III. Dualité onde corpuscule Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule 1. Longueur d ’onde de De Broglie Cas des photons : aspect « classique » ondulatoire valable dans une grande partie des cas ; aspect corpusculaire : notion de photon, particule de masse au repos nulle mais de quantité de mouvement p=h/. On utilise l ’un ou l ’autre selon les cas… Louis de Broglie, 1923 : étend cette dualité aux particules matérielles, à commencer par l ’e- auquel il assigne une longueur d ’onde dite « de De Broglie » =h/p , avec p=mv soit =h/mv. Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Expérience de Davisson et Germer : Diffusion d ’e- sur un cristal de nickel (d = 0.9Å)  Loi de Bragg : interférences constructives si 2d.sin  = k. (1) d => deux points de vue : pour des e- d ’énergie fixée (donc de longueur d ’onde de De Broglie fixée), diffusion maximale à un certain angle  vérifiant (1) pour une direction d ’observation  fixée, diffusion maximale pour des e- ayant une longueur d ’onde (/énergie) vérifiant (1) Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Résultats de l ’expérience : Emax = 54 eV max = 50° : pour cette valeur d ’angle, d ’après (1), au permier ordre de diffraction (k=1), on trouve  = 1.65 Å Or la longueur d ’onde de De Broglie associée à un e- d ’énergie 54 eV est de 1.65 Å : => modèle validé Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Autre exemple : interférences d ’électrons (Faget et Fert, 1956) Analogie avec le biprisme de Fresnel : Interférences lumineuses (biprisme de Fresnel) Interférences d ’électrons Région d ’interférences Région d ’interférences Fil métallique chargé positivement (perpendiculaire au plan du dessin) Biprisme de Fresnel Source lumineuse cohérente (laser,…) Canon à électrons Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule On obtient des franges d ’interférences dans les deux cas : Même type de franges observées avec des e-. Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule 2. La relation d ’incertitude de Heisenberg Il est impossible de connaître avec une précision infinie à la fois la position et la vitesse (/quantité de mouvement) d ’une particule. Les incertitudes sur la position x et la quantité de mouvement px sont liées par la relation d ’incertitude de Heisenberg : Explications qualitatives : si l ’on veut faire une mesure expérimentale sur un système aux dimensions atomiques, on est forcé de perturber le système (ex. : émission d ’un faisceau sonde sur des atomes, etc…) ; on apporte donc une incertitude liée à l ’expérience sur la grandeur à mesurer... Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Autre couple de variables vérifiant la relation d ’incertitude : énergie et temps. On a une relation similaire : Conclusion importante : Même si l ’on arrivait à trouver une théorie capable de prédire avec une précision infinie une grandeur physique telle que la position, la vitesse, la trajectoire, etc…, cette théorie ne pourrait en aucun cas être validée par aucune expérience! Or une théorie capable d ’être comparée à l ’expérience est indispensable... Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule 3. L ’équation de Schrödinger Dualité onde - corpuscule : => description d ’une particule par une fonction d ’onde. Schrödinger propose une équation générale permettant de calculer cette fonction d ’onde (notée ) : Le plus souvent, on utilisera cette équation sans son second membre (équation de Schrödinger indépendante du temps ; les solutions sont alors stationnaires). Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule On retrouve très facilement l ’équation de Schrödinger indépendante du temps à partir de la forme générale d ’une fonction d ’onde : Si on se place dans le cas 1-D : => Or, d ’après la formule de la longueur d ’onde de De Broglie : Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule D ’où, après calculs : On peut toutefois s ’interroger sur la signification de la fonction d ’onde pour une approche corpusculaire... Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Signification de la fonction d ’onde pour la description quantique d ’une particule : la fonction  seule n ’a pas de signification physique ; par contre, le carré du module de  correspond à un probabilité de présence de la particule autour d ’un point donné : est égal à la probabilité de trouver la particule dans un volume dV = dx.dy.dz autour du point r à l ’instant t. Condition de normalisation : la probabilité de présence de la particule quelque part dans tout l ’espace devant nécessairement être égale à 1, on obtient la relation dite de normalisation : Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Propriétés essentielles de la fonction d ’onde : La fonction d ’onde est toujours continue et uniforme Sa