Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique Les outils mathématiques et physiques pour écrire l’équation de Schrödinger Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique Outils mathématiques Equation de Schrödinger (pour l’électron de l’atome d’hydrogène) : Ĥ |ΨN) = EN |ΨN) Les inconnues de l’équation sont EN et ΨN Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique Outils mathématiques Les EN (= E1, E2, ..., EN) sont les énergies (négatives) de liaison de l’électron de l’atome d’hydrogène. Elles représentent le spectre des énergies de l’électron. Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique Outils mathématiques ΨN fonction d’onde |ΨN|² = probabilité de mesurer EN Condition de normalisation : Somme des probabilités : (si ΨN est une fonction) (si ΨN est un vecteur) Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique Outils mathématiques Nuage de probabilités Probabilités Position (rayon) 0,53 A N E1 n = 1 0,53 A Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique Outils mathématiques | ) : Association de Dirac pour un vecteur L’hamiltonien H = fonction, énergie totale d’un système, d’une particule = EC + EP Ĥ est l’opérateur hamiltonien, un opérateur est une matrice carrée. Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique Outils mathématiques Ĥ |ΨN) = EN |ΨN) équation matricielle. EN valeurs propres et ΨN vecteurs propres On les trouve en résolvant l’équation de Schrödinger ou par l’expérience. Egalité de 2 matrices uni colonne. Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Valeur moyenne des énergies (E1,E2,...,EN): Outils mathématiques Valeur moyenne des énergies (E1,E2,...,EN): <E> = E1|C1|² + E2|C2|² +...+ EN|CN|² Généralisation : avec car probabilité d’obtenir Xi. Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Outils mathématiques Equations aux valeurs propres On s'intéresse au spin de l'atome d'hydrogène (valeur quantifiée). L'équation aux valeurs propres des spins (équation aux spins) est : Ŝ |ΨN) = SN |ΨN). De même, on parle d'équation aux valeurs propres des énergies, des moments cinétiques… Les valeurs propres étant : (X1, X2, …, XN) Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Outils mathématiques Equations aux valeurs propres 1) Pour un spectre discret Condition de normalisation : Valeur moyenne de X : Chaque valeur propre Xi est pondérée par sa probabilité d'être mesurée |Ci|². Ecart quadratique moyen : Différence entre la moyenne au carré et le carré de la moyenne. Incertitude sur la mesure : Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Outils mathématiques Equations aux valeurs propres 2) Pour un spectre continu On mesure une grandeur ayant un spectre continu. Soit Y cette grandeur, Y peut prendre toutes les valeurs de -∞ à +∞. Les valeurs propres sont discontinues, mais très proches => on les approxime par un spectre de valeurs propres continu. Le nombre de Ci est très grand, on le remplace par un passage à sa limite, par une fonction complexe : ψ(Y) de conjugué ψ*(Y). Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Outils mathématiques Equations aux valeurs propres 2) Pour un SPECTRE CONTINU Condition de normalisation : Avec la probabilité de mesurer la grandeur Y entre Y et Y+dY. Valeur moyenne de Y : Ecart quadratique moyen : Incertitude sur la mesure : Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique

Outils mathématiques Equations aux valeurs propres L’état d'un système (trouver <X> sans connaître les Xi) Un état du système étudié est représenté par le vecteur La valeur moyenne de X dans cet état est : Ph Durouchoux : Introduction au Cours de Physique Quantique