Interpolation et Approximation

1) Position du problème Le problème d’interpolation consiste à chercher des fonctions simples (polynômes algébrique, polynômes trigonométriques..) passant par des points donnés : . Càd : on cherche un polynôme tel que pour i=0, 1…n (1) Une manière de résoudre ce problème est d’écrire : (2)

Le polynôme p passe par les (n+1) points qui sont connues Le polynôme p passe par les (n+1) points qui sont connues. Ce qui forme un système de (n+1) équations à (n+1) inconnues (3) La résolution de ce système n’est pas une tâche facile. Dans la suite, nous présenterons une méthode plus astucieuse pour construire le polynôme p

2) Formule d’interpolation de Lagrange : polynômes d’interpolation Théorème : Soit une fonction Il existe un unique polynôme degré inférieur ou égal à n tel que : pour tout j =0,1,..n (5) Ce polynôme s’écrit : (6) Avec : (7)

Ou encore : Le polynôme défini par (6) s’appelle le polynôme d’interpolation de Lagrange de la fonction f aux points . Les polynômes ( / ) s’appellent les polynômes de base de Lagrange associés aux points . (fin Th). La méthode de Lagrange est simple, rapide

Degré du polynôme = nb de point d’appui -1 Exemple : Interpolation cubique : Déterminons le polynôme d’interpolation de Lagrange vérifiant le tableau suivant T1 : Degré du polynôme = nb de point d’appui -1  Dans notre cas d°( ) = 4 -1 = 3 x 1 2 3 y -1 5 14 24

De même : D’une façon analogue, on trouve :

D’après (7), le polynôme d’interpolation de Lagrange est donné par : Ou encore : NB : Le polynôme passe par tous les points du tableau (T1) (ex : ); La méthode de Lagrange permet de trouver les coefficients du polynôme pit définit dans (2) sans avoir besoin de résoudre le système (3).

3) Matrices régulières de Lagrange La formule (6) montre que le polynôme d’interpolation de Lagrange Pn dépend de la fonction f (via f(xi)). Par contre, Les polynômes de base de Lagrange li(x) ne dépendent pas de la fonction f , et ne dépendent que des valeurs d’interpolation choisies xi (comme le montre la formule (7). Par conséquent, pour des valeurs de xi bien déterminées, les expressions des polynômes li(x) seront identiques quelques soient les images f(xi).

Afin d’alléger les calculs, la remarque précédente a poussé les mathématiciens à déterminer les matrices régulières de Lagrange, qui sont des matrices d’interpolation, correspondant à des valeurs d’interpolation formés de nombre entiers relatifs bien déterminés(..-2,-1,0,1,2..). Le calcul de ces matrices se fait par l’intermédiaire des polynômes de base de Lagrange. Citons certaines de ces matrices : Valeurs d’interpolation : 0, 1, 2 : [ ] = 1/2. 2 -3 4 -1 1 -2

Valeurs d’interpolation : -1, 0, 1 : [ ] = 1/2 [ ] = 1/2 Valeurs d’interpolation : 0, 1, 2, 3 : [ ] = 1/6 2 -1 1 -2 6 -11 18 -9 2 -15 12 -3 -1 3 1

Valeurs d’interpolation : -1, 0, 1, 2 : [ L4] = 1/6 [ ] = 1/24 6 -2 -3 -1 3 -6 1 24 -50 96 -72 32 -6 35 -104 114 -56 11 -10 36 -48 28 1 -4 6

Valeurs d’interpolation : -2, -1, 0, 1, 2 : 24 2 -16 16 -2 -1 -30 4 -4 [ ] = 1/24 24 2 -16 16 -2 -1 -30 4 -4 1 6

Valeurs d’interpolation : 0, 1, 2, 3, 4, 5 : [ ]=1/120 120 -274 600 -600 400 -150 24 225 -770 1070 -780 305 -50 -85 355 -590 490 -205 35 15 -70 130 -120 55 -10 -1 5 10 -5 1

4) Erreur d’interpolation d’une fonction continue Rappelons que, lorsqu’on substitue une fonction f continue par son interpolant aux points de [a, b], alors : aux points   : , par contre pour : en général. Ainsi, si l’erreur due à l’interpolation est nulle aux points   ,elle ne l’est pas en général aux pts . Afin d’ améliorer la qualité d’interpolation, nous essaierons de minimiser l’erreur commise par l’interpolation qui est définie par : pour tout

Théorème : Soit le polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux nœuds tel que et à la fonction Pour tout , il existe Є ]a, b[ tel que : Où :

Corollaire : Notons .On a   Dans le cas où les points sont équirépartis dans [a, b], alors on peut montrer que, l’erreur maximale vérifie : A priori, nous pourrions penser que cette erreur converge vers 0 quand n→∞ puisque

Cependant, cette affirmation est souvent fausse car peut croitre très rapidement avec n. Ce phénomène est illustré dans l’exemple suivant 5) Phénomène de Runge : Considérons la fonction définit sur [-5, 5] par : La figure montre son interpolant de degré n aux points équirépartis:   : i ≥ 0  Pour n = 5 et n = 10, la figure montre que présente, au voisinage des extrémités -5 et 5, de grandes oscillations qui augmentent avec n.

