Les CONIQUES

 Les 4 coniques  Cercle  Ellipse Proviennent de la coupe du cône.  C’est la forme de la section.  Parabole  Hyperbole

 Le cercle A) Définition Lieu d’un point situé à une même distance (r) d’un autre point fixe (O), appelé centre. r r r r r r r r r r O r r r

B) Équation Par Pythagore : x2 + y2 = r2 (x, y) y r O x

C) Inéquations x2 + y2  r2 x2 + y2  r2 r r

C) Inéquations x2 + y2  r2 x2 + y2  r2 r r

D) Recherche de l’équation Ex. #1 : Trouver l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le point A(-2, -3) appartient au cercle. x2 + y2 = r2 (-2)2 + (-3)2 = r2 4 + 9 = r2 13 = r2 x2 + y2 = 13 A(-2, -3)

D) Recherche de l’équation Ex. #2 : a) Quelle est l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le diamètre est de 16 unités ? Le rayon est de 8 unités. x2 + y2 = 82 x2 + y2 = 64 b) Est-ce que le point P(5, 7) fait partie de la région intérieure de ce cercle ? Il faut que l’inégalité 52 + 72  64 soit VRAIE. 25 + 49  64 74  64 FAUX ! Le point P(5, 7) ne fait pas partie de la région intérieure de ce cercle.

E) Équation de la tangente Ex. : L’équation d’un cercle est x2 + y2 = 289 . Si une droite est tangente à ce cercle au point P(15, 8), quelle est l’équation de cette droite ? Pente du rayon : mrayon = y = 8 – 0 = 8 x 15 – 0 15 P(15, 8) r Équation de la tangente : O mtangente = -15 8 y = x + b -15 8 8 = (15) + b -15 avec le point (15, 8) 8 64 = + b -225 b = 289 Réponse : y = x + -15 289 8 8 8 8 8

 L’ellipse A) Définition Lieu d’un point dont la somme des distances à deux points fixes (foyers F et F’) est constante (k).

 L’ellipse A) Définition Lieu d’un point dont la somme des distances à deux points fixes (foyers F et F’) est constante (k). d(P, F) + d(P, F’) = k P P P F’ F P P P

 L’ellipse A) Définition Lieu d’un point dont la somme des distances à deux points fixes (foyers F et F’) est constante (k). Sommet Petit axe Sommet Foyer (F’) Centre Foyer (F) Sommet Distance focale Grand axe Sommet

B) Relations entre a, b et c. a : distance entre le centre et un sommet horizontal. b : distance entre le centre et un sommet vertical. c : distance entre le centre et un foyer.  Avec a  b a2 = b2 + c2 (0, b) b c (-a, 0) (-c, 0) (c, 0) (a, 0) a (0, -b)

B) Relations entre a, b et c. a : distance entre le centre et un sommet horizontal. b : distance entre le centre et un sommet vertical. c : distance entre le centre et un foyer.  Avec b  a (0, b) b2 = a2 + c2 (0, c) b c (-a, 0) (a, 0) a (0, -c) (0, -b)

Ex. : Le grand axe d’une ellipse mesure 24 unités et le petit axe 10 unités. Quelle est la distance focale ? (0, 5) b 10 unités Distance focale = 2c (-12, 0) (-c, 0) (c, 0) (12, 0) 24 unités a (0, -5) a = 12 122 = 52 + c2 a2 = b2 + c2 b = 5 10,9 ≈ c Réponse : La distance focale est d’environ 21,8 unités.

  C) Équation x2 y2 + = 1 a2 b2 D) Inéquations x2 y2 x2 y2 + 1 + 1

  C) Équation x2 y2 + = 1 a2 b2 D) Inéquations x2 y2 x2 y2 + 1 + 1

 L’hyperbole A) Définition Lieu d’un point dont la différence des distances (en valeur absolue) à deux points fixes (foyers F et F’) est constante (k). | d(P, F) – d(P, F’) | = k P P P F’ F P P

 L’hyperbole A) Définition Lieu d’un point dont la différence des distances (en valeur absolue) à deux points fixes (foyers F et F’) est constante (k). Asymptote Asymptote Centre Foyer (F’) Sommet Sommet Foyer (F)

B) Équations et relations entre a, b et c. c2 = a2 + b2  Axe focal horizontal x2 y2 – = 1 a2 b2 (0, b) b (-c, 0) (-a, 0) (a, 0) (c, 0) c a (0, -b)

B) Équations et relations entre a, b et c. c2 = a2 + b2  Axe focal horizontal Équation de l’asymptote :  Pente a =  y  x = b a  Ordonnée à l’origine (b) = 0 (a, b) b (0, 0) a

B) Équations et relations entre a, b et c. c2 = a2 + b2  Axe focal horizontal Équation de l’asymptote : y =  b x a y = - b x y = b x a a

B) Équations et relations entre a, b et c. c2 = a2 + b2  Axe focal vertical (0, c) x2 y2 – = - 1 a2 b2 (0, b) c b (-a, 0) (a, 0) a (0, -b) (0, -c)

