ΔΑΣΚΑΛΟΥ ΠΕΤΡΑ

Le concept de fonction Cathégorie physique orange pomme + x Ensemble Les mathématiques construisent des relations entre des catégories physiques – des oranges et des pommes dans notre cas, et des catégories abstraites, qu’on appelle ensembles, en remplaçant les catégories physiques par des symboles.

Le concept de fonction (VD) Y 5 7 3 1 (VI) X 6 8 5 7 3 1 6 8 1 2 7 3 4 5 7 3 1 (VI) X 6 8 5 7 3 1 6 8 EnsembleC1 EnsembleC2 1 2 7 3 4 5 6 8 C1 C2

Le Plan Cartesian DV (Y) oC 1 2 7 3 4 5 6 DV (Y) IV (X) 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

Exercises Y 1) A(2, -3); B(-1, 1) 2) A(-2, 3); B(1, 0)

Le concept de fonction DV (Y) C2 Y2 (VD) Y1 5 7 3 1 (VI) X 6 8 7 6 5 4 5 7 3 1 (VI) X 6 8 7 (+1) 6 5 4 3 2 Y1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 C1 IV (X) La translation d’une fonction On a effectué une translation du valeur 1 en direction de l’axe Y, si Y2 = Y1 + 1

Le taux de variation (la pante) B (3, 4) Δy Taux de variation (TV) = la pante m = a = Δy/ Δx Δy = 4 – 2 = 2 A (1, 2) a = 2 / 2 = 1 Δx = 3 – 1 = 2

Relations Y = X La variable dépendante DV (Y) oC 1 2 7 3 4 5 6 À 7am la température extérieure était de 0 oC. La température augmente de 1 degré C chaque heure. Quelle est la relation mathématiques entre le temps et la température? Quelle est la représentation graphique de la relation? À 7am la température extérieure était de 0 oC. La température augmente de 1 degré C chaque heure. Quelle est la relation mathématiques entre le temps et la température? Quelle est la représentation graphique de la relation? La variable Indépendante La variable dépendante DV (Y) IV (X) 1 2 3 4 5 6 7 heures oC 1 2 3 4 5 6 7 IV DV 01 23 x y 8 9 14 10 11 12 13 temps Y = X Le point de départ

Le concept de fonction N’importe quelle fonction (relation) peut être exprimée en trois manières: Sous forme de tableau Sous forme de graphique Sous forme d’une relation algébrique

1ère étape: le constructivisme La fonction de 1er degré Définition: La fonction directe de 1er degré représente une relation de proportionnalité: y/x = a, ou y = ax N’importe quelle fonction de premier degré est le résultat d’une translation de la fonction directe: y2 = y1 + b Conséquence: la relation algébrique d’une équation de premier degré est: y = ax + b 1ère étape: le constructivisme

La fonction de 1er degré y x Si la pente entre tous les point de la fonction est la même, la représentation graphique de la fonction est une droite y VI VD 01 23 12 34 X Y1 01 23 x 02 46 2x X Y2 01 23 x 13 57 2x + 1 Y2 1 Y1 Y2 = 2x + 1 Y1 = 2x x Y2 = Y1 + 1 N’importe quelle fonction de premier degré (linaire) peut être représentée algébriquement sous la forme: y = ax + b N’importe quelle fonction de premier degré est le résultat d’une translation de la fonction directe: y2 = y1 + b

Du TEXTE à la représentation mathématique y TEXTE VI VD 01 23 12 34 b Tableau X1 X2 Y1 Y2 ΔX ΔY Règle b Graphique Y = aX + b

Formes algébriques N’importe quelle expression algébriques en 2 variables de premier degré, est une fonction linéaire.

Formes algébriques x y x y x y La forme symétrique La forme fonctionnelle x y b - b/a La forme générale x y - C/B - C/A

Du graphique à l’équation Y Y = aX + b b = 2 ΔY = -2 ΔX = 2 X 1 a = -2/2 = -1 Y = - X + 2

Du graphique à l’équation Y a = -2/8 = - 0.25 b = 2 X 1 Y = - 0.25 X + 2

Du graphique à l’équation Y a = 3/4 b = 0 X 1 Y = 3/4X

Du graphique à l’équation Y a = 0/4 = 0 Y = 2 b = - 3 Y = 0 X 1 Y = -1 Y = 0X + (- 3) = - 3

Du tableau à l’équation VI VD 21 3357 13 3476 b Si on ne peut pas identifier la valeur initiale (b): Y = 1.75 x – 23.75

De l’équation au graphique y = 5/3 x - 3 Y On trouve la valeur initiale: A(0, -3) B ΔY = 5 et ΔX = 3 Come: 1 X Le deuxième point, (B), est le résultat d’une translation de t(3, 5) à partir de A. A

Du tableau au graphique Du graphique au tableau Pour un point donné, on trouve les coordonnés. Pour un x ou pour un y donnés, on trouve le x ou le y correspondant. -6.5 x y 4 7 2 - 6.5 x y -3 0 3 048 3 8

De l’équation au tableau - Alex y = 5/3 x - 3 y a = 5/3 Δ y = 5 Δ x = 3 (3) A (3, 2) (5) x b = - 3 -3

Évaluation 1ère étape (les outils) Le concept de fonction Du texte au tableau Les 3 façons de définir une fonction de 1er degré Formes algébriques Du tableau/fonction au graphique Du tableau au fonction et de la fonction au tableau Du graphique au tableau et à la fonction

2ème étape: le meta-constructivisme La fonction de 1er degré 2ème étape: le meta-constructivisme La proportionnalité comme principe génératif de la fonction de 1er degré. Le principe génératif nous permets de faire la liaison avec les autres domaines des mathématiques.

