Spécialité en Terminale S Stage de formation continue Académie de Dijon Web rappeler l’origine : le CERN 1 1 1

Spécialité en Terminale S 1 – Une introduction Web rappeler l’origine : le CERN 2 2 2

Traitement d’images Introduction aux matrices Une image en niveaux de gris : mosaïque de pixels ; chaque pixel codé par son intensité lumineuse ; codage sur 1 octet, entre 0 (noir) et 255 (blanc) ; intensité lumineuse des pixels normalisée par un nombre de l'intervalle [0;1] ; palette simplifiée de niveaux de gris ci-contre. Un peu de triche : le gris 90% (niveau 0,1) n’est pas défini dans openoffice, il ressemble donc beaucoup au noir… 3

Comment modéliser ces traitements ? Introduction aux matrices Traitement d’images Une image carrée de 64 pixels. On souhaite pouvoir effectuer différents traitements sur cette image comme : éclaircir ; assombrir ; prendre le négatif. L’image ne représente rien de particulier. Elle utilise un peu tous les niveaux de gris. Comment modéliser ces traitements ? 4

Traitement d’images Introduction aux matrices On associe à l’image un tableau de nombres. Modifier l’image revient à modifier les valeurs du tableau: en appliquant une fonction à chaque élément ; (nécessité d’algorithmes de parcours de la matrice) en définissant une opération sur le tableau. On reconnaître les fonctions de référence de la classe de S. Cela peut être l’occasion de retravailler rapidement les positions relatives des courbes. 5

Traitement d'images : bilan Introduction aux matrices Traitement d'images : bilan Notion de matrice apparaît naturellement. Nécessité de définir des opérations sur les matrices justifiée : par le but recherché (modifier l’image) ; par les logiciels qui donnent pour M² un autre résultat que le carré de chaque élément de M. Opération définies : t*A, A+B de façon très partielle avec le négatif. 6

Un réseau de transports Introduction aux matrices Un réseau de transports Graphe des connexions entre les gares de trois villes A, B et C. Les entiers au-dessus des arêtes indiquent le nombre de liaisons pour chaque connexion. On peut représenter ces informations à l'aide de 2 matrices, puis en déduire la matrice des liaisons de la ville A vers la ville C. Une fois l’énoncé lu et compris, on passe à la diapo suivante pour travailler. Activité issue du manuel Odyssée, Terminale S (Hatier) 7

Un réseau de transports Introduction aux matrices Un réseau de transports Phase de recherche. 8

Un réseau de transports : bilan Introduction aux matrices Un réseau de transports : bilan Le produit de matrices apparaît comme réponse à un problème de dénombrement. Pour aller de la gare ai à la gare cj, il y a trois gares intermédiaires possibles, ce qui aide à comprendre dans ce cas la formule Définition du produit de Cayley, le produit de Hadamard ne sera plus utilisé par la suite. 9

2 – Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Spécialité en Terminale S 2 – Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Web rappeler l’origine : le CERN 10 10 10

Le modèle de diffusion d'Ehrenfest - 2 récipients I et II de même volume - N particules contenues dans I, le vide dans II - Un trou dans la paroi entre I et II. - À chaque instant, une particule choisie au hasard change de récipient. On s’intéresse à la répartition au cours du temps de ces N particules entre les récipients I et II. 11 11

Le modèle de diffusion d'Ehrenfest 12 12

1000 particules et 10 000 échanges Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Simulation 1000 particules et 10 000 échanges 13 13

100 particules et 500 échanges Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Simulation 100 particules et 500 échanges 14 14

10 particules et 500 échanges Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Simulation 10 particules et 500 échanges 15 15

6 particules et 500 échanges Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Simulation 6 particules et 500 échanges 16 16

2 particules et 500 échanges Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Simulation 2 particules et 500 échanges 17 17

Deux questions : Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Peut-on parler de stabilisation ? Peut-on toujours revenir à l'état initial ? 18 18

Les trois états possibles Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 Les trois états possibles Probabilité de passer à r1 à r2 à r3 de r1 1 de r2 1/2 de r3 19 19

Graphe et matrice de transition Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 Graphe et matrice de transition 1 r1 r2 r3 1 20 20

Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 État au rang n modélisé par un vecteur ligne : Loi de probabilité de la variable Xn égale au nombre de particules dans II. Initial : V0=(1 0 0) Il est certain qu'il n'y a pas de particule dans II. Rang 1 : V1=V0A=(0 1 0) Il est certain qu'il y a 1 particule dans II. Rang 2 : V2=V1A=V0A2=(½ 0 ½) Il y a 1 chance sur 2 qu'il n'y ait pas de particule dans II, 1 chance sur 2 qu'il y en ait 2. Rang 3 : V3=V2A=V0A3=(0 1 0)=V1 21 21

Recherche d'un état stable Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 Recherche d'un état stable (Vn) : suite géométrique de matrices lignes A3=A donc la suite oscille entre deux valeurs : si n est pair, Vn=(½ 0 ½) si n est impair, Vn=(0 1 0) Pas d'état stable 22 22

