Mesures et incertitudes Isabelle TARRIDE Formation de formateurs pour les nouveaux programmes de TS en sciences physiques et chimiques - Mars 2012

Bulletin officiel spécial n°8 du 13 octobre 2011 Mesures et incertitudes Informations destinées au professeur Le tableau suivant résume les notions et compétences spécifiques relatives aux mesures et à leurs incertitudes que les élèves doivent maîtriser à la fin de la formation du lycée. Elles pourront être approfondies avec profit dans le cadre de la spécialité de physique-chimie de la terminale S. L’ensemble des activités expérimentales, en italique dans la colonne de droite des programmes de première et de terminale, doit progressivement fournir l’occasion de leur mise en oeuvre et de leur acquisition. L’informatique peut jouer un rôle tout à fait particulier en fournissant aux élèves les outils nécessaires à l’évaluation des incertitudes sans qu’ils soient conduits à entrer dans le détail des outils mathématiques utilisés. L’accent doit être mis sur la prise de conscience des causes de limitation de la précision (sources d’erreurs) et de leurs implications sur la qualité de la mesure. Dans une perspective de compréhension des bases de la métrologie, le professeur pourra mettre en regard la sémantique de ces bases et les acceptions courantes. Pour ces dernières, le vrai est ce qui est indubitable, l’incertain est ce dont on n’est pas sûr et l’erreur est ce qu’on aurait pu ne pas faire. Dans le langage de la métrologie, il est question de valeur vraie, celle qu’on aurait obtenue avec une mesure parfaite (de précision illimitée). Cette valeur est donc inconnue, elle est même illusoire, en raison de la variabilité des phénomènes. On aura donc une valeur mesurée, et le résultat final de la mesure sera cette valeur, éventuellement issue d’une moyenne, assortie d’une incertitude (en fait un écart-type) résultant d’erreurs. Ici, l’incertitude et l’erreur sont des concepts scientifiques précis ; cette dichotomie peut entraîner des confusions (comme la masse et le poids) que l’enseignant peut souligner.

Notions et contenus Compétences expérimentales exigibles Erreurs et notions associées Identifier les différentes sources d’erreur (de limites à la précision) lors d’une mesure : variabilités du phénomène et de l’acte de mesure (facteurs liés à l’opérateur, aux instruments, etc.). Incertitudes et notions associées Évaluer et comparer les incertitudes associées à chaque source d’erreur. Évaluer l’incertitude de répétabilité à l’aide d’une formule d’évaluation fournie. Évaluer l’incertitude d’une mesure unique obtenue à l’aide d’un instrument de mesure. Évaluer, à l’aide d’une formule fournie, l’incertitude d’une mesure obtenue lors de la réalisation d’un protocole dans lequel interviennent plusieurs sources d’erreurs. Expression et acceptabilité du résultat Maîtriser l’usage des chiffres significatifs et l’écriture scientifique. Associer l’incertitude à cette écriture. Exprimer le résultat d’une opération de mesure par une valeur issue éventuellement d’une moyenne et une incertitude de mesure associée à un niveau de confiance. Évaluer la précision relative. Déterminer les mesures à conserver en fonction d’un critère donné. Commenter le résultat d’une opération de mesure en le comparant à une valeur de référence. Faire des propositions pour améliorer la démarche.

Notions et contenus Compétences expérimentales exigibles Erreurs et notions associées Identifier les différentes sources d’erreur (de limites à la précision) lors d’une mesure : variabilités du phénomène et de l’acte de mesure (facteurs liés à l’opérateur, aux instruments, etc.).

Notions et contenus Compétences expérimentales exigibles Erreurs et notions associées Identifier les différentes sources d’erreur (de limites à la précision) lors d’une mesure : variabilités du phénomène et de l’acte de mesure (facteurs liés à l’opérateur, aux instruments, etc.). Incertitudes et notions associées Évaluer et comparer les incertitudes associées à chaque source d’erreur. Évaluer l’incertitude de répétabilité à l’aide d’une formule d’évaluation fournie. Évaluer l’incertitude d’une mesure unique obtenue à l’aide d’un instrument de mesure. Évaluer, à l’aide d’une formule fournie, l’incertitude d’une mesure obtenue lors de la réalisation d’un protocole dans lequel interviennent plusieurs sources d’erreurs.