Du graphique à l’équation Translation y y b Y2 3 Y2 = 1.5x + 3 Y1 = ax Y1 = 1.5x c Y3 2 Y3 = 1.5(x – 2) Y2 = 1.5x + 3 Y3 = Y2 - 6 x x De y1 à y2: y2 = ax + b De y1 à y3: y3 = a(x – c) = ax - ac

Du graphique à l’équation Translation sur X y Y1 = 1.5x Y1 = 1.5(x – 2) x 2

Du graphique à l’équation Translations x y Y2 A (4, 3) A’ (1, 3.5) Y1 = 1.2x – 0.8 Translation de : t (-3, 0.5) Y2 = 1.2(x + 3) – 0.8 + 0.5 Y2 = 1.2x + 3.3

Du graphique à l’équation La parallèle à une droite Y Y = - X + 2 Y = - X - 3 X 1 A (-2, -1) Translation de t (-2; -3) Y = - (x + 2) + 2 - 3

Du graphique à l’équation La droite qui passe par deux points donnés On trouve d’abord: a = 2/3 Cela correspond à la droite directe: y’ = 2/3x On obtiens la droite y’ par une translation de t(1, 3) à partir de l’origine: y = 2/3 (x – 1) + 3 Ce qui nous donne: y = 2/3x + 7/3 x y B (4, 5) A (1, 3) y ‘

Transformations algébriques Quelle est l’équation de la parallèle à la droite: y = ax + b qui passe par le point P (c, d) ? Le point de référence sur la droite (y) est le point A (0, b) Le vecteur de la translation du point A au point P est: t (c, d – b) L’équation est: y’ = a (x – c) + b + d – b ce qui donne: y’ = a (x – c) + d Quelle est l’équation de la parallèle à la droite: y = 0.4 x - 3 qui passe par le point P (2, -5) ? y’ = 0.4(x - 2) – 3 - 2 y’ = 0.4x – 5.8 Le point sur la droite est A (0, -3), ce qui donne une translation de t (2, -2)

Le taux de variation comme angle y = 5/3 x - 3 y = x (tan α) + b α x y -3 (5) (3) A (3, 2) α a 30 45 60 90 0.577 1 1.732 non-définie Exemple: Quel est l’angle β formé par les droites: y = 2.4x – 3 et y = 0.4x + 2 Réponse:

Droites perpendiculaires y α x -3 (5) (3) A (3, 2) y’ Si y et y’ sont perpendiculaires, alors: Quelle est la droite perpendiculaire à la droite: y = 5/3 x – 3 Réponse: y = -3/5 x – 3

Intersection entre deux droites y A (3, 2) y’ x y A (3, 2) y’

La perpendiculaire d’un point à une droite y’ = 2x y A (5, 4) y’ = -1/-0.5x = 2x y’’ = 2(x – 5) + 4 = 2x - 6 Le point d’intersection est: -0.5x + 5 = 2x – 6 B (4.4, 2.6) B (4.4, 2.6) x y’’ = 2x - 6 y = - 0.5x + 5

Transformations algébriques Quelle est l’équation de la perpendiculaire à la droite: y = ax + b qui passe par le point P (c, d) ? La perpendiculaire de l’origine à la droite (y) est: y = -1/a x Le vecteur de la translation du point A au point P est: t (c, d) L’équation de la perpendiculaire est: y’ = -1/a (x – c) + d Quelle est l’équation de la perpendiculaire à la droite: y = 0.4 x - 3 qui passe par le point P (2, -5) ? y’ = -2.5(x - 2) – 5 La pante est a’ = -2.5 (-1/0.4 = -2.5) y’ = -2.5x

La bissectrice d’un angle formé par deux droites Soit les droites: y’ = αx + b1 et y’’ = βx + b2. Les angles formés par les deux droites avec l’horizontale sont α et β. L’angle formé par la bissectrice des deux droites est: x = (α + β)/2. x y y’’ y’ α β

Évaluation 2ème étape (la construction) La translation comme opération algébrique La relation entre règles et angles Droites parallèles et perpendiculaires Problèmes complexes

Problème complexe Étant donné le triangle avec les sommets: A(-1, 4); B(-4, -3) et C(3, -2), trouvez l’équation de la droite qui unisse le point d’intersection des hauteurs et le point d’intersection des bissectrices. aBC = 1/7 aAC = - 3/2 aAB = 7/3 L’intersection des perpendiculaires est: -7x – 3 = 2/3x – 1/3 Ce qui donne le point H(-0.348; -0.565) La perpendiculaire du A sur BC est: y = -7(x + 1) + 4 Y = -7x - 3 La perpendiculaire du B sur AC est: y = 2/3(x + 4) - 3 Y = 2/3x – 1/3 L’intersection des bissectrices est: 0.766x – 0.064 = -0.628x – 0.116 Ce qui donne le point M(-0.037; -0.093) La bissectrice BB’ a l’équation: y = 0.766 (x + 4) – 3 ou bien y = 0.766x – 0.064 La bissectrice CC’ a l’équation: y = -0.628 (x – 3) – 2 ou bien y = -0.628x – 0.116 La droite HM est y = 1.518 (x + 0.348) – 0.565 ou: y = 1.518x – 0.037