THEORIES DES MECANISMES 6(p-1)-m=Ns-h 6(p-1)-m=Ns-h

Le but de l’étude est de savoir si on est capable de calculer tous les efforts de liaison entre les différents solides de ce mécanisme. Pour cela il faut faire le bilan du nombre d’équations et du nombre d’inconnues.

1-Nombre d’équations : Détermination du nombre d’équations que nous donne le principe fondamental de la statique.

Soit par exemple la chaîne fermée suivante : le torseur des efforts extérieurs sur 1 le torseur des efforts extérieurs sur 2 le torseur des efforts extérieurs sur 0

(4) Si le système est en équilibre + + = mais ces 6 équations ne font pas intervenir les inconnues de liaisons.

Equilibre de 1 : + + = (1) soit 6 équations (2) soit 6 équations Equilibre de 2 : + + = (3) soit 6 équations Equilibre de 0 : + + =

Soit pour 3 pièces 18 équations. Mais montrons que ces équations ne sont pas indépendantes : Par exemple l’équation (3) est déduite de (1) (2) et (4). (1) +(2) + + + + + = + = soit +

avec (4) on retrouve (3) + + = = donc on retrouve (3): + + =

Conclusion : Nous avons 3 classes d’équivalences et 12 équations indépendantes. Nous pouvons généraliser en disant : Si nous avons p classes d’équivalences nous avons 6(p-1) équations disponibles au total.

Détermination du nombre d’équations réellement disponibles : Réellement chaque fois que nous avons une mobilité, nous avons soit une équation triviale (pour une mobilité interne 0=0) soit deux équations qui ne sont pas indépendantes.

Le piston de la pompe peut tourner sur lui même. Exemple: Le piston de la pompe peut tourner sur lui même. Si on isole ce piston la projection de l’équation des moments suivant sera 0=0

Mobilité du mécanisme: Recherche de la mobilité d’un mécanisme. La mobilité m est le nombre de paramètres cinématiques indépendants qu’il faut connaître pour définir la position (ou les mouvements) de toutes les pièces du mécanisme.

Elle peut être décomposée en la somme de la mobilité utile et la mobilité interne. m = mu + mi

La mobilité utile mu est le nombre de relations indépendantes qui existe entre les paramètres cinématiques d’entrée et de sortie du mécanisme.

Elle ne modifie pas la cinématique principale du mécanisme. La mobilité interne mi est la somme des mobilités des classes d’équivalences ou d’ensemble de classes d’équivalences internes au mécanisme. Elle ne modifie pas la cinématique principale du mécanisme.

Pour la mobilité utile on regarde comment sont liées l’entrée et la sortie du mécanisme….et pour les mobilités internes, qui sont parfois difficiles à trouver, on regarde comment « ça bouge » à l’intérieur du mécanisme….. Elle est une recherche intuitive. Elle est conduite à partir de l’analyse du schéma.

Le nombre d’équations réellement disponible est : 6(p-1)-m Donc en conclusion : Le nombre d’équations réellement disponible est : 6(p-1)-m

Ns = ∑ ns 2-Nombre d’inconnues : Le nombre d’inconnues est la somme des inconnues de liaison de chaque liaison ns constituant le mécanisme : Ns Ns = ∑ ns

8-Tableau des liaisons usuelles Nombre d’inconnue statique Le schéma cinématique 2013

Nombre d’inconnue statique 5 1 Tx Le schéma cinématique 2013

Nombre d’inconnue statique 1 5 Rx Le schéma cinématique 2013

Nombre d’inconnue statique 2 4 Tx Rx Le schéma cinématique 2013

Nombre d’inconnue statique 1 5 Ty Le schéma cinématique 2013

Nombre d’inconnue statique 3 3 Tx Ty Rz Le schéma cinématique 2013

Nombre d’inconnue statique 3 3 Rx Ry Rz Le schéma cinématique 2013

Nombre d’inconnue statique 2 4 Ry Rz Le schéma cinématique 2013

Nombre d’inconnue statique 2 4 Tx Rx Ry Rz Le schéma cinématique 2013

Nombre d’inconnue statique 4 2 Tx Ty Rx Rz Le schéma cinématique 2013

5 1 Tx Ty Rx Ry Rz Nombre d’inconnue statique Le schéma cinématique 2013

6 Mobilité + inconnues statiques =

6(p-1)-m=Ns ISOSTATIQUE. 6(p-1)-m=Ns-h HYPERSTATIQUE 3-Bilan : Dans ce cas nous pouvons calculer toutes les inconnues de liaison. Le système est dit ISOSTATIQUE. Parfois il y a des inconnues de liaison que l’on ne peut calculer : soit h ce nombre d’inconnues de liaison . L’équation devient 6(p-1)-m=Ns-h Si h HYPERSTATIQUE le système est dit

Un système est hyperstatique lorsque les équations issues de l’application du principe fondamental de la statique ne permettent pas de calculer toutes les inconnues d’efforts des liaisons. Le degré d’hyperstatisme h est le nombre d’inconnues d’effort de liaison qu’on ne peut pas calculer.

Pour calculer les inconnues de liaisons d’un système hyperstatique il faut prendre en compte les lois de comportement. (voir cours sur le calcul des roulements à contact oblique)

4-Avantages et inconvénients : Mécanisme isostatique Mécanisme hyperstatique Montage facile Cotation simplifiée Fabrication aisée Bonne connaissance des surfaces de contact Stabilité Rigidité

Chaque degré d’hyperstatisme correspond à une contrainte géométrique très forte. La mise en position des pièces doit être plus précise pour permettre le montage. Pour cela, il est nécessaire d’imposer des conditions géométriques sur les pièces pour éviter le conflit entre les liaisons. Les conditions géométriques sont du genre : dimensions, parallélisme, perpendicularité, coaxialité. Un système isostatique est donc plus économique puisqu’il n’est pas nécessaire de lui imposer des contraintes géométriques coûteuses.

Le système est isostatique. h=0 6(p-1)=18 mu=1 mi=1 m=2 Nombre d’équation 6(p-1) – m = 16 Ns= 4 + 3 + 4 + 5 Nombre d’inconnues Ns=16 Avec 6(p-1) –m = Ns - h Le système est isostatique. h=0

soit la géométrie des pièces…..

hyperstatique de degré 1. m=1 Nombre d’équations = 17 Ns=5+5+4+4=18 Donc 6(p-1) – m = Ns - h Donne h=1 hyperstatique de degré 1.

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