Notions et contenus Compétences expérimentales exigibles Erreurs et notions associées Identifier les différentes sources d’erreur (de limites à la précision) lors d’une mesure : variabilités du phénomène et de l’acte de mesure (facteurs liés à l’opérateur, aux instruments, etc.). Incertitudes et notions associées Évaluer et comparer les incertitudes associées à chaque source d’erreur. Évaluer l’incertitude de répétabilité à l’aide d’une formule d’évaluation fournie. Évaluer l’incertitude d’une mesure unique obtenue à l’aide d’un instrument de mesure. Évaluer, à l’aide d’une formule fournie, l’incertitude d’une mesure obtenue lors de la réalisation d’un protocole dans lequel interviennent plusieurs sources d’erreurs. Expression et acceptabilité du résultat Maîtriser l’usage des chiffres significatifs et l’écriture scientifique. Associer l’incertitude à cette écriture. Exprimer le résultat d’une opération de mesure par une valeur issue éventuellement d’une moyenne et une incertitude de mesure associée à un niveau de confiance. Évaluer la précision relative. Déterminer les mesures à conserver en fonction d’un critère donné. Commenter le résultat d’une opération de mesure en le comparant à une valeur de référence. Faire des propositions pour améliorer la démarche.

Aspects sémantiques Vocabulaire acception courante métrologie Mesure Action d’évaluer une grandeur. Élément de comparaison. Unité. Ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement l’intervalle de valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur (mesurage).

Aspects sémantiques Vocabulaire acception courante métrologie Mesure Action d’évaluer une grandeur. Élément de comparaison. Unité. Ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement l’intervalle de valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur (mesurage). Mesurande Grandeur à mesurer (par exemple une masse, un volume, une durée…)

Aspects sémantiques Vocabulaire acception courante métrologie Mesure Action d’évaluer une grandeur. Élément de comparaison. Unité. Ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement l’intervalle de valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur (mesurage). Mesurande Grandeur à mesurer (par exemple une masse, un volume, une durée…) Valeur vraie Indubitable, conforme à la réalité… Valeur que l’on obtiendrait si le mesurage était parfait.

Aspects sémantiques Vocabulaire acception courante métrologie Mesure Action d’évaluer une grandeur. Élément de comparaison. Unité. Ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement l’intervalle de valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur (mesurage). Mesurande Grandeur à mesurer (par exemple une masse, un volume, une durée…) Valeur vraie Indubitable, conforme à la réalité… Valeur que l’on obtiendrait si le mesurage était parfait. Erreur Faute, méprise, action regrettable, maladresse… Écart entre la valeur mesurée et la valeur vraie.

Aspects sémantiques Vocabulaire acception courante métrologie Mesure Action d’évaluer une grandeur. Élément de comparaison. Unité. Ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement l’intervalle de valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur (mesurage). Mesurande Grandeur à mesurer (par exemple une masse, un volume, une durée…) Valeur vraie Indubitable, conforme à la réalité… Valeur que l’on obtiendrait si le mesurage était parfait. Erreur Faute, méprise, action regrettable, maladresse… Écart entre la valeur mesurée et la valeur vraie. Incertitude Qui ne peut être établi avec exactitude ; dont on n’est pas sûr Estimation de l’erreur de mesure.

Aspects sémantiques Vocabulaire acception courante métrologie Mesure Action d’évaluer une grandeur. Élément de comparaison. Unité. Ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement l’intervalle de valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur (mesurage). Mesurande Grandeur à mesurer (par exemple une masse, un volume, une durée…) Valeur vraie Indubitable, conforme à la réalité… Valeur que l’on obtiendrait si le mesurage était parfait. Erreur Faute, méprise, action regrettable, maladresse… Écart entre la valeur mesurée et la valeur vraie. Incertitude Qui ne peut être établi avec exactitude ; dont on n’est pas sûr Estimation de l’erreur de mesure. Résultat d’un mesurage Valeur qui résulte de l’action de mesurer Intervalle de valeurs à l’intérieur duquel se trouve la valeur mesurée.

« Guide pour l´expression de l’incertitude de mesure » Ce document s'appuie sur les préconisations de l’AFNOR (Association française de normalisation) notamment dans la norme NF ENV 13005 d’août 1999 : « Guide pour l´expression de l’incertitude de mesure »

L’erreur de mesure aléatoire L’erreur de mesure systématique Notion d’erreur Les erreurs de mesures peuvent être dues : à l’instrument de mesure, à l’opérateur, ou à la variabilité de la grandeur mesurée. On classe les erreurs de mesures en 2 catégories : L’erreur de mesure aléatoire L’erreur de mesure systématique Lorsqu’un même opérateur répète plusieurs fois le mesurage d’une même grandeur, les valeurs mesurées peuvent être différentes. La dispersion des valeurs mesurées est due à la qualité du mesurage réalisé par l’opérateur, à la qualité de l’instrument de mesure. Un appareil défectueux, mal étalonné ou utilisé incorrectement conduit à des valeurs mesurées proches les unes des autres mais éloignées de la valeur vraie. Faible erreur aléatoire Erreur aléatoire importante Erreur systématique importante, mais faible erreur aléatoire Erreurs systématique et aléatoire importantes

