Troisième degré et imaginaires Comment la recherche des solutions des équations du troisième degré a permis l’invention des nombres imaginaires : l’évolution du statut de ces nombres. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires Plan 1. L’algèbre arabe du IXe au XIIe siècle 2. La renaissance en Italie (XVIe siècle) 3. Le théorème fondamental de l’algèbre et le statut des nombres imaginaires 4. La représentation graphique des nombres complexes J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires Première partie L’algèbre arabe du IXe au XIIe siècle J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Il était une fois… Les mille et une nuits, Sheherazade, Bagdad, le grand calife abasside al Ma’amūn… Al Ma’amūn (né en 786 à Bagdad, mort en 833 à Tarse) avait financé dans sa capitale une « maison de la sagesse » dans laquelle il avait réuni les plus éminents savants de l’époque, et y avait fait traduire en arabe tous les ouvrages scientifiques alors connus (dont les Eléments d’Euclide, l’Almageste de Ptolémée, les Coniques d’Apollonius, etc.). Il y fit venir en particulier le jeune Al Khwarizmi (dont le nom nous a donné le mot algorithme) qui avait déjà, dans le lointain khanat de Khiwa, une très bonne réputation… et qu’on retrouvera à la diapo 7 J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. L’expansion musulmane En orange : l’Arabie à la mort de Muhammad (Mahomet) En jaune : les conquêtes des 4 califes de Médine (632-660) En rose : territoires conquis sous les Omayyades (de Damas) 660-750 En rose à l’ouest (Maghreb) : Territoires restés de 750 à 1492 sous la domination des Omayyades de Cordoue En vert : l’empire Byzantin J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Vers les années 800 : Les seuls nombres sont positifs, représentables par des segments Les seules constructions sont « à la règle et au compas » ; on n’atteint ainsi que des radicaux (problèmes « plans ») Un système de numération hybride (Gūmal) : à base 10 pour les entiers, à base 60 pour les parties fractionnaires. Tableau de conversion des fractions sexagésimales en fractions décimales datant de la fin du XIVe siècle (Al Kashi). En vert, la conversion de 7 dix-millièmes en sexagésimal : 0,0007 vaut 31’’’ 12’’’’. ◄ Les chiffres « indiens » J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Al Khwarīzmi. Né à Khiwa, actuellement dans la province de Xorazm en Ouzbekistan, vers 780. Mort à Bagdad vers 850. Il dédia ce petit opuscule (vers 822 ?) au sultan al-Ma’amūn qui l’avait fait venir à Bagdad. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Al Khwarīzmi. Ajouter une même quantité aux deux membres (pour n’avoir que des +) Réduire les termes semblables dans chaque membre Diviser les 2 membres par un même nombre (pour obtenir un coefficient 1) L’inconnue est un carré (māl) dont on cherche le côté, appelé « racine » (al jīdr). Les carrés sont égaux aux racines Les carrés et les racines égalent les nombres Équations du type (4) : méthode identique à Euclide, livre II. Équations du type (5) : méthode ressemblant à Euclide / Apollonius Équations du type (6) : jamais rencontrée chez les grecs J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Al Khwarīzmi. Al Khwarīzmi. Exemple de problème du second degré (du type x2 + px = q): (transcription en arabe moderne) Traduction : Quant aux carrés et aux racines qui égalent le nombre, c’est comme lorsque tu dis un carré et dix de ses racines égalent trente-neuf dirhams. Sa signification est que tout carré, si tu lui ajoutes l’équivalent de dix de ses racines, cela atteindra trente-neuf. Son procédé consiste à diviser les racines par deux, et c’est cinq. Tu le multiplies par lui-même et ce sera vingt-cinq. Tu l’ajoutes à trente-neuf. Cela donnera soixante-quatre. Tu prends alors sa racine carrée qui est huit et tu lui retranches la moitié des racines, c’est cinq. Il reste trois et c’est la racine du carré que tu cherches. Le carré est neuf. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Al Khwarīzmi. Al Khwarizmi. Exemple de problème du second degré (du type x2 + px = q): Rappel : Son procédé consiste à diviser les racines par deux, et c’est cinq. Tu le multiplies par lui-même et ce sera vingt-cinq. Tu l’ajoutes à trente-neuf. Cela donnera soixante-quatre. Tu prends alors sa racine carrée qui est huit et tu lui retranches la moitié des racines, c’est cinq. Le raisonnement d’Al Khwarīzmi est basé sur cette figure ; c’est la méthode d’Euclide (livre II). N.B. C’est la seule racine positive de cette équation. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Al Khwarīzmi. Al Khwarīzmi. Exemple de problème du second degré (du type x2 = px + q) (jamais rencontré chez les grecs) CONSTRUCTION : Carré ABCD de côté x Rectangle ABKH de côtés x et p E milieu de AH Carré EDFG Carré EHJL J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Al Khwarīzmi. Al Khwarīzmi. Exemple de problème du second degré (du type x2 = px + q) (jamais rencontré chez les grecs) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Al Khwarīzmi. Al Khwarīzmi. Exemple de problème du second degré (du type x2 + q = px) (méthode d’Apollonius) CONSTRUCTION : Rectangle ABCD de côtés x et p. Carré ABEF. K milieu de AD. Carré DKHG (côté p/2). Segment CL = x. Rectangle CLJG. Attention : cette construction n’est possible que si p > 2x J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Al Khwarīzmi. Al Khwarīzmi. Exemple de problème du second degré (du type x2 +q = px) (méthode d’Apollonius) On montre que EM = ML, d’où l’égalité des rectangles KMEF et CGJL. Or A(HMLJ) = A(DGHK) – [A(DCMK) + A(CGJL)] D’où A(HMLJ) = A(DGHK) – [A(DCMK) + A(KMEF)] = A(DGHK) – A(DCEF) Soit A(DGHK) = A(DCEF) + A(HMLJ), Soit (p/2)² = x(p – x) + (p/2 – x)². Or on veut que x² + q = px, soit x(p – x) = q. Il n’y a de solution que si p² > 4q J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Al Khwarīzmi. Et si p < 2x ? Exactement la même construction que dans le cas précédent On a toujours l’égalité des rectangles KMEF et CGJL. On obtient de la même manière : (p/2)² = x(p – x) + (x – p/2)². Ce qui a changé, c’est que le côté de HLMJ n’est plus (p/2 – x) mais (x – p/2)… Et on veut que x² + q = px, soit x(p – x) = q. N.B. Cette construction ne figure pas dans Al Khwarīzmi, c’est Abū Kāmil (850 - 930) qui l’a donnée le premier. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Al Khwarīzmi. Al Khwarīzmi aboutit à des ALGORITHMES de résolution (démontrés géométriquement, mais de même nature que ceux que l’on utilise actuellement en première), et utilisés en tant que tels. Deux idées émergent : Un problème géométrique étant posé, il peut se ramener à la résolution d’une équation algébrique. La résolution d’une équation algébrique peut se ramener à une construction géométrique. