Cours N°4 : fonction réelle d’une variable réelle Définition d’une fonction: une fonction est une relation d’un ensemble vers un ensemble 𝐹 telle que tout élément 𝑥 de 𝐸 admet au plus une image dans 𝐹

Une fonction de E vers F E F x x x x x x x x

Et pour que 𝑓 ne soit pas une fonction de E vers F x x x x x x x x

Donc une fonction est une relation entre deux ensemble telle que à tout 𝑥 de l’ensemble de départ est associée au plus une image dans l’ensemble d’arrivé. L’ensemble de définition de la fonction 𝑓 noté 𝐷 𝑓 est l’ensemble des valeurs prise par 𝑥 pour lesquelles 𝑓(𝑥) est calculable

Mais qu’est ce qui n’est pas calculable? La division par 0 La racine carré d’un nombre négatif n’existe pas Log 0 et log d’un nombre négatif ne doivent pas exister. Donc 𝐷 𝑓 ={𝑥∈𝐸 𝑡𝑞 𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒}

Courbe d’une fonction La courbe représentative d’une fonction 𝑓 est l’ensemble des points 𝑀 du plan de coordonnées 𝑥, 𝑦 𝑡𝑞 𝑦=𝑓(𝑥) 𝑦=𝑎𝑥+𝑏 est une fonction affine 𝑦= 𝑥 2 est une fonction carrée

Sens de variation d’une fonction Soit 𝐼 un intervalle, 𝑎, 𝑏 deux nombres de 𝐼 tels que 𝑎<𝑏. Trois sens de variations sont présents: Croissance ⟺ 𝑎<𝑏⟹𝑓 𝑎 <𝑓 𝑏 Constance ⟺ 𝑎<𝑏⟹𝑓 𝑎 =𝑓 𝑏 Décroissance ⟺ 𝑎<𝑏⟹𝑓 𝑎 >𝑓 𝑏

Fonctions majorée, minorée et bornée Définition: soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 de ℝ et 𝑀 et 𝑚 deux réels Dire que 𝑓 est majorée par 𝑀 sur 𝐼 signifie que pour tout réel 𝑥 de 𝐼, 𝑓(𝑥)≤ 𝑀 Dire que 𝑓 est minorée par 𝑚 sur 𝐼 signifie que pour tout réel 𝑥 de 𝐼, 𝑓(𝑥)≥𝑚 Dire que 𝑓 est bornée sur 𝐼 signifie que pour tout réel 𝑥 de 𝐼,𝑚≤𝑓(𝑥)≤ 𝑀

Domaine de définition d’une fonction composée 𝑓 et 𝑔 deux fonction numériques définies sur 𝐷 𝑓 et 𝐷 𝑔 , 𝑔𝑜𝑓 est définie pour les valeurs de 𝑥 telles que 𝑥∈ 𝐷 𝑓 et 𝑓(𝑥)∈ 𝐷 𝑔

Sens de variation de fonctions composées Si 𝐼 et 𝐽 sont deux intervalles ℎ une fonction monotone dans 𝐼 à valeur dans 𝐽 et 𝑔 une fonction monotone sur 𝐽, alors 𝑔𝑜ℎ est monotone Montrons par exemple que si ℎ est croissante et 𝑔 est croissante alors 𝑔𝑜ℎ est croissante

Résultat si ℎ est croissante et 𝑔 est décroissante alors 𝑔𝑜ℎ est décroissante. si ℎ est décroissante et 𝑔 est croissante alors 𝑔𝑜ℎ est décroissante. si ℎ est décroissante et 𝑔 est croissante alors 𝑔𝑜ℎ est croissante. Remarquons qu’on a appliqué la règle de la multiplication

Limites En mathématiques, rechercher la limite d’une suite ou d’une fonction, c’est déterminer si cette suite ou cette fonction s’approche d’une valeur lorsque la variable prend une valeur extreme. La notion de 𝑥→+∞ symbolise un déplacement très lointin à droite sur l’axe des 𝑋 (des abscisses). on écrit lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) pour décrir le comportement de 𝑓 lorsque 𝑥→+∞

Quelques exemples Exemples de limites de fonction lorsque 𝑥 s’approche de l’infini. lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 =+∞ lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 =−∞ lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 =0 lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 =+∞ lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 =?