Retour à l'état initial Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 Sur 2n étapes : T2n nombre d'étapes pour un retour à l'état initial P(T2n=1)=0 P(T2n=2)=½ P(T2n=3)=P(T2n=2k+1)=0 P(T2n=2k)=(½)k 23 23

Retour à l'état initial Le modèle de diffusion d'Ehrenfest : N=2 Espérance de T2n : Par somme, on obtient : etc... 24 24

Réfléchir à une mise en place effective Le modèle de diffusion d'Ehrenfest Les cas N=3 et N=4 Réfléchir à une mise en place effective avec les élèves. 25 25

3 – Échanges autour du programme Spécialité en Terminale S 3 – Échanges autour du programme Web rappeler l’origine : le CERN 26 26 26

Échanges autour du programme On ne commence pas par exposer pas des contenus, on résout des problèmes. Les contenus introduits doivent être motivés, ils sont réponses à une question, ce qui leur donne du sens. Il va falloir changer les habitudes ! 27

Échanges autour du programme Exigible au baccalauréat : Les notions expressément écrites dans la colonne contenu. 28

Échanges autour du programme 29

Spécialité en Terminale S 4 – Le chiffrement de Hill Web rappeler l’origine : le CERN 30 30 30

Histoire des codes secrets Le chiffrement de Hill Histoire des codes secrets Code César Codes par substitution monoalphabétique Code de Vigenère (décrypté par Babbage) Enigma : inventé vers 1918 par Scherbius, décryptée pendant le 2nde guerre mondiale par Turing. 31 31

Un nouvel algorithme de codage Le chiffrement de Hill Un nouvel algorithme de codage Fragilité des codes mono-alphabétiques Chaque lettre codée par un caractère unique. Décryptage possible par analyse des fréquences. 1931 : Nouvel algorithme publié par Lester Hill : Codage des caractères par bloc. Une même lettre codé par un caractère différent en fonction de sa position. 32 32

Principe Le chiffrement de Hill Chaque lettre codée par un nombre de 0 à 25. Clé de chiffrement constituée de 4 entiers compris entre 0 et 25 : a, b, c, d. À chaque couple d'entiers (x ,y) on associe le couple d'entiers compris entre 0 et 25 (x' ,y') tels que : 33 33

Le chiffrement de Hill 34 34

Le chiffrement de Hill Exercice 1   35 35

Le chiffrement de Hill 36 36

Le chiffrement de Hill Exercice 2   37 37

Le chiffrement de Hill 38 38

Le chiffrement de Hill Exercice 3 39 39

Le chiffrement de Hill 40 40

Le chiffrement de Hill Exercice 4 41 41

Inconvénient et extensions Le chiffrement de Hill Inconvénient et extensions Le chiffrement de Hill est sensible à l'analyse des fréquences : chaque couple de lettres est codé par le même couple de lettres ; on peut donc étudier la fréquence des différents digrammes. Pour rendre l'analyse plus difficile, on peut coder par groupes de 3 lettres ou plus. 42 42

X'=AX Approche matricielle Le chiffrement de Hill On peut écrire la méthode sous forme matricielle : X'=AX où X est le vecteur colonne correspondant à deux lettres à coder simultanément, A est la matrice clé et X' est le vecteur colonne des lettres codées, avec des calculs modulo 26. 43 43

Synthèse Le chiffrement de Hill Intérêt d'utiliser le tableur pour automatiser les calculs. Sujet charnière entre arithmétique et matrices. Réinvestissement des congruences. Introduction du concept de matrice inversible. 44 44

5 – La pertinence d'une page Web et l'algorithme PageRank Spécialité en Terminale S 5 – La pertinence d'une page Web et l'algorithme PageRank Web rappeler l’origine : le CERN 45 45 45

Une histoire du Web Pertinence d'une page Web : Pagerank World Wide Web : Système hypertexte public permettant de consulter des contenus multimedia par internet. Idée développée par Tim Berners-Lee au Cern en mars 1989. Projet rendu public en août 1991. Ne pas confondre avec internet, réseau physique support de plusieurs protocoles (http, ftp, mail, newsgroup). 46 46 46

Les moteurs de recherche Pertinence d'une page Web : Pagerank Les moteurs de recherche 1990-1992 : Liste de serveurs par Tim Berners-Lee. 1990 : Archie, liste de serveurs FTP 1993 : Catalogue du Web, W3Catalog (pas de recherche) 1993 : WWW Wanderer, premier robot Aliweb, référencement par admins 1994 : Webcrawler, robot + interface de recherche Apparition de Lycos 1995 : Yahoo (catalogue), Altavista Fin 90s : Nombreux moteurs, bulle financière 1998-2000 : Montée en puissance de Google 2011 : Google reçoit toujours 85 % des requêtes 47 47 47

Les raisons du succès de Google Pertinence d'une page Web : Pagerank Les raisons du succès de Google Une vision globale, alliant architecture complexe et théorie mathématique approfondie pour la recherche. Théorie basée sur des recherches antérieures. Une approche différente du classement des réponses. La qualité (réelle ou ressentie) des réponses. Un large éventail de services “annexes”. 48 48 48