Évaluation d’incertitudes L’incertitude de mesure est un paramètre, associé au résultat d’un mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande M. L’incertitude de mesure sera notée U (de l’anglais « uncertainty »). Elle permet de définir un intervalle dans lequel la valeur vraie a de grandes chances de se trouver. On parle d’intervalle de confiance. Intervalle de confiance U(M) incertitude de mesure Grandeur mesurée m Résultat d’un mesurage La qualité de la mesure est d’autant meilleure que l’incertitude associée pour un même niveau de confiance est petite. En général, la largeur de l’intervalle de confiance est choisie pour avoir 95 % ou 99 % de chance de trouver la valeur vraie à l’intérieur. Pour un même mesurage, l’intervalle correspondant à un niveau de confiance de 99%, est plus large que celui correspondant à un niveau de confiance de 95% m U95%(M) U99%(M)

Évaluation d’incertitudes Incertitude relative L’incertitude relative d’une mesure est le quotient de l’incertitude de mesure U(M) par la valeur mesurée m, soit : On l’exprime souvent en pourcentage. C’est un indicateur de la qualité de la mesure. Types d’incertitudes Suivant la méthode utilisée pour effectuer le calcul d’une incertitude de mesure on peut classer cette incertitude dans l’un des deux types ci-dessous : Une incertitude de type A est évaluée par des méthodes statistiques : moyenne, écart-type…. Elle est issue de l’exploitation d’un nombre important de valeurs mesurées. - Une incertitude de type B est évaluée par d’autres méthodes. Elle correspond en général à une mesure unique. Sa détermination n’est pas simple car il faut prendre en compte toutes les sources d’erreurs ou, au préalable, avoir identifié les sources d’erreurs les plus importantes.

Évaluation d’incertitudes Évaluation d’une incertitude de type A Incertitude-type (notée u) Lorsqu’un même manipulateur réalise plusieurs fois le mesurage de la même grandeur G, dans les mêmes conditions expérimentales ou quand des manipulateurs différents réalisent simultanément le même mesurage avec du matériel similaire, on utilise des notions de statistiques (moyenne et écart-type) pour analyser les résultats. Pour une série de n mesures indépendantes donnant des valeurs mesurées gk, la valeur g retenue pour la mesure de grandeur G est la moyenne des valeurs obtenues : L’écart-type expérimental de la série de mesures est : Cet écart-type permet d’évaluer l’incertitude-type (ou écart-type expérimental de la moyenne) :

Évaluation d’incertitudes Incertitude élargie (notée U) Dans l'hypothèse où toute erreur systématique a été écartée et où les diverses valeurs mesurées sont réparties selon une loi gaussienne, le coefficient d’élargissement k, associé à un niveau de confiance donné et au nombre n de mesures, est donné par la loi de Student. Le tableau ci-dessous donne les valeurs de k pour des niveaux de confiance de 95% et 99% et pour des nombres n de mesurages courants. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 k 95% 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,20 2,16 2,13 2,11 2,09 k 99% 63,7 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,11 3,01 2,95 2,90 2,86

Évaluation d’incertitudes Évaluation d’une incertitude de type B Incertitude-type (notée u) Lorsqu’une mesure ne peut pas être reproduite plusieurs fois, il est alors nécessaire d’analyser les différentes sources d’erreurs et d’évaluer l’incertitude associée à chaque source. Cas d’une lecture simple sur une échelle graduée : Lorsque la mesure est obtenue par lecture sur une échelle ou un cadran, l’incertitude-type liée à la lecture est estimée à : Pour un thermomètre gradué en degrés, l’incertitude-type liée à la lecture vaut:

Évaluation d’incertitudes Cas d’une double lecture sur une échelle graduée : Lorsque la mesure nécessite une double lecture, les incertitudes liées à la lecture peuvent se cumuler ou se compenser, totalement ou partiellement. L’incertitude-type liée à la double lecture est estimée à : Cas de la mesure d’une distance d avec une règle graduée au mm : udouble-lecture (d) = Cas de la mesure de la période T d’un signal périodique affiché sur l’écran d’un oscilloscope gradué en cinquièmes de division : udouble-lecture (T) =

Évaluation d’incertitudes Cas d’une mesure obtenue avec un appareil de tolérance connue : Lorsque la mesure est obtenue avec un appareil pour lequel le constructeur indique la tolérance t (notée ± t), l’incertitude-type liée à la tolérance de cet appareil est estimée à : Ici : Cas de l’utilisation d’un appareil numérique L’incertitude est généralement indiquée dans la notice sous la forme d’un pourcentage de la valeur lue sur l’écran et d’un certain nombre de digit. Par exemple, avec un voltmètre affichant 1,62 V et dont la notice indique pour l’incertitude : (3% de la valeur lue + 1 digit), l’incertitude est u =

