STATISTIQUES

Statistiques à 2 variables Point moyen. Covariance Sur une population donnée, on étudie 2 caractères. Exemple: Population d’élèves 2 Caractères: - poids - taille

Pour chacun des n individus de la population, on note et les valeurs prises par chacun de ces caractères. On présente les résultats à l’aide d’une série statistique à 2 variables. Valeurs ……. ……..

TROUVER UN LIEN ENTRE LES 2 CARACTERES OBJECTIF TROUVER UN LIEN ENTRE LES 2 CARACTERES

Nuage de points Comment représente-t-on une SS2V ? Définition Dans un repère orthogonal, l’ensemble des points M (avec 1≤ i ≤ n ) est appelé le nuage de points associé à cette SS2V

Exemple La SS2V suivante indique les notes mensuelles d’un élève au cours des 5 premiers mois de l’année numérotés de 1 à 5. Mois 1 2 3 4 5 Notes 8 9 12 13

On représente le nuage de points

M5 M3 M4 M2

Définition Le point G de coordonnées est appelé le point moyen du nuage de points associé à cette SS2V. moyenne des

Retour à l’exemple =

Variance - Covariance Pour étudier la dispersion de chaque variable x et y, on peut calculer leur variance:

Mais il est utile d’introduire une quantité qui fasse intervenir à la fois les valeurs de x et de y Définition On appelle covariance de x et de y le réel: Remarque:la 2ème formule est plus simple à utiliser

Retour à l’exemple

Transition …..

Lorsque le nuage de points a un aspect rectiligne On pourra procéder à un ajustement affine. C’est-à-dire on assimilera le nuage de points à une droite la plus proche possible de tous les points.

2. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés Lorsque les points du nuage paraissent presque alignés, on peut chercher une relation du type y = ax + b qui exprime de façon approchée y en fonction de x, autrement dit une fonction affine f telle que l’égalité y=f(x) s’ajuste au mieux avec les données. Graphiquement on cherche une droite passant au plus près des points.

Une telle relation permettra par la suite de faire des prévisions.

Pour mesurer la qualité d’une telle formule, pour chaque , on considère la différence entre la valeur observée et la valeur calculée par la formule a + b. BUT: Rendre les différences - (a + b) les plus petites possibles. Ces différences sont appelées résidus, erreurs ou perturbations.

La méthode la plus utilisée est la méthode des moindres carrés Elle consiste à trouver a et b pour que la somme de carrés des résidus soit la plus petite possible

M5 M3 M4 M2

La somme des carrés des résidus: est appelée erreur quadratique totale

La droite des moindres carrés est la droite pour laquelle l’erreur quadratique est minimale.

Définition Il existe une droite unique associée au nuage de points Mi(xi;yi) 1≤ i ≤ n, telle que l’erreur quadratique soit minimale. Cette droite passe par le point moyen G du nuage de points Elle a pour équation y=ax+b avec

Cette droite s’appelle la droite de régression de y en x

Retour à l’exemple a= b= y=

Dans la pratique, on utilise la calculatrice pour calculer les coefficients a et b de la droite de régression d’équation y=ax+b

On entre la SS2V sous forme de deux listes L1 et L2.