La formule de Brin et Page Pertinence d'une page Web : Pagerank La formule de Brin et Page Un outil majeur : l’algèbre linéaire 49 49 49

Le web est un graphe orienté. Pertinence d'une page Web : Pagerank Un exemple Le web est un graphe orienté. Importance des sommets. Le web n’est pas une simple bibliothèque de pages web. Les pages web comportent des liens qui permettent d’accéder directement de l’une à d’autres. On peut donc considérer le web comme un graphe orienté dont chaque page web est un sommet et chaque lien un arc. 50 50 50

Comptage naïf : Pertinence d'une page Web : Pagerank On cherche à attribuer à chaque page une mesure de pertinence (un nombre positif ou nul). On note μj la mesure de pertinence de la page j pour j compris entre 1 et n, nombre de pages disponibles à l’instant considéré, en rapport avec la requête considérée. Ici μ1=μ2=3 et μ3=2 La mesure μ ne correspond pas nécessairement à l’importance ressentie par les utilisateurs. On peut augmenter l’importance d’une page en créant des pages « vides de sens » pointant vers j. 51 51 51

Comptage pondéré : Pertinence d'une page Web : Pagerank Si la page contient de nombreux liens, c’est qu’elle n’a pas grand-chose de « personnel » à dire. Ici μ1= 11/6 μ2=10/6 et μ3=5/6. Là encore, on peut artificiellement augmenter l’importance d’une page j en créant une foule de pages « vides de sens » pointant vers j. 52 52 52

Comptage récursif : Pertinence d'une page Web : Pagerank Une page j est importante si beaucoup de pages importantes pointent vers j. On tient compte de l’importance de la page d’origine i et du nombre de liens qui en sont émis. Plausibilité Robustesse La pertinence d’une page est renforcée par la pertinence des pages qui pointent vers elle et elle est diminuée par la dispersion éventuelle des liens issus de ces dernières. 53 53 53

Comptage récursif Pertinence d'une page Web : Pagerank où Les coefficients vérifient : Les aij définissent une matrice à n lignes et n colonnes que l’on peut noter A.   : probabilité d’aller de la page i à la page j, en suivant un des liens au hasard. On modélise ainsi un surfeur aléatoire. 54 54 54

Comptage récursif Pertinence d'une page Web : Pagerank La matrice A constituée par les coefficients aij est une matrice stochastique. Les mesures de pertinences des pages, μi sont solutions du système linéaire de n équations à n inconnues noté où W est la matrice ligne ayant pour coefficients les μi 55 55 55

Comptage récursif Pertinence d'une page Web : Pagerank Si l’on note Xp la position du surfeur après p étapes : c'est-à-dire En notant Up la matrice ligne des 56 56 56

La suite des matrices lignes Up est donc géométrique : Pertinence d'une page Web : Pagerank Comptage récursif La suite des matrices lignes Up est donc géométrique : Les pertinences sont bien définies si la suite (Ap) des puissances de la matrice Ap est convergente. Si convergence, le vecteur limite a pour composantes la pertinence de chacune des pages. 57 57 57

Limites du comptage récursif Pertinence d'une page Web : Pagerank Limites du comptage récursif Visualisation de la matrice et des itérés avec Scilab Le surfeur aléatoire tombera tôt ou tard sur les pages 6-7, où il demeure le reste de sa vie. Ce résultat ne reflète évidemment pas l’importance des pages, qui devrait demeurer pratiquement inchangée. 58 58 58

Comptage récursif avec téléportation Pertinence d'une page Web : Pagerank Comptage récursif avec téléportation Probabilité c : le surfeur abandonne la page actuelle se téléporte au hasard vers une des n pages du web ; Probabilité 1-c : modélisation précédente. On obtient : ou encore puisque 59 59 59

Comptage récursif avec téléportation Pertinence d'une page Web : Pagerank Comptage récursif avec téléportation Notation matricielle, où J désigne la matrice carrée (n,n) dont tous les coefficients sont égaux à 1, ou encore avec 60 60 60

Comptage récursif avec téléportation Pertinence d'une page Web : Pagerank Comptage récursif avec téléportation La suite des matrices lignes Up est donc alors arithmetico- géométrique. Pour démontrer l'existence d'un état stable : on commence par chercher un point fixe : H en posant : , on obtient : puis La constante c est un paramètre du modèle. c=0,15 correspond à suivre environ 6 liens en moyenne. 61 61 61

Pertinence d'une page Web : Pagerank Exercice 62 62

Bibliographie Pertinence d'une page Web : Pagerank Document ressource Éduscol (juin 2012) Michael Eisermann Comment fonctionne Google ? www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm Christiane Rousseau et Yvan Saint-Aubin Mathématiques et Technologie (Springer) 63 63

6 – Échanges autour de l'évaluation Spécialité en Terminale S 6 – Échanges autour de l'évaluation Web rappeler l’origine : le CERN 64 64 64