit actuel Modélisation hydrogéologique (HYDROEXPERT) Réponse : exploitation de crise possible selon les potentialités de l'aquifère (durée de crise de 3 mois à 1 an) Plutôt dans l'Albien que le Néocomien (cf. Transmissivité)

Conclusion Choix du modèle : Domaine de définition du modèle Problématique posée Données nécessaires Coût Discrétisation spatiale : Fonction des données Fonction de la méthode numérique retenue (éléments finis) Discrétisation temporelle : Fonction de la méthode numérique (instabilité)

Application de la Décharge de Dupuit-Forchheimer Considérons (Figure 2.9), la percolation perpendiculairement à travers un massif poreux d'épaisseur L et de conductivité hydraulique K. Ce massif pourrait être un barrage, un massif rocheux ou un talus séparant une rivière d'un contre-canal. Le niveau d'eau est h0 sur la face d'entrée de l'eau et hL<h0 sur la face de sortie. Le débit spécifique q est conservé à travers le massif. On a donc, dans l'approximation de Dupuit, Dans l’exemple considéré, on passe d’une hauteur d’eau de 3 m dans la rivière à 1 m dans le contre-canal. Le talus est large de 10 m, long de 500 m et sa conductivité hydraulique est 1 D. Le débit Q est alors : Q = 2L/s Exemple de la percolation d’une rivière à travers un talus vers un contre-canal.

Forme d'équilibre de la nappe libre: L'ellipsoïde de Dupuit La forme d’équilibre de la nappe libre résulte de l’alimentation verticale (infiltration) des conditions aux limites qui définissent alimentation latérale et écoulements. Elle peut se déterminer simplement dans le cadre de l’approximation de Dupuit. Considérons par exemple le cas (Figure 2.13) d’un massif de largeur L, de conductivité hydraulique K, de géométrie cylindrique perpendiculairement aux écoulements principaux, et d’infiltration a(x) dépendant éventuellement de la position. Faisons l’hypothèse que le niveau piézométrique est imposé aux bornes, par exemple par des niveau d’eau h0 et hL dans les lacs ou des rivières. Faisons le bilan de l’eau entrant dans la tranche d’aquifère comprise entre x et x+dx. Le débit spécifique entrant par la face en x est q(x) et le débit spécifique sortant q(x+dx). La différence entre ces deux débits est, en régime stationnaire, égale à l’infiltration reçue entre x et x+dx, soit a(x)dx : dx x a x q dx x q ) ( ) ( ) (    . Forme d’équilibre de la nappe libre