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Abū Kāmil. كامل ابو Abū Kāmil Shujā ben Aslam ben Mohammed ben Shujā (né en Egypte vers 850, mort vers 930), surnommé « le calculateur Egyptien ». Dans son ouvrage « Le livre complet sur l’algèbre et la muqābala », il reprend en l’améliorant tout le travail d’Al Khwarīzmi. Comme pour son prédécesseur, tout son travail sur les équations est seulement exprimé avec des mots. Pour les équations de la forme (4), (5) et (6) il donne comme solutions les valeurs de x² (le māl) : J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. Al Birūni. أبو الريحان البيروني Abū ar Rayhān Muhammed ben Ahmed al Birūni (né au Kharezm, Ouzbekistan, en 973, mort à Ghazni, Afghanistan, en 1048). En cherchant à construire une table des sinus, il énonce explicitement deux équations du troisième degré : x3 = 3x + 1 et x3 + 1 = 3x. Abu al Jud montrera, en cherchant à construire au compas un polygone à 18 côtés, que le côté x est solution de x3 + 1 = 3x (qu’il ne sait résoudre ni géométriquement ni algébriquement) : Al Birūni en donnera un solution approchée : x = 20’ 50’’ 16’’’ 45’’’’’ J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. ‘Umar al Khayyām غياث الدين ابو الفتح عمر بن ابراهيم الخيام نيشابوري Ghiyāth ad Dīn Abū al Fath ‘Umar ben Ibrāhīm Khayyām Nīshābūri (1048 – 1123, Nishapur, nord-est de l’Iran). Pour les équations du 3e degré, il tente des solutions géométriques dans l’espace, mais en vain. La démonstration de ces formes, pour le cas où l’objet du problème est un nombre absolu, n’est possible ni par nous, ni par aucun de ceux qui sont passés maîtres dans cette science. Peut-être qu’un de ceux qui viendront après nous la réalisera. ‘Umar al Khayyām, « Traités arithmétiques » Il classe les équations du 2e et du 3e degré en 25 formes canoniques : Six sont déjà étudiées par Al Khwarizmi Cinq se résolvent en divisant l’équation par x ou par x2 (pas de terme constant) Les 19 autres se résolvent par intersection de coniques (Apollonius) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. ‘Umar al Khayyām. Remarque : cette équation a toujours une seule racine réelle positive. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. ‘Umar al Khayyām. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. ‘Umar al Khayyām. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. ‘Umar al Khayyām. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. At Tūsī. Abū Ja‛far Nasīr ad-Dīn at-Tūsī (né en 1201 ? à Tūs, nord-est de l’Iran, mort en 1274 près de Bagdad) Il est connu surtout pour ses écrits de géométrie (théorie des parallèles, tables de trigonométrie, résolutions de triangles…). Il continue l’œuvre de ‘Umar al Khayyām sur les équations du 3e degré (par exemple résolutions par approximations successives). Il discute systématiquement de l’existence et du nombre de racines des équations du troisième degré, mais ne donne pas d’algorithmes de résolution (sa méthode se fonde sur une recherche d’extrema). J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. At Tūsī. Exemple : condition d’existence des solutions de x3 + a = cx2 Soit C le point aux deux-tiers de [BA]. Si E[BC] on montre que BE2AE < BC2AC Si F[CA] on montre que BF2AF < BC2AC Le maximum de BM2AM est donc obtenu pour C, aux deux-tiers de [BA], soit x = (2/3)AB Ce maximum vaut M = (4/27)c3. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. At Tūsī. Exemple : condition d’existence des solutions de x3 + a = cx2 (suite) On veut résoudre cx2 – x3 = a, soit BC2AC = a. Si a > (4/27)c3, le problème est impossible. Si a = (4/27)c3, le problème admet une solution unique qui est x=(2/3)c. Si a < (4/27)c3, le problème admet deux solutions : l’une, x1, correspond à un point E de [BC], et 0 < x1 < (2/3)c - l’autre, x2, correspond à un point F de [CA], et (2/3)c < x2 < c J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. At Tūsī. Exemple : résolution de x3 + 36x = 91 750 087 Il est aisé de montrer que la racine x est un nombre à 3 chiffres. Notons cdu ce nombre x= c102 + d10 + u. Alors : x3 = d3.106 + d3.103 + u3 + 3d2d.105 + 3d2u.102 + 3du2.102 + 3cd2.104 + 3c2u.104 + 3bu2.10 + 6cdu.103, et 36x = 36c.102 + 36b.10 + 36u D’où x3 + 36x = c3.106 + 3c2d.105 + 3cd2.104 + 3c2u.104 + d3.103 + 6cdu.103 + 3b2u.102 + 3cu2.102 + 36c.102 + 3du2.10 + 36d.10 + 36u + u3 On cherche déjà c. La plus grande valeur dont le cube soit inférieur à 91 est c = 4 (car 4003 = 64 000 000 et 5003 = 125 000 000). J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. At Tūsī. Exemple : résolution de x3 + 36x = 91 750 087 (suite) On calcule le « premier reste » N1 = 91 750 087 – (c3.106 + 36c.102) [termes ne contenant que c, en rouge ci-dessus] : N1 = 27 735 687. Or N1= 48d.105 + 12d2.104 + 27u.104 + d3.103 + 24du.103 + 3d2u.102 + 12u2.102 + 3du2.10 + 36d.10 + 36u + u3 On cherche maintenant d. La plus grande valeur telle que 48d.105 soit inférieure à N1 est d = 5 (car 485105 = 24 000 000, et 486 = 28 800 000). On calcule le « second reste » : N2 = 27 735 687 – (48d.105 + 12d2.104 + d3.103 + 36d.10) [termes ne contenant que d dans N1], et on trouve N2= 608 887. Et ainsi de suite : on trouvera u = 1, et alors le « troisième reste » N3 est nul. La solution de l’équation est donc x = 451 (exactement). J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Première partie. At Tūsī. Et si ça ne tombe pas juste ? Qu’à cela ne tienne, il continue, mais avec des fractions sexagésimales… Je vous laisse imaginer les calculs ! N.B. cette méthode sera reprise par Newton dans son traité des fluxions (mais cette fois avec une numération totalement décimale). Voir ci-contre, y3 – 2y – 5 = 0 ► Sir Isaac NEWTION, La méthode des fluxions, écrit en latin vers 1670, traduit par BUFFON en 1740. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires Entracte Evolution des notations algébriques en Europe, du XVe au XVIIe siècle. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Entracte.. XIIe siècle : Léonard de Pise rapporte d’un voyage au Maghreg le traité d’Al Khwarīzmi sur « al jabr » et « al muqābala ». Vers 1450, invention de l’imprimerie par Gutenberg. Des notations nouvelles apparaissent. 1664 : Découverte des « Arithmétiques » de Diophante, ce qui ramène l’intérêt pour « ARS REI ET CENSUS » (l’art de la chose et de son carré ) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Entracte. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Entracte. Résolution de A3 + D.A = Z Notations dites « de Xylander » (vers 1575) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. La renaissance en Italie (XVIe siècle) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Pacioli Luca Bartolomes Pacioli, dit Luca di Borgo, né en 1445 à Borgo, mort en 1517 à Rome. On lui doit le premier livre d’algèbre imprimé (1494) Il reprend la classification arabe des équations du second degré. Il sera le point de départ des travaux de la renaissance italienne. Luca Pacioli avec un élève, tableau de Jacopo de Barbari, 1495. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Del Ferro SCIPIONE DEL FERRO Né à Bologne en 1465, mort à Bologne en 1526. On n’a retrouvé aucun de ses écrits. Vers 1500, on sait qu’il disposait d’une formule « secrète » pour résoudre l’équation x3 + ax = b. Mais le secret semble bien gardé, et on ignore comment il avait pu obtenir ce résultat. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Tartaglia. Niccolò Fontana, dit Tartaglia (le bègue), né à Brescia en 1499, mort à Venise en 1557. Lors d’un concours organisé par Antonio Fiore, élève de Scipione del Ferro, il résout (en une seule nuit) trente équations du type x3 + ax = b. Il ne veut pas dévoiler sa méthode. Cardan aura connaissance de cette prouesse, se fera révéler la formule sous le sceau du secret, et promettra de ne pas la divulguer … … mais Cardan, apprenant que Scipione del Ferro la connaissait également, se sent délié de son serment, et la publie en 1545 dans l’Ars Magna. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Tartaglia. La « recette » de Tartaglia (vers 1530) Quando ch’el cubo e le cose appresso Se aggulia a quelqche numero direto Trova mi due altri differente in esso Dappoi terrai questo per consulto Che’l lor produtto sempre sia equale Al terzo cubo delle cose netto El residuo poi suo genrale Delli latti cubi ben sostratti Verra la tua cose prinzipale J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Cardan. Gerolamo Cardano (Pavie, 1501 - Rome, 1576), nommé Hieronymus Cardanus en latin ou encore Jérôme Cardan en français. Féru d’astrologie, il se disait doué d'une clairvoyance surnaturelle, et proférait des opinions si extravagantes qu'on l'a dit enclin à des accès de folie. Il publie « Ars magna » en 1545. Dans cet ouvrage, il ne se contente pas d’exhiber la formule « volée » à Tartaglia, mais il explique comment on la démontre. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Cardan. La « méthode de Cardan » Résolution de x3 + cx = d Posons x = α + β. Alors : x3 = α3 + β3 + 3αβ(α + β) L’équation devient : α3 + β3 + (α + β)(3αβ + c) = d Idée géniale (!) : Chercher une solution où α3 + β3 = d et (3αβ + c) = 0 Soit : Ce qui revient à chercher deux nombres u = α3 et v = β3 connaissant leur somme et leur produit : On calcule alors u et v, puis α et β, puis x : J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Cardan. Racines carrées de nombres négatifs Dans un tout autre domaine que celui des équations du troisième degré, il « ose » calculer avec des racines carrées de nombres négatifs. On verra comment Bombelli systématisera cette idée dans les équations du 3e degré. Le problème est le suivant : partager un nombre s en deux parties dont le produit soit un nombre donné p. La solution de ce problème se trouve chez Euclide : a est h comme h est à b. Donc a  b = h². Soit h = √p. La solution géométrique est la suivante : on trace la parallèle à [AB] à une distance √p, qui recoupe le cercle de diamètre [AB] en M, et on abaisse la perpendiculaire pour trouver le point H qui partage s en a et b. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Cardan. Voici, en langage actuel, deux exemples et l’algorithme général donnés par Cardan : J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Cardan. Racines carrées de nombres négatifs (suite) Cependant, dans un cas où ce problème n’a pas de solution, Cardan en trouve quand même : Je donne un exemple : si on vous dit divise 10 en deux parties dont le produit est 40, il est évident que ce cas en question est impossible. Néanmoins nous le résoudrons de cette manière : divisons 10 en deux parties égales faisant chacune 5 ; multiplié par lui-même cela donne 25. De 25, je soustrais le produit lui-même, 40. Cela, comme je l’ai enseigné dans le chapitre sur les opérations dans le 6e livre, laisse un reste m:15. La racine de ceci ajoutée et puis soustraite de 5 donne les parties qui multipliées entre elles produisent 40. Celles-ci sont, par conséquent, 5p:Rm:15 et 5m:Rm:15. Ars Magna, Chapitre XXXVII, règle II (1545) 5p:Rm:15 signifie 5 plus racine (de) moins 15 5m:Rm:15 signifie 5 moins racine (de) moins 15. On voit ici que Cardan « ose » les négatifs dans les soustractions et dans les racines carrées. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Ferrari. Ludovico Ferrari (Bologne, 1522 – Bologne 1565), élève puis collaborateur de Cardan (il participe à la rédaction de l’Ars Magna), est célèbre pour avoir montré que la résolution des équations du quatrième degré se ramenait à celles du troisième degré : par un changement de variable (méthode dite « de Ferrari »). J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Bombelli. Raffaele Bombelli (Bologne 1526 – Rome, 1572), ingénieur hydraulique devenu mathématicien. Il reprend de façon systématique la méthode de résolution des équations biquadratiques (x4 + bx2 = c) et des équations du troisième degré. Comme l’avait pressenti Cardan, il ne faut pas s’arrêter dans la résolution s’il est nécessaire de calculer avec la racine d’un nombre « moins que rien » (c’est-à-dire négatif). Nous allons en donner deux exemples. L’Algèbre, de Bombelli (réédition 1579) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Bombelli. Résolution de x3 = 9x + 28 Posons x = α+β (et u = α3, v = β3). Comme x3 = α3 + β3 + 3αβ(α + β) [Cardan], l’équation devient α3 + β3 + (3αβ – 9)(α + β) = 28. On résout donc α3 + β3 = 28 et 3αβ – 9 = 0, ce qui revient à chercher u et v tels que u + v = 28 et u.v = 27. Cela se ramène à une équation du second degré u2 + 27 = 28u, qui se ramène à (u – 14)2 = 132. Les racines sont u = 27 et v = 1. Comme u = α3 et v = β3, il vient α = 3 et β = 1. La solution de l’équation est donc x = α + β = 4. N.B. Évidemment, Bombelli ne donne que cette solution réelle ; les deux autres, qu’on sait calculer actuellement, sont les deux nombres complexes conjugués -2 + i√3 et - 2 - i√3. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Bombelli. Résolution de x3 = 15x + 4 Posons x = α+β (et u = α3, v = β3). Comme x3 = α3 + β3 + 3αβ(α + β) [Cardan], l’équation devient α3 + β3 + (3αβ – 15)(α + β) = 4. On résout donc α3 + β3 = 4 et 3αβ – 15 = 0, ce qui revient à chercher u et v tels que u + v = 4 et u.v = 125. Cela se ramène à une équation du second degré u2 + 125 = 4u, qui se ramène à (u – 2)2 = -121. Bombelli continue le même calcul « formellement » : il calcule la racine carrée de -121 (qu’il écrit R0.m.121), et qui vaut p.d.m.11 (più di meno 11), en termes actuels 11i. u et v sont donc respectivement u = 2 + p.d.m.11 et v = 2 - p.d.m.11. Or 2 + √(-121) est le cube de 2 + √(-1) et 2 - √(-121) est le cube de 2 - √(-1). D’où x = 2 + √(-1) + 2 - √(-1) = 4 Là encore, Bombelli ne donne que cette solution réelle ; les deux autres, qu’on sait calculer actuellement, sont les deux nombres réels -2 + √3 et -2 - √3. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Bombelli. Résolution de x3 = 15x + 4 (la même chose, en V.O. : Algèbre, éd. 1572) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Deuxième partie. Bombelli. Bombelli annonce son « invention » : J’ai trouvé une autre sorte de racine cubique, très différente des autres, ce qui arrive dans le cas où le cube égale la première puissance et un nombre, quand le cube du tiers de la première puissance est supérieur au carré de la moitié du nombre absolu, de sorte que la racine carrée a dans l’algorithme un nom et une opération différente des autres ; dans ce cas on peut l’appeler plus ou moins ; je l’appellerai cependant plus de moins quand il devra être ajouté et moins de moins lorsqu’il devra être soustrait. La « table de multiplication » de Bombelli : Più via più di meno fa più di meno Meno via più di meno fa meno di meno Più via meno di meno fa meno di meno Meno via meno di meno fa più di meno Più di meno via più di meno fa meno Più di meno via meno di meno fa più Meno di meno via più fa meno di meno Meno di meno via meno di meno fa meno Malheureusement, cette considération des solutions « impossibles » ne sera reprise ni par Viète ni par Harriot ni par Stevin, qui ont pourtant beaucoup œuvré sur les équations. Il faudra attendre le Traité d’algèbre de Rolle (1690) pour que ces nombres « imaginaires » puissent commencer à exister. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires Troisième partie Le théorème fondamental de l’algèbre et le statut des nombres imaginaires J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Albert Girard. … dit « le Samielois » : né à Saint-Mihiel (Lorraine) en 1795, mort en 1632 à Leyde (Hollande). Joueur de luth professionnel, réfugié en Hollande pour des raisons religieuses, il y traduisit l’œuvre de Simon STEVIN. Il est « l’inventeur » du théorème fondamental de l’algèbre (appelé aussi théorème de D’Alembert-Gauss), qu’il publia en 1629 dans son Invention nouvelle en l’algèbre. Depuis le travail des mathématiciens arabes sur les factorisations et divisions de polynômes, on savait que si α était racine de l’équation P(x) = 0, alors P(x) pouvait être divisé par (x – α). Voici ce qu’il écrit, à propos de l’équation x² = 6x – 25 : Quand quelques (2) sont égaux à (1) – (0), il peut se faire que l’équation soit impossible, comme si 1(2) était égal à 6(1) – 25, alors la valeur de 1(1) serait inexplicable, à savoir 3+√-16 ou 3-√-16 , ce qui peut arriver seulement aux équations où les (0) sont – et qui sont ambiguës, c’est-à-dire qui reçoivent plus d’une solution par + : et ainsi s’entendra des autres équations. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Albert Girard. Voici l’énoncé de son théorème : Toutes les équations d’algèbre reçoivent autant de solutions que la dénomination de la plus haute quantité le démontre, excepté les incomplètes (…) Il donne comme premier exemple 1(4) = 4(3) + 7(2) - 34(1) + 24(0), c’est-à-dire x4 = 4x3 + 7x2 – 34x + 24, dont les quatre racines sont 4, 2, 1 et -3. (rappelons que les nombres négatifs « n’existaient » pas, ils étaient des « moins que rien ». On constate que le théorème de Girard n’est pas tout à fait exact : celui-ci pense qu’il peut ne pas être vrai pour les équations « incomplètes » (celles où au moins un coefficient serait nul). On ne sait pas d’où est venu cette idée qu’une équation de degré n devrait avoir n racines ; disons que c’était dans « l’air du temps ». Et il paraîtrait même qu’un certain Pedro Nuñes, géographe portugais, aurait déjà énoncé ce résultat, et que cela serait arrivé aux oreilles de Stevin… les recherches se poursuivent pour en trouver des preuves. En attendant, en bons Lorrains chauvins, nous optons pour la paternité à Albert GIRARD ! J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Albert Girard. Et voici encore deux exemples : la résolution de x3 = 300x + 432, dont il donne les trois racines (18 ; -9 + √57 ; -9 - √57) et celle de x4 = 4x - 3, dont il donne les quatre racines (1, 1, -1 +√-2, -1 -√-2) : J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Albert Girard. Mais à quoi ça sert ? Donc il se faut resouvenir d'observer tousjours cela : on pourroit dire à quoy sert ces solutions qui sont impossibles, je respond pour trois choses, pour la certitude de la reigle générale, & qu'il ny a point d'autre solutions, & pour son utilité: l'utilité est facile, car elle sert à l'invention des solutions de semblables équations comme on peut remarquer en l'arithmetique de Stevin, (…) Par ce moyen on trouvera que jamais personne n'a resoud les équations cydevant avec toutes leurs solutions. Albert Girard, Invention nouvelle en l’algèbre, 1629. Son livre « Invention nouvelle » n’eut aucun écho à l’époque, et ne fut « redécouvert » qu’au XIXe siècle. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Descartes. René Descartes, né en 1596 à La Haye (Touraine, France), bourg qui a depuis pris le nom de Descartes, mort de froid en 1650 dans le palais royal de Stockholm où la reine Christine de Suède l’avait invité. En 1637, il publie La géométrie, composée de trois parties : Les problèmes qu’on peut traiter sans y employer que des cercles et des lignes droites, De la nature des lignes courbes, et De la construction des problèmes solides et plus que solides. C’est dans cette troisième partie qu’il énoncera ce que l’on appellera plus tard le théorème fondamental de l’algèbre (il ne semble pas qu’il ait eu connaissance de l’œuvre de Girard, publiée 8 ans auparavant). J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Descartes. Avant de parler des « imaginaires », et du théorème fondamental, signalons une « révolution fondamentale » due à Descartes : il interprète les opérations de la géométrie en termes algébriques (« retrouvant ainsi les grecs, qui ne « connaissaient » que les longueurs). Exemples : Soit par exemple AB l’unité, et qu’il faille multiplier BD par BC, je n’ai qu’à joindre les points A et C, puis tirer DE parallèle à AC, et BE est le produit de cette multiplication. S’il faut tirer la racine carrée de GH, je lui ajoute en ligne la droite FG qui est l’unité (…) [je tire le demi-cercle de diamètre FH], puis élevant du point G une ligne droite jusques à I à angles droits sur FH, c’est GI la racine cherchée. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Descartes. Le « théorème fondamental » Edition de 1637, extrait J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Descartes. La Géométrie, livre III (1637) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Descartes. (…) La Géométrie, livre III (1637) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Descartes. Sachez donc, prononce ce philosphus miles dans le commencement de son discours, qu’en chaque équation, autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant il peut y avoir de diverses valeurs de cette quantité, c’est-à-dire de racines. Et moi je veux lui apprendre qu’il y a beaucoup d’équations où il est impossible que la quantité inconnue ait autant de valeurs qu’elle ait de dimensions. Mais pour ne faillir point comme lui, qui a oublié la raison de ce qu’il a témérairement avancé, et de nous dire sur quoi il s’est fondé pour rendre sa proposition générale, laquelle reçoit plusieurs exceptions, je vais démontrer la mienne qui lui est diamétralement opposée et qui ne peut être vraie que si la sienne est fausse. (…) Peut-être le Sieur Descartes, pour éluder ces preuves, se voudra servir de la distinction qu’il fait des racines d’une équation en réelles et imaginaires, mais je te montrerai, quand il te plaira, qu’en cette distinction il n’y a aucune réalité, qu’elle n’a de fondement que le caprice de son auteur, et qu’elle est en tout ridicule et impertinente. Jean de Beaugrand, dit le Géostaticien (Mulhouse, 1584 ; Paris,1640), graveur, philosophe et … mathématicien, est surtout connu pour les querelles qui l'opposèrent à Girard Desargues (sur la perspective) puis à René Descartes. Voici ce qu’il écrivit en 1638. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Descartes. Juste pour la beauté de l’image… Passage où Descartes indique comment résoudre les équations z3 = ± apz ± a2q (z3 = ± cz ± d) et z4 = ± apz2 ± a2qz ± a3r (z4 = ± cz2 ± dz ± e) [Pour les équations du quatrième degré, il fait “disparaitre” le terme en z3 par la méthode de Ferrari]. Il ramène le problème à l’intersection d’un cercle et d’une parabole (il peut y avoir de zéro à quatre points d’intersection). Sur la figure, on a : AS = a AC = a/2 CD = p/2 ED = q/2 AR = r J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Montucla. Jean Etienne Montucla (Lyon 1725 – Versailles 1799), auteur de la très célèbre Histoire des mathématiques. Il tente d’établir les propriétés des nombres imaginaires par une analogie entre l’équation du cercle et celle de l’hyperbole. L’équation du cercle x2 + y2 = 1 devient l’équation de l’hyperbole x2 - y2 = 1 si l’on substitue à y la valeur y√-1. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Il faut distinguer à ce stade deux « sortes » d’imaginaires : Les imaginaires « réels » (ceux des italiens, Bombelli…) de la forme a+b√-1, avec lesquels on calcul comme avec les réels. Les imaginaires « idéaux » (ceux de Girard, Descartes…) : les nombres qui manquent pour que le théorème fondamental soit vrai. L’ambiguïté demeurera jusqu’à GAUSS (1825, seconde démonstration du théorème fondamental de l’algèbre) et KRONECKER (construction explicite du corps C). Ces expressions ont ceci d’admirable que dans le calcul elles n’enveloppent rien d’absurde ni de contradictoire, et que cependant on ne peut en donner d’exemple dans la nature c’est-à-dire dans les choses concrètes. Leibniz, Aperçu d’une nouvelle analyse concernant la science de l’infini (fin XVIIe s.) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. XVIIe siècle. Les divers travaux du XVIIe siècle Les préoccupations sont plutôt d’établir des formules de résolution des équations (et non des théorèmes d’existence et de dénombrement des solutions). On utilise des nombres de la forme appelés imaginaires « en apparence ». admet n valeurs de la forme p+q√-1 obtenues en divisant un arc en n parties égales (De Moivre, 1738). On fait le lien entre ces nombres et la division des arcs de cercle : La substitution de quantités imaginaires dans les calculs symboliques devient pratique courante : les règles de calcul de R sont extensibles aux nombres complexes, moyennant (√(-1))² = -1. Mais cela va brutalement être remis en cause en 1712-1713 J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. XVIIIe siècle. La controverse sur les logarithmes des imaginaires Les deux protagonistes : LEIBNIZ Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1646 ; Hanover, 1716) , philosophe, mathématicien, diplomate et homme de loi allemand qui a écrit en latin, français et allemand. BERNOULLI Johann Bernoulli (Jean Bernoulli 1er, fils de Nicolas, père de Jean 2e), né en 1667 et mort en 1748 à Bâle, mathématicien et physicien suisse. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. XVIIIe siècle. La controverse sur les logarithmes des imaginaires Argument de Bernoulli : les logarithmes des nombres négatifs sont les mêmes que ceux des nombres positifs : L(-a) = L(+a). Raison : L(-a)² = L(+a)2, donc 2L(-a) = 2L(+a), etc. Autre raison : la différentielle L(-x) est (-x)/(-x) = (x)/x = L(x). Réfutation de Leibniz : Si des quantités ont des différentielles égales, cela ne prouve pas qu’elles sont égales : elles peuvent différer d’une constante. On a d’ailleurs bien L(-a) = L(-1) + L(a). Et rien ne permet de dire que L(-1) = 0, sinon ce serait se servir de la conclusion comme point de départ. Il y a beaucoup d’autres arguments échangés, faisant par exemple appel développement en série de L(1+x), etc. mais la place manque ici. Reportez-vous à la brochure APMEP n°41, Fragments d’histoire des mathématiques, pages 121 à 140 : article de Jean-Luc VERLEY. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. XVIIIe siècle. La controverse sur les logarithmes des imaginaires Euler comprend que le problème n’est pas simple ! Il est fort étonnant que, soit que l'on embrasse le sentiment de M. Bernoulli ou qu'on le rejette, on tombe également en des embarras insurmontables, et même en des contradictions (...). Soit donc qu'on dise une ou l'autre de ces deux choses, ou que le sentiment de M. Bernoulli est vrai, ou qu'il est faux, on se plonge également dans le plus grand embarras, ayant à combattre avec des contradictions ouvertes. Cependant, il faut absolument ou que ce sentiment soit vrai, ou qu'il soit faux, et il ne paraît pas d'autre parti à prendre. Quel moyen donc de se tirer d'affaire et de sauver la vérité contre de si grandes contradictions ? Mais les arguments avancés font tous référence à ces 3 propriétés de la fonction logarithme : Elle vérifie L(z.z’) = L(z) + L(z’) Elle est la fonction réciproque de l’exponentielle, soit eL(z) = z. Elle vérifie l’équation différentielle L(z) = z/z J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. XVIIIe siècle. La controverse sur les logarithmes des imaginaires Mais Euler donnera la « solution » du problème. Citons J.-L. Verley : Les difficultés et contradictions rencontrées ne pouvaient être dénouées que par la reconnaissance du caractère multiforme du logarithme complexe, ce qui constituait une rupture par rapport au principe de permanence, une cassure épistémologique par rapport aux conceptions leibniziennes. EULER explique avec beaucoup de détails comment « il répond à chaque nombre une infinité de logarithmes » ; tout nombre réel positif a une infinité de logarithmes complexes dont un seul est réel : c'est le passage au complexe qui fait apparaître la situation générale. Ce mémoire d'EULER est aussi le premier où apparaît clairement la notion générale de mesure d'un angle, définie à un multiple entier de 2π près. Jean-Luc VERLEY, « La controverse des logarithmes des nombres négatifs et imaginaires », In Fragments d’histoire des mathématiques, tome 1, brochure APMEP n°41, 1981 J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. D’Alembert. Jean Le Rond d’Alembert (Paris 1717, Paris 1783). En 1746, il démontre (presque correctement) le théorème suivant : Tout polynôme à coefficients réels se factorise en produit de polynômes à coefficients réel de degré 1 ou 2. Gauss trouvera quelques lacunes dans cette démonstration, reprendra ce travail et donnera une démonstration exacte en 1799 (qui sera suivi de preuves de nature différente en 1816 et 1849). Cela a permis de démontrer (plus tard) que C est algébriquement clos. C’est-à-dire que tout polynôme à cœfficients dans C admet autant de racines que son degré dans C. C est même le plus petit corps contenant R qui ait cette propriété : on dit que C est la « clôture algébrique » de R. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Euler. Leonhard Euler (Bâle 1707, Saint-Petersbourg 1793). Son œuvre colossale couvre tous les domaines des mathématiques, et ses écrits ont l’avantage d’être très clairs. Il introduit en 1728 la lettre e pour désigner la base des logarithmes népériens, il impose la lettre π dans le cercle (notation introduite pour la première fois par Jones en 1706), et remplace en 1777 le symbole √-1 par : i A partir de là, on réservera le symbole √ uniquement aux nombres réels positifs. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Gauss. Karl Friedrich Gauss, Brunswick 1777, Göttingen 1855), le « Prince des mathématiciens ». Son œuvre est également considérable. En 1831, dans Theoria Residuorum Biquadraticorum, il étudie les nombres de la forme a + ib (où aN et bN), appelées par la suite « les entiers de Gauss ». Il en fait une étude analytique et suggère de les représenter par un réseau à mailles carrées du plan. Ces travaux susciteront un développement prodigieux des mathématiques : fonctions d’une variable complexe, intégrations complexe, etc. C’est lui qui nommera « complexes » les nombres de la forme a + ib. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Troisième partie. Cauchy. Augustin-Louis Cauchy, Paris 1789, Sceaux 1857 Mais il est évident que la théorie des imaginaires deviendrait beaucoup plus claire encore et beaucoup plus facile à saisir, qu’elle pourrait être mise à la portée de toutes les intelligences, si l’on parvenait à réduire les expressions imaginaires, et la lettre i elle-même, à n’être plus que réelles. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires Quatrième partie La représentation graphique des nombres complexes J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Wessel. La représentation graphique des nombres complexes Caspar WESSEL Né à Jønsrud (act. Norvège) en 1745, mort à København en 1818 ; arpenteur et géographe au Danemark. Il est maintenant avéré qu’il a été le premier à représenter géométriquement les nombres complexes à l’aide d’un plan, en les assimilant à des vecteurs, dans un mémoire intitulé « Om directionens analytiske betegning » (Essai sur la représentation analytique de la direction) écrit en danois, présenté en 1797 à l’Académie Royale des Sciences et des Lettres du Danemark. Ce travail de Wessel ne sera connu qu’un siècle plus tard. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Wessel. On peut dire que, pour la représentation des nombres imaginaires, Wessel a « lancé » la notion de vecteur (module + argument) : Les produit de deux segments aura une longueur égale au produit des longueurs des deux facteurs, et aura une inclinaison (définie par référence au segment unitaire positif) égale à la somme des inclinaisons des deux facteurs. Il désigne par la lettre ε une unité (autre que +1) de direction perpendiculaire à l’unité positive ; de sorte que l’inclinaison de ε vaut 90°, celle de -1 vaut 180° et celle de –ε vaut -90°. Et il donne les règles opératoires (table de multiplication) : (+1)(+1) = (-1) , (-1)(+1) = (-1) , (-1)(-1) = (+1) , (+1)(+ε) = (+ε) , etc. (+ε)(+ε) = (-1) , (-ε)(-ε) = (-1) , (+ε)(-ε) = (+1). Il montre également que tout segment du plan peut s’écrire soit : a + εb, Soit : r.