Problèmes multiplicatifs et de division au cycle 3

Objectif de la démarche Conduire les élèves à savoir résoudre les problèmes multiplicatifs, que ce soit dans le cas de problèmes simples à une opération ou dans le cas de problèmes complexes

Qu’est ce qu’un problème multiplicatif ou de division? Les problèmes qui se résolvent par une multiplication, par une division ou par une combinaison des deux, relèvent de ce qu’on appelle « le champs multiplicatifs ».

Constat

A contexte égal (pulls/enfants), à mêmes valeurs numériques, tous les problèmes relevant de la multiplication ne sont pas de même difficulté. Un certain nombre de problèmes relevant d’une division est beaucoup mieux réussi que d’autres relevant d’une multiplication

Les catégories de problèmes Les classes de problèmes : typologie d’après Vergnaud

Il existe 13 catégories de problèmes multiplicatifs à enseigner au cycle 3 6 problèmes de comparaison 2 problèmes de division Le problème de multiplication Les 4 problèmes du produit cartésien

Problèmes de comparaison

Problème de multiplication

Division partition

Division quotition

Le produit cartésien

Intérêt de travailler cette typologie Mettre en place une programmation Permettre aux élèves d’effectuer des classes de problèmes et des comparaisons Le processus d’identification de la catégorie par analogie permet l’automatisation L’automatisation permet de libérer de l’énergie cognitive qui sera dévolue à des tâches annexes.

Programmation proposée Niveaux Problèmes de comparaison Problème de multiplication Problèmes de division Problèmes de produit-cartésien Ce2 Recherche de la grandeur référée avec une comparaison multiplicative Recherche de la grandeur référente avec une comparaison multiplicative Cm1 Recherche de la grandeur référée avec une comparaison de division Cm2 Recherche de la comparaison multiplicative Recherche de la comparaison de division Division-partition Division- quotient Recherche de la grandeur produit: variable discrète Recherche de la grandeur produit: variables continues Recherche d’une des grandeurs: variables discrètes Recherche d’une des grandeurs: variables continues

Progressivité des apprentissages 6 types de séances: Séance de découverte Séance de création d’outil de résolution Séance d’entraînement dans le contexte de la création de l’outil de résolution Séance d’entraînement hors contexte Séance de création d’énoncés Séance d’évaluation

Fiche de résolution vierge

exemple Fiche outil complétée

exemple Fiche outil complétée

Exemple problèmes dans le contexte de la fiche outil

Fiche outil hors contexte

Problèmes additifs et soustractifs au cycle 3

La même démarche peut s’effectuer avec les problèmes additifs et soustractifs: Il existe 3 type de problèmes : Les transformations d’un état La composition de deux états La comparaison d’états

Les transformations d’un état

Les transformations d’un état Différentes recherches + ou - Schémas correspondants Recherche de l’état final Transformation positive Transformation négative Recherche de l’état initial Recherche de la transformation

Les transformations d’un état Recherche de l’état final + ou - Exemples Transformation positive J’avais 4539 timbres dans mon album. Mon parrain me donne le sien qui en contient 21 432. Combien ai-je de timbres maintenant? Transformation négative Un transporteur doit livrer 1453 caisses de boissons sucrées. Il en décharge 460 au premier magasin. Combien en déchargera-t-il au deuxième?

Les transformations d’un état Recherche de l’état initial + ou - Exemples Transformation positive Le compteur de ma voiture indique 32609 km. J’ai parcouru 1231 km pendant les vacances. Qu’indiquait le compteur avant mon départ en voiture ? Transformation négative Nous sommes 162 élèves à l’école actuellement. 19 enfants ont déménagé et ont quitté l’école depuis la rentrée. Combien étions-nous au début de l’année scolaire?

Les transformations d’un état Recherche de la transformation + ou - Exemples Transformation positive Nous sommes aujourd’hui environ 6 milliards d’humains sur la Terre. On estime qu’en l’an 3000, nous serons 12 milliards. Que se sera-t-il passé ? Transformation négative Marie pesait 69 kg avant de faire un régime. Elle pèse maintenant 63 kg et 500 g. Quel poids a-t-elle perdu ?

La composition de deux états

La composition de deux états Différentes recherches Schémas Recherche du composé Recherche d’une partie

La composition de deux états Différentes recherches exemples Recherche du composé Dans une classe, il y a 14 filles et 13 garçons. Combien y a-t-il d’élèves en tout? Recherche d’une partie Dans un stade football, on compte 23453 spectateurs. 145 sont venus encourager l’équipe des bleus. Combien encouragent l’équipe des rouges?

La comparaison d’états

La comparaison d’états Différentes recherches + ou - Schémas correspondants Recherche de l’état que l’on compare à un autre état Comparaison positive Comparaison négative Recherche de l’état qui sert de référence lors de la comparaison Recherche de la comparaison

La comparaison d’états Recherche de l’état que l’on compare à un autre état + ou - exemples Comparaison positive Adrien est arrivé 59ème à la course. Pierre a terminé 18 places derrière lui. A quelle place Pierre est-il arrivé? Comparaison négative Adrien est arrivé 59ème à la course. Annie a terminé 18 places devant lui. A quelle place Annie est-elle arrivée?

La comparaison d’états Recherche de l’état qui sert de référence lors de la comparaison + ou - exemples Comparaison positive Pascal a 194 timbres de collection. Il en possède 61 de plus qu’Emma. Combien Emma a-t-elle de timbres? Comparaison négative Pascal a 194 timbres de collection. Il en possède 61 de moins qu’Emma. Combien Emma a-t-elle de timbres?

La comparaison d’états Recherche de la comparaison + ou - exemples Comparaison positive Dans un magasin un jouet vaut 224 euros. Il vaut 365 euros dans un autre magasin. De combien est-il plus cher dans le 2ème magasin ? Comparaison négative Dans un magasin un jouet vaut 224 euros. Il vaut 165 euros dans un autre magasin. De combien est-il moins cher dans le 2ème magasin ?

Programmation proposée Niveaux Les transformations d’un état La composition de deux états La comparaison d’états CP Recherche de l’état final CE1 Recherche de l’état initial CE2 Recherche de la transformation Recherche du composé CM1 Recherche d’une partie Recherche de l’état que l’on compare à un autre état CM2 Recherche de l’état qui sert de référence lors de la comparaison Recherche de la comparaison