Seconde 8 Chapitre 3: Les fonctions M. FELT Chapitre 2 : L’espace 08/09/2015

Chapitre 3: Les fonctions

I. Intervalles I. Intervalles: 1. Ensemble des nombres réels: Définition: Tous les nombres connus ( 0 ; 5 ; -3,2 ; 2 ; 1 3 ; ;etc. ) sont appelés nombres réels. On note ℝ l’ensemble de tous les nombres réels. Il y en a une infinité. Pour parler d’un ensemble de nombre réels, on utilise des intervalles.

I. Intervalles [ ] I. Intervalles: 𝑥∈[ 𝒂 ;𝒃 ] 𝒂≤𝑥≤𝒃 2. Définition d’un intervalle: Soit 𝒂 ∊ ℝ Soit 𝒃 ∊ ℝ 𝒂≤𝑥≤𝒃 [ ] 𝑥∈[ 𝒂 ;𝒃 ] 𝒂 𝒃

I. Intervalles Soit 𝒂 ∊ ℝ Soit 𝒃 ∊ ℝ 𝒂<𝑥<𝒃 ] [ 𝑥∈ ] 𝒂 ;𝒃 [ 𝒂 𝒃

I. Intervalles Soit 𝒂 ∊ ℝ 𝒂<𝑥 ] 𝑥∈ ] 𝒂 ;+∞ [ 𝒂

II. Fonction II. Fonction: Définition: Soit D un ensemble de nombres. Définir une fonction f sur D, c’est associer à chaque nombre x de D un unique nombre y. D s’appelle l’ensemble de définition de la fonction. Le nombre y s’appelle l’image de x par la fonction f On le note f(x) ( et se lit f de x ). x s’appelle un antécédent de y.

D : Ensemble de définition II. Fonction II. Fonction: D : Ensemble de définition x f(x) Image f(x)

II. Fonction 1. Formule explicite: Une formule explicite est un programme de calcul qui fait intervenir l’antécédent et aboutit à l’image. Exemple: Pour tout 𝒙 ∊ ℝ, 𝑓 𝒙 =3 𝑥 2 +2

II. Fonction 2. Tableau de valeurs: Un tableau de valeurs comporte deux lignes. Il associe à chaque nombre de la première ligne, son image sur la seconde ligne. a 1 3 10 b -3 7 4 11

II. Fonction 3. Une courbe: Une courbe tracée dans un repère du plan peut représenter une fonction.

III. Représentation graphique On se place dans un repère (O,I,J). On appelle représentation graphique de la fonction f définie sur un ensemble D, l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) pour tout x ∊ D. Exemple: Soit f définie sur [-2;4] par 𝑓 𝑥 = 1 3 × (𝑥−1) 2 −1

Géogébra Soit f définie sur [-2;4] par 𝑓 𝑥 = 1 3 × (𝑥−1) 2 −1

Activité Exercice 18 page 31:

Fin du cours au 13/10/2015

III. Représentation graphique Tracer une courbe représentative d’une fonction. On dresse un tableau de valeurs de f  x  -1 1 2 3 4  f(x)  1 -1 0,6  1.5  0,2

III. Représentation graphique Conventions: Si la courbe « s’arrête » en un point, celui-ci est représenté par un gros point. Si une extrémité de la courbe n’appartient pas à la courbe, il est représenté par un crochet qui « tourne le dos » à la courbe

Activité Exercice 20 page 31:

Calcul mental 1. Donner l’ensemble de définition de f. 2. Conjecture l’image de 3 par f. 3. Donner les antécédents éventuels de -3 par f. 4. Donner le nombre d’antécédents de -5 par f. 5. Donner un nombre qui a un unique antécédent par f.

Activité Exercice 31 page 32:

IV. Variations d’une fonction 1. Fonction croissante, décroissante, constante: Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle D. Dire que f est croissante sur D signifie que pour tout réels 𝒂 et 𝒃 de D: Si 𝒂< 𝒃 alors 𝒇 𝒂 ≤𝒇(𝒃) Une fonction croissante conserve l’ordre. 𝒇(𝒃) 𝒇(𝒂) 𝒂 𝒃

IV. Variations d’une fonction 1. Fonction croissante, décroissante, constante: Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle D. Dire que f est décroissante sur D signifie que pour tout réels 𝒂 et 𝒃 de D: Si 𝒂< 𝒃 alors 𝒇 𝒂 ≥𝒇(𝒃) Une fonction décroissante inverse l’ordre. 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) 𝒂 𝒃

IV. Variations d’une fonction 1. Fonction croissante, décroissante, constante: Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle D. Dire que f est constante sur D signifie que pour tout réels 𝒂 et 𝒃 de D: 𝒇 𝒂 =𝒇(𝒃) 𝒂 𝒃