III) Interpolation de Lagrange avec les points de Chebysheff L’exemple précédent montre qu’il n’est pas recommandé de choisir des points équidistants pour interpoler une fonction par un polynôme de degré n élevé. Chebysheff a montré que, pour un n donné, les points xi de [a, b] (dits points de Chebysheff) pour lesquels l’erreur ) est minimale sont définit par  (14)

En pratique, connaissant a, b et n, on détermine les points xi à partir de (14), puis on détermine le polynôme d’interpolation de Lagrange en xi à partir de (6). N.B. : * Les points de Chebysheff ne sont pas équidistants, ne sont pas des entiers relatifs en général, et ne dépendent pas non plus de la fonction à interpoler. * La méthode de Chebysheff nécessite la connaissance de l’expression analytique de la fonction à interpoler.

Nous avons tracé dans la figure 3, la courbe relative au polynôme de Lagrange déterminé aux points de Chebysheff ( n=5 et n=10 ). Nous remarquons que : Les oscillations dans la courbe de Chebysheff sont nettement plus petites que celles dans la courbe aux points équidistants ; Avec les pts de Chebysheff, l’erreur tend vers 0 quand n→∞. Contrairement aux points équidistants, les courbes de Chebysheff montrent que les oscillations diminuent lorsqu’on augmente le degré n du polynôme interpolant .

IV) Interpolation par fonction splines : L’interpolation de Lagrange se caractérise par une différence importante de l’erreur commise en certains points xi . Ceci survient même en choisissant au mieux les points d’interpolation (points de Chebysheff). Une des manières de contrôler ces effets de bord est de subdiviser [a,b] en petits intervalles [xi-1 , xi], et d’y effectuer une interpolation de Lagrange grâce à des polynômes de degré faible ( segments de droites, arcs de paraboles ..).

Cependant, l’interpolée de Lagrange par morceaux d’une fonction a le défaut de ne pas être dérivable en xi . Une manière de construire un interpolant par intervalles plus lisse (dérivable en xi) est d’utiliser des fonctions spéciales appelées fonctions splines cubiques S(x).

Définition : Soit une division de [a, b]. Une fonction S : [a, b] → IR s’appelle spline (cubique) si elle est 2 fois continument différentiable et si, sur chaque intervalle [xi-1 , xi], elle est un polynôme de degré 3. Une fonction spline S vérifie les conditions suivantes : Sur chaque intervalle[xi-1 ,xi], S est un polynôme de degré 3 ; S passe par tous les points de l’ échantillon et elle est continue en ces points :

La dérivée 1ère S’ est continue sur chaque nœud ; soit pour tout i / La dérivée seconde S’’ est continue sur chaque nœud ; soit  pour tout Càd relations. Or, il faut trouver 4n inconnues (4 coefficients ai dans chacun des n polynômes de degré 3).

Slpine naturel : On suppose que : On rajoute alors 2 conditions supplémentaires à vérifier. On a plusieurs possibilités : Slpine naturel : On suppose que : Spline scellé : On suppose données les pentes aux extrémités : Spline pèriodique : on suppose que : Avec ces 2 conditions, on aura un système de 4n équations linéaires à 4n inconnues  et la spline S est complètement déterminée.

5)Approximation au sens des moindres carrés Dans le processus d’interpolation (Lagrange spline..), la fonction d’interpolation doit passer par tous les n points (xi , yi). Lorsque les points sont nombreux et sont issus d’une expérience, où chaque mesure est entachée d’une erreur, le polynôme interpolant peut présenter des oscillations importantes. On souhaite alors extraire une corrélation simple entre les variables x et y d’un échantillon sans pour autant vouloir une fonction interpolant qui passe par tous les points. On réalise alors un ajustement par le polynôme aux moindres carrés discret de degré m tel que m < n (où n+1 est le nombre de points); càd:d° (Pm )= m ≤ nb points -2

La question est : comment trouver les coefficients de manière à réaliser le meilleur ajustement ? On cherche le minimum de la fonction suivante : ² Les coefficients du polynôme aux moindre carrés discrets seront ainsi déterminés par les (m+1) relations : (à corriger) Ce qui donne (m+1) relations linéaires entre les

NB : Problème de moindres carrés continus : Dans le cas continue, on connait l’expression analytique de la fonction sur [a, b], et les coefficients du polynôme qui approchent au mieux sont trouvés en minimisant la fonction suivante : Où est l’ensemble des polynômes de degré m définit sur Cette fonction est appelée la norme de convergence quadratique (il y a aussi la norme de convergence uniforme et la norme de convergence euclidienne : c’est celle qu’on a utilisé dans le cas discret). Merci.