Limite d’une fonction réelle Soit 𝑓(𝑥) définie dans un voisinage du point 𝑥= 𝑥 0 sauf peut etre en ce point ( 𝑥 0 ). On dit que le Tapez une équation ici.nombre 𝑙 est la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑥 0 et on écrit lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 =𝑙 si ∀𝜖>0, ∃𝛿>0,𝛿 𝜖 𝑡𝑞 𝑥− 𝑥 0 < 𝛿⟹ 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 0 < 𝜖. C’est-à-dire en choisissant 𝑥 très proche de 𝑥 0 , 𝑓(𝑥) doit etre aussi très proche de 𝑙

Théorèmes sur les limites de fonctions Si lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 =𝐴 et lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑔 𝑥 =𝐵 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 1) lim 𝑥→ 𝑥 0 ( 𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥))= lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 + lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑔 𝑥 =𝐴+𝐵 . 2) lim 𝑥→ 𝑥 0 ( 𝑓 𝑥 −𝑔(𝑥))= lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 − lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑔 𝑥 =𝐴−𝐵 . 3) lim 𝑥→ 𝑥 0 ( 𝑓 𝑥 .𝑔(𝑥))= lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 . lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑔 𝑥 =𝐴.𝐵 4) lim 𝑥→ 𝑥 0 ( 𝑓 𝑥 /𝑔(𝑥))= lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 / lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑔 𝑥 = 𝐴 𝐵 , 𝐵≠0 .

Limites infinies lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 =±∞ De façon précise nous disons que lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 =+∞ si pour toute constante 𝑀>0, il existe un nombre 𝛿>0 𝑡𝑞 𝑠𝑖 𝑥− 𝑥 0 <𝛿 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓(𝑥)>𝑀. De même lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 =−∞ si pour toute constante 𝑀>0, il existe un nombre 𝛿>0 𝑡𝑞 𝑠𝑖 𝑥− 𝑥 0 <𝛿 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓 𝑥 <−𝑀

Limites finies Les même remarque que précédemment s’appliquent aux limites finies de la fonction 𝑓(𝑥) et nous disons que lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 =𝑙 si ∀∈>0, il existe un nombre 𝑁>0 𝑡𝑞 𝑠𝑖 𝑥 >𝑁 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓 𝑥 −𝑙 <∈ Aussi lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 =𝑙 si ∀∈>0, il existe un nombre 𝑁>0 𝑡𝑞 𝑠𝑖 𝑥 <−𝑁 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓 𝑥 −𝑙 <∈ Dement

Limites particulières lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =1 lim 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 =0 lim 𝑥→∞ (1+ 1 𝑥 ) 𝑥 =𝑒 lim 𝑥→0+ (1+𝑥) 1/𝑥 =𝑒 lim 𝑥→0 𝑒 𝑥 −1 𝑥 =1 lim 𝑥→1 𝑥−1 log⁡(𝑥) =1

Continuité de fonctions Définition: soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 contenant un réel 𝑎, La fonction 𝑓 est continue en 𝑎 si 𝑓 admet une limite finie en 𝑎 égale à 𝑓(𝑎). Autrement dit , 𝑓 est continue en 𝑎 si et seulement si : lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑎 𝑜𝑢𝑏𝑖𝑒𝑛 lim ℎ→0 𝑓 𝑎+ℎ =𝑓 𝑎

Graphiquement parlant 𝑎 𝑏 𝑎 𝑥 0 𝑏 Fig1 Sur la figure 1 la fonction f est continue sur [𝑎, 𝑏] Fig2 sur fig 2 f n’est pas continue sur [𝑎, 𝑏]

propriétés Toutes les fonctions construites comme somme, produit, quotient ou composées de fonctions polynômes, trigonométriques, logarithmes ou exponentielles sont continues. Si f est une fonction dérivable sur un intervalle, alors elle est continue sur cet intervalle.

Limite de la composée de deux fonctions Si lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝑏 𝑒𝑡 lim 𝑦→𝑏 𝑔 𝑦 =𝑐 , alors lim 𝑥→𝑎 𝑔𝑜𝑓 𝑥 =𝑐 À vous de faire beaucoup d’exercices

Théorèmes des valeurs intermédiaires Théorème: soit 𝑓 , une fonction définie et continue sur un intervalle 𝐼 et soit 𝑎 et 𝑏 deux réels de 𝐼. pour tout réel 𝑘 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏), il existe un réel 𝑐 compris entre 𝑎 et 𝑏 tel que 𝑓(𝑐)=𝑘. Corollaire: si une fonction 𝑓 est continue et strictement monotone sur [𝑎, 𝑏], alors pour tout réel 𝑘 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏), l’équation 𝑓(𝑥)=𝑘 admet une solution unique dans [𝑎, 𝑏]