C) Inéquations x2 y2 x2 y2 –  1 –  1 a2 b2 a2 b2

C) Inéquations x2 y2 x2 y2 –  -1 –  -1 a2 b2 a2 b2

    C) Inéquations x2 y2 – 1 a2 b2 x2 y2 – 1 a2 b2 x2 y2 – -1 a2 Même ensembles-solutions que précédemment, mais avec des hyperboles formées de lignes pointillées. x2 y2 –  -1 a2 b2 x2 y2 –  -1 a2 b2

C) Inéquations  Équation : Ex. : La distance entre deux sommets d’une hyperbole est de 12 unités et l’un de ses foyers a pour coordonnées (0, 9). Le point P(10, 8) fait-il partie de la région extérieure de cette hyperbole ?  Équation : (0, 9) c2 = a2 + b2 F 92 = a2 + 62 (0, 6) c b 45 = a2 12 unités x2 y2 – = - 1 a2 b2 F’ x2 y2 – = - 1 45 36

C) Inéquations Ex. : La distance entre deux sommets d’une hyperbole est de 12 unités et l’un de ses foyers a pour coordonnées (0, 9). Le point P(10, 8) fait-il partie de la région extérieure de cette hyperbole ?  Est-ce que P(10, 8) fait partie de la région extérieure ? (0, 9) F x2 y2 –  -1 (0, 6) a2 b2 c b 12 unités Il faut que : 102 82 –  - 1 45 36 F’ 4  - 1 9 VRAI Réponse : Le point P(10, 8) fait partie de la région extérieure de l’hyperbole.

 La parabole (centrée à l’origine) A) Définition Lieu d’un point situé à une même distance d’un point fixe (foyer F) et d’une droite fixe, appelé directrice (d). d(P, F) = d(P, d) P P P Foyer (F) (0, c) P c Sommet Directrice (d)

B) Équations (centrées à l’origine) x2 = 4cy d d x2 = - 4cy

B) Équations (centrées à l’origine) d y2 = 4cx d y2 = - 4cx

B) Équations (centrées à l’origine) Ex. : Une parabole centrée à l’origine a pour foyer le point F(0, -6). Cette parabole passe-t-elle par le point P(-12, -6) ? d Réponse : La parabole passe par le point P(-12, -6). c (0, -6)  Équation :  Est-ce que la parabole passe par le point P(-12, -6) ? x2 = - 4cy (-12)2 = - 24(-6) x2 = - 4(6)y 144 = 144 x2 = - 24y VRAI

C) Inéquations (centrées à l’origine) x2  4cy d d x2  - 4cy

C) Inéquations (centrées à l’origine) x2  4cy d d x2  - 4cy

C) Inéquations (centrées à l’origine) d y2  4cx d y2  - 4cx

C) Inéquations (centrées à l’origine) d y2  4cx d y2  - 4cx

C) Inéquations (centrées à l’origine) En résumé… y2  … ou Ensemble-solutions à l’intérieur de la parabole x2  … y2  … ou Ensemble-solutions à l’extérieur de la parabole x2  … y2  … ou x2  … Même ensemble-solutions que ci-haut, mais la parabole est pointillée (ne fait pas partie de l’ens.-solutions) ou y2  … ou x2  …

D) Équations translatées Centrée à l’origine : Translatée : x2 = 4cy (x – h)2 = 4c(y – k) F (0, 0) d (h, k) d

D) Équations translatées Ex. : F (0, 0) d (4, -2) d (x – h)2 = 4c(y – k) (x – 4)2 = 4c(y + 2)

D) Équations translatées (x – h)2 = 4c(y – k) (h, k) d d (h, k) (x – h)2 = -4c(y – k)

D) Équations translatées (y – k)2 = 4c(x – h) (h, k) d (h, k) (y – k)2 = -4c(x – h)

 Intersection de coniques Ex. #1 : Résoudre le système d’équations suivant : y – x = 0 x2 y2 + = 1 9 4  Représentation graphique : y – x = 0 Droite y = x x2 y2 + = 1 Ellipse où a  b 9 4 (x2, y2) (x1, y1)

 Résolution pour trouver (x1, y1) et (x2, y2) : y = x (1) x2 y2 + = 1 (2) 9 4 (1) dans (2) : x2 x2 (3) dans (1) : y1 ≈ 1,66 + = 1 9 4 (4) dans (1) : y2 ≈ - 1,66 4x2 9x2 + = 1 36 36 13x2 = 1 Réponse : (1,66 ; 1,66) et (-1,66 ; -1,66) 36 x2 ≈ 2,77 x1 ≈ 1,66 (3) x2 ≈ - 1,66 (4)

 Représentation graphique : Ex. #2 : Résoudre le système d’équations suivant : x2 + y2 = 25 y2 = -16(x – 7)  Représentation graphique : x2 + y2 = 25 Cercle de rayon 5 y2 = -16(x – 7) Parabole de sommet (7, 0) d (7, 0)

 Résolution pour trouver (x1, y1) et (x2, y2) : (1) y2 = -16(x – 7) (2) (2) dans (1) : x2 + -16(x – 7) = 25 x2 – 16x + 112 = 25 x2 -16x + 87 = 0 x   Réponse : Il n'y a aucun solution.