Géométrie et communication graphique Cours 7: Représentation cartésienne de surfaces Edouard Rivière-Lorphèvre Edouard.riviere@umons.ac.be

Introduction Généralisation des concepts de la 2D (courbes  surfaces) Différentes méthodes de construction E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Optimisation Paramètre à contrôler=f(variables), quel est l’optimum ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Conception - fabrication E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Conception - fabrication E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Conception - fabrication E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Conception - fabrication E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Représentation de surfaces Objectifs du chapitre: Construction de surfaces à partir de conditions Reconnaissance de formes classiques par leurs équations Représentation graphique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Représentation algébrique Une surface de ℝ3 peut se représenter par une relation de la forme f(x,y,z)=0 Deux formes possibles: Z=f(x,y): forme explicite F(x,y,z)=0: forme implicite Même distinction que pour les équations de courbes E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Z=x²+3xy² E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple x²+y²+z²-4=0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Précaution Une surface est représentée par f(x,y,z)=0 F(x,y,z) ne représente pas nécessairement un surface x²+y²+z²=0 : un point x²+y²+z²+2=0: pas de point réel E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface algébrique/transcendante Une surface est dite algébrique si son équation peut se mettre sous la forme d’un polynôme à coefficients rationnels par des opérations mathématiques simples Si ce n’est pas le cas, la surface est dite transcendante E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface algébrique Degré du polynôme: ordre de la surface L’ordre d’une surface représente le nombre maximum de points d’intersection de la surface avec une droite Ordre 1: surface plane Ordre 2: surface quadrique Ordre 3: surface cubique Ordre 4: surface quartique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface algébrique x²+y²+z²-4=0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface transcendante 𝑧=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑦 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Formes particulières Que représente x²-x-2=0 dans ℝ3 ? Surface ? Courbe ? Point ? Comment interpréter une équation sans y ni z ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Formes particulières z y x F(x,y,z)=x²-x-2=0 F(x,y,z)=(x+1)(x-2)=0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Formes particulières Une équation cartésienne ne présentant que des termes en x représente un ensemble de plans perpendiculaires à x Équation de ces plans: x=racines(f(x)) Conclusions identiques pour f(y) et f(z) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Formes particulières Que représente x²+y²-1=0 dans ℝ3 ? Plan ? Surface ? Point ? Forme particulière ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Formes particulières z y x F(x,y,z)= x²+y²-1=0 Z=0 : cercle centre o, rayon 1 Z=1 : cercle centre o, rayon 1 y x E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Formes particulières Une équation ne faisant pas apparaître de terme en z dans sa forme cartésienne représente une surface extrudée parallèlement à l’axe z (on parle de surface cylindrique) Chacune des sections dans des plans z=cste sont identiques Les mêmes conclusions peuvent être tirées des équations ne faisant pas intervenir y ou z E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

F(x,y)=0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection d’une surface avec un plan Méthode de représentation (ou de recherche de forme) classique: courbes d’intersection de la surface avec des plans Ces courbes sont définies par la réunion de l’équation de la surface et de celle des plans Plans // aux plans coordonnés ou faisceau de plans (surface de révolution) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Paraboloïde hyperbolique z=x²-y² E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Sphère x²+y²+z²-4=0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec z=cste On utilise également de manière fréquente l’intersection avec des plans z=cste Permet d’étudier la courbure et de rechercher les zones optimales E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Intersection avec z=cste E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Courbes de niveau E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Courbes de niveau E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple 𝑧=𝑥²−𝑦² 𝑧=𝑎 𝑓 𝑥,𝑦 =𝑥²− 𝑦 2 −𝑎=0 Quelle est la forme des courbes de niveau pour le paraboloïde hyperbolique d’équation z=x²-y² Particulariser en z=0 et z=1 𝑧=𝑥²−𝑦² 𝑧=𝑎 𝑓 𝑥,𝑦 =𝑥²− 𝑦 2 −𝑎=0 𝑧=0⇒f x,y = x−y x+y =0 2 droites 𝑧≠0⇒f x,y = 𝑥 2 𝑎 − 𝑦 2 𝑎 −1=0 hyperboles E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple 𝑧≠0⇒f x,y = 𝑥 2 𝑎 − 𝑦 2 𝑎 −1=0 hyperboles a>0  f x,y = 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑎 2 −1=0 (axe 0x) A<0  f x,y =− 𝑥 2 −𝑎 2 + 𝑦 2 −𝑎 2 −1=0 (axe 0y) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Obtention des équations d’une surface Emploi d’un canevas existant Extrusion le long d’une droite Révolution d’une ligne autour d’un axe Génération par lignes (généralisation des familles de courbes) Génération par points E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Quadriques Généralisation des coniques Équation de degré 2 en x, y et z E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Quadriques Valeurs propres de la matrice 3x3 Comme pour les coniques, les termes en xy (+ xz et yz) peuvent être éliminés dans un repère judicieusement choisi (changement de repère) On se retrouve avec une forme Valeurs propres de la matrice 3x3 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