dérivée doit également être continue Condition de normalisation Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule 4. Exemple de résolution de l ’équation de Schrödinger : l ’électron dans un puits de potentiel On considère le cas d ’un électron piégé dans un puits de potentiel aux parois infinies ; étude à une dimension : Ep Signification physique : approximation grossière du cas d ’un e- dans un atome (piégeage dans une région de l ’espace en dehors de laquelle la fonction d ’onde est nulle) Ep = 0 pour 0  x  x0 Ep =  pour x < 0 et x > x0 x0 x Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Résolution : Choix de la référence pour l ’énergie potentielle : => on choisit simplement Ep = 0 dans le puits de potentiel. On se place dans la cas stationnaire (équation de Schrödinger sans second membre) : On résout l ’équation différentielle du second degré dans le cas 1-D : Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Solution : (A = constante) Conditions aux limites : et Ce qui implique que : Généralisation avec un calcul plus proche de la réalité (pour Ep : énergie potentielle coulombienne, calculs 3-D, etc...) : => calcul des solutions de l ’équation de Schrödinger pour l ’e- dans l ’atome. Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule => Conséquences sur la description des électrons d ’un atome : En toute rigueur, parler de position, trajectoire, vitesse,… d ’un e- n ’a plus aucun sens Les électrons sont décrits par des fonctions d ’ondes solutions de l ’équation de Schrödinger ; ces solutions sont appelées orbitales atomiques par analogie avec le modèle de Bohr ; toutefois on se rappellera bien que les orbitales atomiques ne sont pas des orbites mais des fonctions mathématiques. La fonction d ’onde d ’une particule est toujours continue et à dérivée continue ; on se représentera donc l ’espace autour du noyau atomique comme porteur d ’une densité de présence d ’électrons (« nuage électronique »). Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Lien avec les nombres quantiques : Une orbitale peut aussi être définie par les trois premiers nombres quantiques (n,l,ml). Exemples de représentations d ’orbitales : Rigoureusement, on ne représente pas les orbitales elles mêmes mais le carré de leur module (probabilité de présence des électrons, soit la densité électronique). Comme cette fonction probabilité est continue dans l ’espace, on la représente par ses lignes de niveau (ex. : courbes dans l ’espace correspondant aux lieux où la probabilité de présence de l ’e- est de 99%) Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Orbitale s (l = 0, m = 0) : Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Encore des orbitales... : Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule 5. Paquets d ’ondes - Vitesse de groupe Notions utilisées pour une description plus réaliste des ondes ; cas idéal : onde plane, polarisée, monochromatique (« OPPM ») : (caractérisation d ’une onde lumineuse : description par le champ E généralement suffisante) Cas réel : pouvant généralement être approximé par une superposition d ’OPPM. On est amené à décrire non plus des ondes mais des paquets d ’ondes, constitués d ’OPPM aux propriétés généralement proches mais pas nécessairement rigoureusement similaires (ex. : différentes composantes de fréquences, différentes polarisations,...) Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Vitesse de phase et vitesse de groupe : Vitesse de phase : vitesse de déplacement des surfaces équiphases Comme , on a : Physiquement : correspond à la vitesse de déplacement d ’un point de l ’oscillation (ou de la sinusoïde). Vitesse de groupe : quand on a un paquet d ’onde, l ’enveloppe du paquet d ’onde se déplace à une vitesse « globale » qui peut être différente de la vitesse de phase de ses composantes : c ’est la vitesse de groupe. Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Cas d ’une onde lumineuse : Milieu non dispersif : Si une impulsion lumineuse se déplace dans un milieu où l ’indice de réfraction ne varie pas avec la fréquence, alors toutes les composantes élémentaires de l ’impulsion voyagent à la même vitesse, et le point où elles sont en phase également : => la vitesse de groupe et la vitesse de phase sont alors égales. Milieu dispersif : Si par contre l ’indice varie avec la fréquence (milieu dispersif) , alors des composantes élémentaires ayant des fréquences différentes voyageront avec des vitesses différentes ; la vitesse de déplacement de l ’enveloppe sera alors différente des vitesses des composantes élémentaires. Septembre 2001 Cours de physique atomique

III. Dualité onde corpuscule Définition de la vitesse de groupe dans un milieu dispersif : Représentation graphique (exemple) : Septembre 2001 Cours de physique atomique