IV. Variations d’une fonction Exemple: Sens de variation de f sur [-2;4] f est décroissante sur [-2;-1 ] f est croissante sur [-1;1 ] f est décroissante sur [1;4 ] Tableau de variations de f

IV. Variations d’une fonction f est décroissante sur [-2;-1 ] 2. Tableau de variations: Un tableau de variations résume les variations d’une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone. f est croissante sur [-1;1 ] f est décroissante sur [1;4 ] 𝒙 Variation de f -2 -1 1 4 3 2 -1

IV. Variations d’une fonction 1. Maximum et minimum d’une fonction: Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle D. Dire que f atteint son maximum en 𝒂 sur D signifie que pour tout 𝒙 de D, 𝒇 𝒙 ≤ 𝒇 𝒂 Le maximum de 𝒇 sur D est 𝒇(𝒂). Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle D. Dire que f atteint son minimum en 𝒃 sur D signifie que pour tout 𝒙 de D, 𝒇 𝒙 ≥ 𝒇 𝒃 𝒃 𝒂

Pour mardi 10 novembre Devoir Maison ( remplir feuille polycopiée )

Devoir Maison: Correction Stylo rouge: Nom du correcteur: La correction est notée !!! Correcteur:

Devoir Maison: Correction 1 𝑳𝒂 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒈 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒆 𝒔𝒖𝒓 [−𝟏,𝟓 ; 𝟏]. 𝒈 𝟏 =−𝟏 𝒈(−𝟎.𝟓) = −𝟎,𝟐𝟓 𝒈(−𝟏) = 𝟏 1 𝒈 −𝟎,𝟓 =−𝟎,𝟐𝟓 𝒈 𝟏 = −𝟏 𝑰𝒍 𝒏 ′ 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒂𝒖𝒄𝒖𝒏 𝒂𝒏𝒕é𝒄é𝒅𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒆 𝟐. 1

Devoir Maison: Correction 𝑳 ′ 𝒐𝒓𝒅𝒐𝒏𝒏é𝒆 𝒅𝒖 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒖𝒓𝒃𝒆 𝒅 ′ 𝒂𝒃𝒔𝒄𝒊𝒔𝒔𝒆 𝟎 𝒆𝒔𝒕 − 𝟕 𝟒 ( 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝟏,𝟕𝟓 ) Type equation here. 1 1 𝑪𝒆 𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 𝒏 ′ 𝒆𝒔𝒕 𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒑𝒂𝒔 𝒔𝒖𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒖𝒓𝒃𝒆

Devoir Maison: Correction 𝒙 Variation de g -1.5 -1 0.5 1 1 -1 0,25 -2.5 2

Devoir Maison: Correction 3

Devoir Maison: Correction 2

Devoir Maison: Correction 2

Devoir Maison: Correction Propreté du devoir (en bas a droite du graphe) Mettez une note sur 15 Votre correction sera notée sur 5 points. 1 15 Correcteur: 13 / 15 5

Activité Exercice page 21:

Activité

Activité

Activity a. Wrong b. NPC c. True d. NPC e. Wrong f. True g. Wrong h. NPC i. True j. True k. NPC

V. Résolution graphique des… 1. Équations du type 𝑓(𝑥)=𝑘: Soit f une fonction dont la courbe représentative 𝑪 𝒇 est tracée dans un repère. On cherche à résoudre graphiquement l’équation 𝒇 𝒙 =𝒌 L’ensemble des solutions se note { 𝒂 ; 𝒃 } 𝑪 𝒇 𝒇(𝒂) = 𝒌 𝒇(𝒃) = 𝒌 𝒂 𝒃

V. Résolution graphique des… 2. Inéquations du type 𝒇 𝒙 <𝒌 ( ou 𝒇 𝒙 >𝒌 ): Soit f une fonction dont la courbe représentative 𝑪 𝒇 est tracée dans un repère. On cherche à résoudre graphiquement l’équation 𝒇 𝒙 <𝒌 L’ensemble des solutions se note en utilisant l’écriture des intervalles. ]−∞;𝒂 ∪ 𝒃; +∞ [ 𝒇(𝒂) = 𝒌 𝒇(𝒃) = 𝒌 𝑪 𝒇 [ ] 𝒂 𝒃

V. Résolution graphique des… 3. Inéquations du type 𝑔 𝑥 <ℎ(𝑥): Soit g et h deux fonctions dont les courbes représentatives 𝑪 𝒈 et 𝑪 𝒉 sont tracées dans un repère. On cherche à résoudre graphiquement l’équation 𝒈 𝒙 <𝒉(𝒙) ]−∞;𝒂 ∪ 𝒃; +∞ [ 𝒈(𝒂) =𝒉(𝒂) 𝒈(𝒃) =𝒉(𝒃) 𝑪 𝒈 𝑪 𝒉 [ ] 𝒂 𝒃

Correction - Module 8

Exercice 74 page 39

Calculatrice