3 cas de figure Trois possibilités Uniquement des termes en x (ou y ou z): ensemble de plans Pas de termes en z (ou en x ou en y): surface extrudée dont la base est une conique Termes en x, y et z: quadriques à proprement parler E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

extrusions E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

extrusions E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

extrusions E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Formes propres Ellipsoïde Hyperboloïde à une nappe Hyperboloïde à deux nappes Paraboloïde elliptique Paraboloïde hyperbolique Cône à base elliptique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Quadriques E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Quadriques E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Quadriques E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Quadriques Reconnaissance de formes (formulaire) Gestion de l’intersection avec les plans coordonnés Nous verrons par la suite qu’il est possible de les définir par d’autre méthodes (révolution, génération par ligne,…) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surfaces de révolution Surface engendrée par la rotation d’une courbe autour d’un axe Si la courbe est dans un des plans coordonnées, son obtention est simple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Révolution Courbe de yz F(y,z)=0 Surface: f(R,z)=0 𝑅= 𝑥²+𝑦² 𝑅= 𝑥²+𝑦² E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Révolution Une surface de révolution autour de l’axe z est obtenue en exprimant 𝑓 𝑥 2 + 𝑦 2 ,𝑧 =0 à partir de l’équation d’une courbe plane Par permutation circulaire, on obtient 𝑓 𝑦 2 + 𝑧 2 ,𝑥 =0 révolution autour de x 𝑓 𝑥 2 + 𝑧 2 ,𝑦 =0 révolution autour de y E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Courbe obtenue par la rotation d’une droite 2x-3z+6=0 autour de l’axe z z droite x E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple 𝑓 𝑥,𝑧 =2𝑥−3𝑧+6=0 𝑓 𝑥²+𝑦² ,𝑧 =2 𝑥²+𝑦² −3𝑧+6=0 4 𝑥²+𝑦² =9 𝑧−2 ² 𝑓 𝑥²+𝑦² ,𝑧 =2 𝑥²+𝑦² −3𝑧+6=0 4 𝑥²+𝑦² =9 𝑧−2 ² 4 𝑥²+𝑦² −9 𝑧−2 2 =0 𝑥² 3² + 𝑦² 3² − 𝑧−2 ² 2 2 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple 𝑥² 3² + 𝑦² 3² − 𝑧−2 ² 2 2 =0 Cône à base circulaire 𝑥² 3² + 𝑦² 3² − 𝑧−2 ² 2 2 =0 Cône à base circulaire E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Tore Établir l’équation d’un tore obtenu par révolution d’un cercle de (x,z) autour de l’axe z R rayon majeur, r rayon mineur Quel est l’ordre de la surface ? Rechercher son intersection avec le plan Oxy E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Rotation autour d’un axe quelconque Emploi des matrices de transformation E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Génération par lignes La génération par lignes d’une surface consiste à définir une surface comme la réunion de courbes variables Ces courbes sont, de manière générale, définies par l’intersection de deux surfaces (également variables) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Génération par lignes E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Génération par lignes Plusieurs types principaux: Une courbe variable dépendante d’un paramètre Une courbe variable dépendant de plusieurs paramètres accompagnée de relations entre les paramètres Une droite variable suivant plusieurs conditions géométriques (surface réglée) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Famille à un seul paramètre Famille de courbes Les points de la courbe vérifient On peut donc tirer Ce qui permet d’écrire C’est-à-dire l’équation cartésienne de la surface E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

En résumé l'équation d'une surface qui est le lieu des courbes d'intersection de deux familles de surfaces à un seul paramètre s'obtient en éliminant le paramètre entre les expressions des deux familles de surfaces Méthode simple d’obtention de la surface par lignes E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Famille de circonférence contenues dans des plans horizontaux Rayon des cercles= moitié de l’altitude Quelle est la surface obtenue ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Cône à base circulaire E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Famille de courbe à plusieurs paramètres 𝐹 1 (𝑥,𝑦,𝑧, 𝜆 1 , 𝜆 2 ,… 𝜆 𝑛 ) 𝐹 2 (𝑥,𝑦,𝑧, 𝜆 1 , 𝜆 2 ,… 𝜆 𝑛 ) Si on élimine un des paramètres, on obtient F’(𝑥,𝑦,𝑧, 𝜆 1 , 𝜆 2 ,… 𝜆 𝑛−1 ) Équation d’une famille de surfaces à n-1 paramètres  Besoin d’avoir n-1 relations entre les paramètres pour obtenir une surface E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surfaces réglées Une surface réglée est un cas particulier de génération de surface par lignes Dans le cas d’une surface réglée, les lignes sont des droites (génératrices) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surfaces réglées Forme de surfaces le plus fréquemment employé pour la matérialisation d’objets E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surfaces réglées E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surfaces réglées Sans nuire à la généralité du raisonnement, une droite peut être définie par l’intersection de deux plans perpendiculaires aux plans coordonnés (plan projetants) 4 paramètres  3 relations à imposer Imposition par l’intermédiaire de conditions géométriques E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surfaces réglées la génératrice s'appuie sur trois lignes (lignes directrices); la génératrice s'appuie sur deux lignes directrices et reste parallèle à un plan (plan directeur); la génératrice s'appuie sur une ligne et reste parallèle à deux plans directeurs; la génératrice reste parallèle à deux plans directeurs et reste tangente à une surface (noyau); la génératrice s'appuie sur une ligne et reste tangente à deux surfaces; la génératrice reste tangente à trois surfaces; ... E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Comment exprimer la condition: la génératrice passe par la droite d1 ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple  Compatible si une équation est cl des autres La génératrice passe par la droite d1  elles ont un point commun Le système formé par les équations des deux droites admet une et une seule solution (et est compatible) 4 équations 3 inconnues (x,y,z) 4 paramètres (a,b,g,d)  Compatible si une équation est cl des autres E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple La génératrice passe par la droite d1  elles ont un point commun Le système formé par les équations des deux droites admet une et une seule solution (et est compatible) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Par un raisonnement similaire E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Ensuite… E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface conique Cas particulier de surface réglée: surface génératrices passant par un point fixe et par une courbe donnée E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Génération par points E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique