Applications Définition: Soient 𝐸 et 𝐹 deux ensembles, une application de 𝐸 dans 𝐹 est un moyen “outil” qui permet d’associer à chaque élément 𝑥 de 𝐸 un élément unique 𝑦 de 𝐹, élément est noté 𝑦=𝑓(𝑥) et on l’appelle image de 𝑥 et 𝑥 l’antécédent de 𝑦.

𝐸 s’appelle l’ensemble de départ de 𝑓 𝐹 s’appelle l’ensemble d’arrivée de 𝑓 L’ensemble 𝐺= 𝑥,𝑦 ∈𝐸𝑋𝐸 𝑡𝑞 𝑦=𝑓(𝑥) est appelé le graphe de 𝑓 L’ensemble des applications de 𝐸 dans 𝐹 se note ℒ(𝐸,𝐹)

Remarque 𝑓 1 :ℝ→ℝ; 𝑓 2 : ℝ + →ℝ; 𝑓 3 : ℝ→ ℝ + 𝑥→ 𝑥 2 ; 𝑥→ 𝑥 2 ; 𝑥→ 𝑥 2 𝑓 1 :ℝ→ℝ; 𝑓 2 : ℝ + →ℝ; 𝑓 3 : ℝ→ ℝ + 𝑥→ 𝑥 2 ; 𝑥→ 𝑥 2 ; 𝑥→ 𝑥 2 Sont des applications bien différentes bien qu’ils aient la même règle de calcul

Image Directe, Image Réciproque Soit 𝑓:𝐸→𝐹 une application et soient 𝐴⊂𝐸 𝑒𝑡 𝐵⊂𝐹, l’image directe de 𝐴 par 𝑓 est la partie de 𝐹 formées des images de tous les éléments de 𝐴 et on le note 𝑓 𝐴 . 𝑓 𝐴 = 𝑓 𝑥 , 𝑥∈𝐴 ={𝑦∈𝐹 𝑡𝑞 ∃𝑥∈𝐴, 𝑦=𝑓(𝑥)} Par exemple si 𝐴={𝑎, 𝑏, 𝑐}, alors 𝑓 𝐴 ={𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑏 , 𝑓(𝑐)}

Et l’image réciproque de 𝐵 par 𝑓 est l’ensemble des éléments de 𝐸 dont l’image est dans 𝐵 i.e. 𝑓 −1 𝐵 = 𝑥∈𝐸 𝑡𝑞 𝑓 𝑥 ∈𝐵 ={𝑥∈𝐸, ∃𝑧∈𝐵 𝑡𝑞 𝑧=𝑓(𝑥)}

Exemple, 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 ℝ→ℝ ℝ + →ℝ ℝ→ ℝ + ℝ + → ℝ + 𝐴 𝑓 1 (𝐴) 𝑓 2 (𝐴) 𝑓 3 (𝐴) 𝑓 4 (𝐴) {2} {4} {-2, 2} ND [-1, 3] [0, 9] [-1, 0] U [1, 3] ℝ + ℝ 𝑓 𝑥 = 𝑥 2

Un autre Tableau Le tableau suivant donne des exemples d’images réciproques pour les mêmes applications:

ℝ→ℝ ℝ + →ℝ ℝ→ ℝ + ℝ + → ℝ + 𝐵 𝑓 −1 (𝐵) {2} {- 2 , 2 } { 2 } {- 2 , 2 } {-1, 2} ND [0, 3] [- 3 , 3 ] [0, 3 ] [-1, 3] [-1, 0] U [1, 3] {0} U [- 3 ,−1] U [1, 3 ] {0} U [1, 3 ] ℝ + ℝ ℝ∗ − ∅

Proposition 𝑓:𝐸→𝐹 une application, 𝐴 et 𝐴’ des parties de 𝐸 , 𝐵 et 𝐵’ des parties de 𝐹 Si 𝐴⊂ 𝐴 ′ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓(𝐴) ⊂𝑓 𝐴 ′ , e𝑡 𝑠𝑖 𝐵⊂ 𝐵 ′ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓 −1 (𝐵) ⊂ 𝑓 −1 ( 𝐵 ′ )

Propriétés 𝑓 𝐴∪ 𝐴 ′ =𝑓 𝐴 ∪𝑓 𝐴 ′ 𝑓 𝐴∩ 𝐴 ′ ⊂𝑓 𝐴 ∩𝑓 𝐴 ′ 𝑓 𝐴∪ 𝐴 ′ =𝑓 𝐴 ∪𝑓 𝐴 ′ 𝑓 𝐴∩ 𝐴 ′ ⊂𝑓 𝐴 ∩𝑓 𝐴 ′ 𝑓 −1 𝐵∪ 𝐵 ′ = 𝑓 −1 (B)∪ 𝑓 −1 ( 𝐵 ′ ) 𝑓 −1 𝐵∩ 𝐵 ′ = 𝑓 −1 (B)∩ 𝑓 −1 ( 𝐵 ′ )

Applications Injectives, Surjectives, Bijectives Définition: soit 𝑓 une application 𝑓 est injective si tout élément de l’ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent par 𝑓. 𝑓 est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivé possède au moins un antécédent par 𝑓. 𝑓 est bijective si tout élément de l’ensemble d’arrivée possède un unique antécédent par 𝑓.

Exemple 𝑓 1 :ℝ→ℝ; 𝑓 2 : ℝ + →ℝ; 𝑓 3 : ℝ→ ℝ + ; 𝑓 4 : ℝ + → ℝ + 𝑓 1 :ℝ→ℝ; 𝑓 2 : ℝ + →ℝ; 𝑓 3 : ℝ→ ℝ + ; 𝑓 4 : ℝ + → ℝ + 𝑥→ 𝑥 2 ; 𝑥→ 𝑥 2 ; 𝑥→ 𝑥 2 ; 𝑥→ 𝑥 2 𝑓 1 n’est ni injective , ni surjective. 𝑓 2 est injective mais pas surjective 𝑓 3 est surjective mais pas injective 𝑓 4 est bijective

Proposition 𝑓:𝐸 →𝐹 une application, les propriétés suivantes sont équivalentes: 1) 𝑓 est injective 2) ∀ 𝑥, 𝑥 ′ ∈𝐸, 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 ′ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑥= 𝑥 ′ 3) ∀ 𝑥, 𝑥 ′ ∈𝐸, 𝑠𝑖 𝑥≠ 𝑥 ′ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓 𝑥 ≠𝑓 𝑥 ′

Exemples d’application sur les application surjectives, injectives et bijectives Soit 𝑣 l’application : 0, 1 → ℝ 𝑥 → 𝑥 2 −3𝑥 Montrer que 𝑣 est injective. Solution: soit 𝑥 et 𝑥’ deux éléments de [0, 1] et supposons que 𝑣 𝑥 =𝑣 𝑥 ′ ⟺ 𝑥− 𝑥 ′ 𝑥+ 𝑥 ′ −3 =0 d’où 𝑥= 𝑥 ′ ou 𝑥+ 𝑥 ′ −3=0 mais comme 𝑥 𝑒𝑡 𝑥 ′ ∈[0, 1] alors 𝑥+ 𝑥 ′ ≤2 et on ne peut jamais avoir 𝑥+ 𝑥 ′ −3=0 reste 𝑥− 𝑥 ′ =0 donc 𝑥= 𝑥 ′ d’où l’injectivité

Mais 𝑣 𝑥 n’est pas surjective En effet Si 𝑥∈[0, 1], on a 𝑥(𝑥−3)<0 donc 𝑦<0 et 𝑦>0 n’a aucune solution dans [0, 1]

Une autre application Soit 𝑢: ℝ→ ℝ + telle que 𝑢= 0 𝑠𝑖 𝑥<−1 𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥≥−1 Les réels -1 et -2 sont distincts mais ils ont la même image 𝑢 −1 =𝑢 −2 =0 donc 𝑢 n’est pas injective. Montrons maintenant que 𝑢 est surjective. Soit 𝑦 un réel positif et on veut montrer qu’il existe au moins un 𝑥∈ ℝ tq 𝑦=𝑢 𝑥 , posons 𝑥=𝑦−1 on aura alors 𝑥≥−1 et 𝑦=𝑥+1=𝑢(𝑥)

En conclusion Soit 𝑓:𝐸 →𝐹 une application Pour montrer que 𝑓 n’est pas injective il suffit de trouver deux éléments distincts 𝑥 𝑒𝑡 𝑥′ tels que 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 ′ . Pour montrer que 𝑓 n’est pas surjective il suffit de trouver un élément 𝑦 𝑑𝑒 𝐹 qui n’a aucun antécédent.

Egalité, Restriction, Prolongement Définition: soient 𝑓:𝐸 →𝐹 et 𝑓 1 :𝐸′ →𝐹′ deux applications, on dit qu’elles sont égales si les trois conditions sont vérifiées: 𝐸= 𝐸 ′ 𝐹= 𝐹 ′ ∀ 𝑥∈𝐸, 𝑓 𝑥 = 𝑓 1 (𝑥)

Exemple 𝑓: ℝ→ℝ 𝑥→𝑐𝑜𝑠𝑥 et 𝑓 1 : ℝ→ℝ 𝑥→2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 2 −1 Sont égales. Et les trois applications suivantes sont deux à deux différentes: 𝑓: ℝ→ℝ 𝑥→ 𝑥 2 ; 𝑔: ℝ→ ℝ + 𝑥→ 𝑥 2 ; ℎ: ℝ + →ℝ 𝑥→ 𝑥 2

Restriction Définition: soient 𝐸 et 𝐹 deux ensembles 𝐸 1 un sous ensemble de 𝐸 𝑓:𝐸 →𝐹 et 𝑓 1 : 𝐸 1 →𝐹, on suppose que pour tout élément 𝑥∈ 𝐸 1 on a 𝑓 𝑥 = 𝑓 1 (𝑥) on dit alors que 𝑓 1 est la restriction de 𝑓 à 𝐸 1 et on note 𝑓 1 =𝑓∕ 𝐸 1 Par exemple l’application ℎ est la restriction de 𝑓 à ℝ + et 𝑓 un prolongement de ℎ à ℝ.

Composition d’application Définition: soient 𝑓:𝐸 →𝐹 et 𝑔:𝐹 →𝐺 deux applications, on peut alors définir une nouvelle application de 𝐸 dans 𝐺 notée 𝑔∘𝑓 et ce en posant ∀𝑥∈𝐸,𝑔∘𝑓 𝑥 =𝑔(𝑓 𝑥 ) Exemple: pour 𝑓: ℝ→ℝ 𝑥→ 𝑥 2 ; 𝑔: ℝ→ℝ 𝑥→2𝑥 𝑔∘𝑓≠𝑓∘𝑔

Exercice 𝐸={1, 2, 3}, 𝑓:𝐸 →𝐹 et 𝑔:𝐹 →𝐺 des applications définies par: 𝑓 1 =1, 𝑓 2 =3, 𝑓 3 =2 𝑔 1 =2, 𝑔 2 =1, 𝑔 3 =3 Calculer 𝑓∘𝑓,𝑓∘𝑔, 𝑔∘𝑓