(cos v + ε.sin v). Quel dommage que le travail de Wessel n’ait été connu qu’un siècle plus tard… J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Abbé Buée. L’abbé BUÉE Adrien-Quentin Buée, 1748-1826, prêtre français, s'exile en Angleterre en 1791. Il présente en 1805 un mémoire (publié en 1806) sur les quantités imaginaires et suggère leur représentation géométrique. Ce mémoire passera inaperçu, éclipsé par celui d'Argand (Cauchy s'appuiera pourtant ultérieurement sur ses travaux). L’abbé Buée, comme Argand, s’appuient tous deux sur l’idée suivante : De la même façon que x est moyenne proportionnelle entre a et b (on écrivait à l’époque a : x :: x : b), alors on a sur la seconde figure +1 : √-1 : : √-1 : -1. Peut-être s’inspiraient-ils d’une phrase de J. Wallis, qui proposait en 1685 d’interpréter les racines imaginaires d’une équation du second degré en allant en dehors de la ligne où, si elles étaient réelles, elles seraient mesurées. (John Wallis, Traité d’algèbre, 1685) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Abbé Buée. Du signe √-1 Je mets Du signe √-1 en titre, et non de la quantité ou de l’unité imaginaire √-1, parce que √-1 est un signe particulier lié à l’unité réelle 1, et non une quantité particulière (…). Mais que veut dire ce signe ? Il n’indique ni une addition, ni une soustraction, ni une opposition par rapport aux signes + et –. Une quantité accompagnée de √-1 n’est ni additive ni soustractive (…) Voici la figure qui se trouve dans le mémoire de l’Abbé Buée : Mais qu’est-elle donc ? Pour le découvrir, supposons trois lignes égales AB, AC, AD, plates. Si je désigne la ligne AB par +1, la ligne AC sera -1, et AD qui est une moyenne proportionnelle entre AB et AC sera nécessairement √-1. Ainsi √-1 est le signe de la PERPENDICULARITÉ (…). Le signe √-1 exprime tout cela, et il est le seul qui l’exprime. Ce signe mis devant a (a signifiant une ligne ou une surface) veut donc dire : qu’il faut donner une situation perpendiculaire ) celle qu’on lui donnerait si on avait simplement +a ou –a. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Argand. Jean-Robert Argand (Genève 1768, Paris 1822) a publié confidentiellement ses idées sur ce sujet en 1806. Son texte n’a été connu qu’en 1913, après qu’il eut été publié dans les Annales de Gergonne sous le titre Essai sur la manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. On lui doit également le nom de module d’un nombre complexe. Copie d’un extrait du document figurant dans les Annales de Gergonne (1913). Mais le traité d’Argand ne sera véritablement connu que lorsqu’il aura été republié par Hoüel en 1874. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Argand. On aura remarqué, dans le texte précédent, qu’Argand n’écrit pas √-1 mais 1d (ce qui correspond à l’unité sur la perpendiculaire d à la droite « réelle »). Il explique qu’il a essayé de chercher « un genre de grandeur auquel peut s’allier l’idée de direction, de manière que, étant adoptées deux directions opposées, l’une pour les valeurs positives, l’autre pour les valeurs négatives, il en existât une troisième telle que la direction positive fût à celle dont il s’agit comme celle-ci à la direction négative ». Il propose donc la direction perpendiculaire, et conclut : « Toute ligne parallèle à la direction primitive est exprimée par un nombre réel, celles qui sont perpendiculaires sont exprimées par des nombres imaginaires, et celles qui sont tracées dans une direction autres que les précédentes appartiennent à la forme ± a ± b√-1. Ces lignes sont des quantités tout aussi réelles que l’unité primitive ». En réalité, Argand utilise ces « lignes » comme des vecteurs. Il les additionne par la règle du parallélogramme, et il les multiplie en multipliant les modules et en ajoutant les arguments. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Argand. Il explique également qu’il peut alors insérer autant de « moyennes » qu’il veut entre 1 et √-1. Cela revient à partager l’arc AE n parties égales, d’angles k(π/2n). Il appelle cela des « grandeurs dirigées ». J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Français. Joseph-François FRANÇAIS, (Saverne, 1798 – Mainz, 1810) était professeur à l’École impériale de l’Artillerie et du Génie. Entre autre travaux, il a publié un article dans les Annales de Gergonne en 1813-1814, intitulé Nouveaux principes de la géométrie de position et interprétation géométrique des nombres imaginaires. Il y définit des segments à la fois en grandeur et position (c’est-à-dire avec module et argument), qu’il note aα, a représentant la «grandeur absolue» et α l’inclinaison. Il y explique que dans une proportion de grandeur et de position aα : bβ :: cγ : dδ, lorsque entre les deux dernières il y aura même rapport de grandeur et même rapport de position qu’entre les deux premières (…). Il faut qu’on ait à la fois b/a = d/c et β – α = γ – δ. Corollaire : dans deux figures semblables, les côtés homologues sont en proportion de grandeur et de position. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Français. J.-F. FRANÇAIS (suite) Comme on a : il s’en suit que c’est-à-dire que pour exprimer une droite de grandeur et de position, il faut prendre la somme de ses projections sur les deux axes de coordonnées rectangulaires. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Sylvestre-François LACROIX (1), professeur de mathématiques spéciales au lycée de Nîmes, fait publier une note dans les Annales de Gergonne au sujets des textes de Français, d’Argand et de l’abbé Buée qu’il a lus. Elle se termine ainsi : (1) Sylvestre-François LACROIX, Paris 1765 - 1843 J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Gauss. Traduction : De la même façon, une quantité quelconque complexe pourra être représentée par n’importe quel point du plan infini, où une droite déterminée réfère à des quantités réelles, la quantité complexe x + iy par un point dont l’abscisse est égale à x, l’ordonnée (positive d’un côté de l’axe, négative de l’autre) égale à y. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. XIXe siècle. Les détracteurs Cette idée de représenter géométriquement les nombres complexes passera quasiment inaperçue, ou sembla peu utile, et eut même ses farouches détracteurs. Morceaux choisis… PONCELET Les signes √-1 et -√-1 (…) ont une origine purement algébrique, conventionnelle et analogique. Ils ne sauraient dériver a priori d’aucune considération géométrique. Jean-Victor PONCELET (Metz 1788, Paris 1867) SERVOIS Pour moi, j’avoue que je ne vois dans cette notation qu’un masque géométrique appliqué sur des formes analytiques dont l’usage immédiat me semble plus simple et plus expéditif. Abbé François-Joseph SERVOIS (Mont-de-Laval 1797, Mont-de-Laval 1847), en 1813 J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. XIXe siècle. Les détracteurs… PLAYFAIR N’importe quelle conclusion aurait pu être obtenue, nous semble-t-il, de la même manière : le troisième segment ne nécessite pas d’être placé à angle droit par rapport aux deux autres. Même en faisant un angle, par exemple de 120°, avec l’un et 60° avec l’autres (…). (…) Ces arguments sont aussi justes les uns que les autres et aucun d’eux, bien sûr, n’a de valeur quelconque. John Playfair, écossais (Benvie,1748 – Edinburgh, 1819), en 1780 J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. XIXe siècle. Les détracteurs… GERGONNE La moyenne proportionnelle entre a et –a ne saurait être que a. Car lorsqu’on parle de grandeurs, on doit faire abstraction des signes. (…) Monsieur Servois trouve évident que, dans l’ancienne doctrine, ±a√-1 soit moyenne grandeur entre a et –a. Il me paraît pourtant difficile qu’une négation de grandeur, un être de raison, puisse être moyen entre deux êtres effectifs. Joseph-Diaz GERGONNE (Nancy 1771, Montpellier 1859), en 1813 J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Final. Les négatifs et les imaginaires n’existent pas … On a vu la position de Jean de Beaugrand à propos des nombres « moins que rien » de Descartes. Lazare CARNOT*, lui aussi, expliquait que dans la proportion ci-contre, le numérateur du premier rapport était supérieur au dénominateur, alors que dans le second rapport il lui était inférieur : les deux rapports ne sauraient donc être égaux… * 1753 – 1823, voir page suivante. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Final. CARNOT !!! Le célèbre physicien et mathématicien Lazare Nicolas Marguerite Carnot (né à Nolay en 1753, mort à Magdebourg en 1823) écrivait en 1803 dans sa Géométrie de position : Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible (…). Une multitude de paradoxes, ou plutôt d'absurdités palpables, résulteraient de [cette] notion, par exemple -3 serait moindre que 2 et pourtant (-3)2 serait plus grand que 22, c'est à dire que de deux quantités inégales le carré de la plus grande serait moindre que le carré de la plus petite, ce qui choque toutes les idées claires qu'on peut se former de la quantité. L. Carnot à la bataille de Wattignies (1793) J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Final. FONCENEX Pierre-Marie François DAVIET de FONCENEX (Thonon, 1734 – Casal (Piémont), 1798), écrivait en 1759 dans ses Réflexions sur les quantités imaginaires : Si l’on réfléchit sur la nature des racines imaginaires, qui comme on sait impliquent contradiction entre les données, on concevra évidemment qu’elles ne doivent point avoir de construction géométrique possible, puisqu’il n’est point de manière de les considérer, qui lève la contradiction qui se trouve entres les données immuables par elles-mêmes. (…) Les racines imaginaires n'admettent donc pas une construction géométrique & on ne peut en tirer aucun avantage dans la résolution des problèmes : on devrait par conséquent s'attacher à les écarter autant qu'il est possible des équations finales, puisque prises dans quel que sens que ce soit, elles ne peuvent pas résoudre la question, comme les racines négatives dont toute la contradiction consiste dans leur manière d'être à l'égard des positives. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Final. Cependant il n’y a rien à faire … on ne pourra plus jamais éradiquer ces nombres… Abel TRANSON (1805-1876) écrit ceci dans Application de l’algèbre directive à la géométrie : Et lorsque nous rencontrons, rencontre inattendue, la racine carrée d'un nombre négatif, c'est bien en vain que nous lui disons « Tu n'existes pas ! Tu es impossible ! Tu es imaginaire ! »... Malgré toutes nos dénégations et toutes nos objurgations, la racine tient bon. Elle ne se laisse pas extraire (si ce n'est par Argand, Français, Mourey, &c.) et nous, tout en lui déniant la possibilité d'être, nous sommes forcés de l'admettre, de la subir , et bientôt à sa suite surgissent de tous côtés, je veux dire à tous les degrés de l'algèbre, une infinité d'autres racines qu'elles aussi nous nommerons impossibles. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Quatrième partie. Final. Oui, on les déclare impossibles, mais bien en vain voudrait-on établir la convention de les déclarer inutiles ; car elles se retrouvent à tous les niveaux de la science et elles en sont I'instrument le plus précieux ; et au milieu de leur multitude les autres racines que nous déclarons seules possibles ne se retrouvent plus qu'à titre d'exception, et enfin le calculateur arrive à ce résultat aussi incontesté que ce qu'il appelait exclusivement RÉEL n'est plus qu'un cas particulier de ce qu'il avait appelé IMAGINAIRE. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Au-delà de C ?. Mais… qu’y a-t-il au-delà de C ? J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Au-delà de C ? C. V. MOUREY Voici comment MOUREY concluait en 1928 son ouvrage La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires : On peut considérer les chemins de trois manières : sur une même droite, sur un même plan, et enfin dans l'espace à trois dimensions. Dans le premier cas, la science n'embrassera que deux directions opposées, comme la positive et la négative ; ce sera l'Algèbre ordinaire. Dans le second cas, la science embrassera tous les rayons du cercle ; ce sera l'Algèbre dont j'ai tâché de donner une idée dans cet opuscule. Dans le troisième cas, la science embrassera tous les rayons de la sphère ; ce sera un troisième degré d'Algèbre, qui surpassera celui que je viens d'esquisser, autant que celui-ci surpasse l'Algèbre ordinaire. J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Au-delà de C ? HAMILTON William Rowan Hamilton (Dublin 1805, Dublin 1865) Il se demande, vers 1850, s’il ne pouvait pas exister une algèbre de dimension 3 dont C serait un sous-corps (selon l’idée émise par Mourey). Il n’y est pas parvenu. On a démontré depuis que c’était impossible. Mais par contre, en 1853, il construit une algèbre de dimension 4, dont C est une sous-algèbre (communtative) de dimension deux. C’est l’algèbre des quaternions, qui n’est pas commutative : Elle est engendrée par une base de quatre éléments (1, i, j, k), un réel et trois imaginaires, où les multiplications entre imaginaires sont les suivantes ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, ik = -j et kj = -i. Il semble également qu’Hamiton ait été le premier à utiliser le mot vector pour ces quadruplets, éléments de ce qui deviendra plus tard un espace vectoriel… J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

Troisième degré et imaginaires. Mon histoire se termine là… Bonnes nuits... J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms

J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009. Table des noms cités Al Ma’amūn Al Khwarīzmi Abū Kāmil Al Birūni Al Khayyām At Tūsī Pacioli Del Ferro Tartaglia Cardan Ferrari Bombelli Girard Descartes Montucla Leibniz Bernoulli D’Alembert Euler Gauss (1) Cauchy Wessel Abbé Buée Argand Français Gauss (2) Poncelet Servois Playfair Gergonne Foncenex Carnot Transon Mourey Hamilton J. VERDIER. Journées de Rouen, 2009.