Remarque : on peut étendre ce corollaire à une fonction définie sur un intervalle ]𝑎, 𝑏], [𝑎, 𝑏[, ]𝑎, 𝑏[

Théorème de comparaison Si on connaît le comportement de certaines fonctions, on peut en déduire par comparaison le comportement d’autres fonctions. Dans le tableau ci-dessous, la notation 𝑎 représente aussi bien un réel que l’infini.

lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝑙 Relations liant les fonctions dans un voisinage de 𝑎 Comportement de 𝑔(𝑥) et de ℎ(𝑥) de 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)≤𝑔(𝑥) lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =−∞ lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =−∞ 𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥) lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =+∞ lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =+∞ |𝑓(𝑥)−𝑙|≤𝑔(𝑥) 𝑙 un réel lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =0 lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝑙 lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝑙′ ≤ lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝑙′ ℎ(𝑥)≤𝑓(𝑥)≤𝑔(𝑥) lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝑙 Théorème du gendarme

Théorème des fonctions réciproques Soit 𝑓 une fonction continue strictement monotone sur un intervalle 𝐼, alors 𝑓(𝐼) est un intervalle 𝐽 de même nature que 𝐼 et ses extrémités sont les limites de 𝑓 aux extrémités de 𝐼. La fonction 𝑓 admet une réciproque définie sur 𝐽=𝑓(𝐼) i.e. il existe une fonction noté 𝑓 −1 de 𝐽 dans 𝐼 telle que 𝑥∈𝐼 𝑦=𝑓(𝑥) ⟺ 𝑦∈𝐽 𝑥= 𝑓 −1 𝑦

3) La fonction 𝑓 −1 réciproque est continue et strictement monotone sur 𝐽 et elle a le même sens de monotonie que 𝑓 . Exemple: la restriction sur ℝ + de la fonction 𝑥→ 𝑥 𝑛 est continue et strictement croissante sur ℝ + , l’image de zéro est zéro et la limite en +∞ est + ∞ donc la fonction réciproque est définie de ℝ + → ℝ + 𝑥 → 𝑛 𝑥

𝑥∈ ℝ + 𝑦= 𝑛 𝑥 ⟺ 𝑦∈ ℝ + 𝑥= 𝑦 𝑛 Fonction f(x) Départ et arrivée 𝑥∈ ℝ + 𝑦= 𝑛 𝑥 ⟺ 𝑦∈ ℝ + 𝑥= 𝑦 𝑛 Fonction f(x) Départ et arrivée Fonction réciproque Notes 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 [0, +∞[→[0, +∞[ 𝑓 −1 𝑥 = 𝑛 𝑥 𝑛∈ ℕ ∗ 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 ℝ→[0, +∞[ 𝑓 −1 𝑥 =ln⁡(𝑥) ]0, +∞[→ℝ 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑓 −1 𝑥 =𝐿𝑜𝑔(𝑥) 𝑎∈ ℝ + 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝛼 ]0, +∞[→]0, +∞[ 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥 1 𝛼 𝑎∈ ℝ ∗ 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 [- 𝜋 2 , +𝜋/2]→[−1, 1] 𝑓 −1 𝑥 =arcsin⁡(𝑥) [−1, 1] →[- 𝜋 2 , +𝜋/2] 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 [0, 𝜋]→[−1, 1] 𝑓 −1 𝑥 =arc𝑐𝑜𝑠⁡(𝑥) [−1, 1] →[0, 𝜋 ] 𝑓 𝑥 = tan 𝑥 ]- 𝜋 2 , +𝜋/2[→ℝ 𝑓 −1 𝑥 =arc𝑡𝑔⁡(𝑥) ℝ→]- 𝜋 2 , +𝜋/2[

exemple La fonction 𝑓→ 𝑥 2 +3 est une bijection de ]–∞, 0] sur [3, +∞[ et possède une application réciproque que l'on cherche à déterminer en résolvant, pour 𝑦 dans [3, +∞[, l'équation 𝑥2 + 3 = 𝑦, ou encore 𝑥2 = 𝑦 – 3. Puisque 𝑦 ≥ 3, cette équation possède deux solutions dont une seule appartenant à l'intervalle ]–∞, 0] : 𝑥=− 𝑦−3 . Donc la réciproque de ƒ est 𝑓 −1 définie par ƒ−1(y) = – 𝑦−3 .

𝑥 𝑛 𝑛 𝑥

arccos cos

sin arcsin

exp ln