Théorie des situations L’élaboration d’une situation didactique pour introduire la désignation, l’égalité et le signe d’égalité ULYSSE

Aujourd’hui on peut considérer les mathématiques comme des systèmes de « symboles » construits et définis formellement, sans référence « directe » à des objets non mathématiques. Nous allons ici considérer que, pour les élèves au moins, la totalité des assemblages mathématiques sont des « signifiants potentiels » dénués de signifiés. Les signifiés originels de ces signifiants mathématiques seront les situations où ils sont apparus. Nous étudions ces associations « situation signifiée/ texte signifiant » aussi bien pour concevoir des situations nouvelles que pour décrire et comprendre les situations « naturelles » observées. Note : On peut cependant distinguer des signifiants : par exemple un symbole nouvellement introduit, et des signifiés, par exemple l’assemblage auquel ce symbole peut se substituer. Une définition est donc un signe. Mais on pourrait aussi considérer l’assemblage comme le signifiant, et le symbole comme le signifié. ULYSSE

En mathématiques, qu’exprime l’égalité A = B Il existe de très nombreuses façon équivalentes de définir la relation d’égalité. La plus connue s’appuie sur la théorie des ensembles: « A=B » est synonyme de « AB et BA ». On sait que cette relation est réflexive (A=A), symétrique (si A=B alors B=A) et transitive (si A=B et B=C alors A=C) Mais il n’est pas facile, parfois, de la distinguer d’une équivalence. Nous choisissons celle de la théorie des modèles : « A=B » si: a. dans toutes les occurrences de A dans des formules d’une théorie, A peut être remplacé par B (et réciproquement) sans changer la validité de ces formules b. si dans toutes les réalisation de cette théorie, A=B est la relation d’identité: A et B sont le même objet. Il existe donc dans cette théorie un quantificateur !E qui exprime qu’il existe un et un seul objet E (réalisations égalitaires) ULYSSE

La désignation A et B sont des signifiants, leur signifié est le même et il est le seul. A et B sont deux façons de désigner un même objet. La désignation est une correspondance élémentaire entre un élément du modèle et l’assemblage correspondant dans la théorie. Elle peut être définie par la situation suivante: Dans une situation S, un actant X doit utiliser un objet matériel A pour réaliser le projet défini par S mais il n’en dispose pas. Il sait qu’un autre actant Y, distant, possède cet objet parmi plusieurs autres. Les deux agents sont souvent dans des situations similaires, et X a besoin tantôt d’un objet tantôt d’un autre. Ils doivent coopérer pour élaborer un langage simplifié dans lequel les objets dont a besoin X seront désignés chacun par un symbole différent. A, B, C, etc. L’usage de ce « code » résout leur problème et A est le signifiant d’un objet bien précis parmi les autres. ULYSSE

X Y Z T I X a besoin d’une pièce pour compléter son ellipse G E … A Y X Message fourniture X a besoin d’une pièce pour compléter son ellipse Suivant le code, il adresse le message A au magasinier Y Y choisit la pièce désignée par A et l’envoie à X X vérifie l’adéquation de la pièce fournie J H F D … B T Z Message fourniture Deux autres actants Z et T font la même chose plus loin, mais avec un code différent ULYSSE

L’ingénierie de la désignation L’usage des codes résout le problème de la désignation: A est le signifiant d’un objet bien déterminé. Dans S, un actant X qui communique le message A à l’intention de Y pour obtenir un certain objet que les observateurs désigneront par la lettre O La situation S : (X  A  Y )  O ( où  A représente la communication du message A et ou  représente le choix de O par Y pour envoyer l’objet demandé à A). La « mise en place » de cette situation serait sans doute facile avec des élèves de 6-7 ans et totalement inutile avec des élèves de 11-12 ans et plus: la description suffirait. Dans le 2ième cours d’ingénierie didactique nous montrons comment les enfants de 5 ans sont amenés à la concevoir et à fabriquer un langage (un code) de désignation d’objets quelconques. Nous passons donc ici sur ces prolégomènes afin de définir la situation fondamentale de l’égalité ULYSSE

L’ingénierie de l’égalité Maintenant il faut créer une situation qui donne à « A= B » un signifié correct Pour cela il faut que les deux « tribus » (X, Y) et (Z,T) qui parlent des langages différents, aient des rapports appropriés: X demande à T de lui procurer A. T envoie autre chose. On peut s’attendre à ce que les messages ou leurs auteurs soient incriminés. La solution serait que soit que T comprenne ou conçoive qu’il lui faut envoyer B quand X lui demande A. ou que X comprenne qu’il lui faut demander B pour recevoir A. Mais comprendre la relation ce n’est pas l’exprimer. Le message qui exprime A = B doit être envoyé par quelqu’un, disons U qui a pratiqué les deux tribus et qui informe les intéressés X ou Y. Le schéma de la situation de formulation de l’égalité est alors le suivant ULYSSE

? U Schéma de la situation signifiée par la formule A=B A = B B T X J D … B T X A Schéma de la situation signifiée par la formule A=B Évidemment le moment venu, il faudra aménager l’introduction du signe «=» dans le domaine numérique Il est ainsi possible en principe de concevoir des modèles de situations pour chaque énoncé de Mathématique. Ces situations n’ont en général pas grand intérêt didactique. Mais l’étude théorique et expérimentale de leurs propriétés mathématiques, ergonomiques, psycholinguistiques, didactiques etc. est devenue possible et par là leur amélioration systématique. ULYSSE

Exercice Imaginer une situation réalisable en classe de préscolaire ou 1ère année primaire pour définir l’usage du signe « = »  Attention, il ne s’agit pas de l’équivalence ! ULYSSE

Fin ULYSSE