Évaluation d’incertitudes Incertitude élargie (notée U) Dans tous les cas précédents, la norme considère alors que l’incertitude élargie pour une mesure unique s’obtient en multipliant l’incertitude-type par un coefficient d’élargissement k : pour un niveau de confiance de 95%, k = 2 pour un niveau de confiance de 99%, k = 3

Évaluation d’incertitudes Incertitudes composées Dans certains cas complexes, il faut souvent combiner les méthodes de type A et de type B pour obtenir une meilleure évaluation de l’incertitude. On a alors :

Évaluation d’incertitudes Propagation des incertitudes Lorsque la valeur g d’une grandeur G se déduit des valeurs d’autres grandeurs par un calcul, l’incertitude sur G se déduit des incertitudes sur les autres grandeurs. Cas d’une somme Une grandeur G peut être la somme de deux autres grandeurs indépendantes G1 et G2 : g = g1 + g2 L’incertitude U(G) est : (somme quadratique des incertitudes). Cas d’un produit Une grandeur G peut être le produit de deux autres grandeurs indépendantes G1 et G2 : g = g1  g2 Dans ce cas l’incertitude est donné par : (somme quadratique des incertitudes relatives) Cas d’une multiplication par un nombre exact Si une grandeur G est obtenue à partir autre grandeur multipliée par un nombre exact A : g = Ag1 Alors l’incertitude U(G) est donné par U(G) = A U(G1). Cas d’une puissance Une grandeur G peut être obtenue à partir d’une autre grandeur élevée à une puissance n : g = g1n

Évaluation d’incertitudes Arrondissage et écriture d’un résultat Les valeurs numériques de l’estimation g d’une grandeur G et de son incertitude U(G) ne doivent pas être données avec un nombre excessif de chiffres.   L’incertitude sera arrondie avec au plus deux chiffres significatifs. Lorsque le premier chiffre significatif est supérieur ou égal à 5, on pourra arrondir l’incertitude à un seul chiffre significatif. Le dernier chiffre significatif de la valeur mesurée doit être du même ordre de grandeur et à la même position décimale que celui de l’incertitude. Quelques exemples : mesure de la grandeur incertitude écriture du résultat du mesurage v = 12,347 m·s-1 0,14 m·s-1 v = (12,35±0,14) m·s-1 m = 0,1248 kg 22 g m = (0,125±0,022) kg q = 1,61×10-19 C 0,052 ×10-19 C q = (1,61±0,05)×10-19 C C = 0,01412 mol·L-1 6,2 ×10-3 mol·L-1 C = (0,014±0,006) mol·L-1 Lorsqu’une grandeur doit être utilisée pour un calcul ultérieur on conserve au moins un chiffre significatif de plus dans son expression finale.

Notations G : mesurande (grandeur à mesurer) g : valeur mesurée u(G) : incertitude-type U(G) : incertitude élargie k : facteur d’élargissement : incertitude-type relative : incertitude élargie relative

Glossaire • Le mesurande est la grandeur à mesurer (par exemple une masse, une distance, un volume, une durée…) • Le mesurage est l’ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement l’intervalle de valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à la grandeur mesurée. • La valeur mesurée, ou résultat d’un mesurage, est la valeur attribuée à un mesurande suite à un mesurage. • La valeur vraie d’une grandeur est la valeur que l’on obtiendrait si le mesurage était parfait. Cette valeur est toujours inconnue. • L’erreur de mesure est l’écart entre la valeur mesurée et la valeur vraie. Comme la valeur vraie est inconnue, l’erreur est également inconnue. • L’erreur aléatoire est la composante de l'erreur de mesure qui, dans des mesurages répétés, varie de façon imprévisible. • L’erreur systématique est la composante de l'erreur de mesure qui, dans des mesurages répétés, est constante ou varie de façon prévisible. • L’incertitude de mesure est la valeur, associée au résultat d’un mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande. • L’incertitude-type est l’incertitude du résultat d’un mesurage exprimée sous la forme d’un écart-type. • L’incertitude élargie est la valeur, associée au résultat d’un mesurage, qui définit un intervalle autour du résultat d’un mesurage à l’intérieur duquel on peut s’attendre à trouver une fraction élevée de la distribution des valeurs qui pourraient être raisonnablement attribuées au mesurande. Cet intervalle est appelé intervalle de confiance, il est associé à un niveau de confiance (exprimé en pourcentage). • Le niveau de confiance est la probabilité de trouver la valeur vraie à l’intérieur de l’intervalle de confiance. • Le facteur d’élargissement est le facteur numérique utilisé comme multiplicateur de l’incertitude-type pour obtenir l’incertitude élargie. • L’incertitude-type composée est l’incertitude-type du résultat d’un mesurage obtenu à partir des valeurs d’autres grandeurs. • L’exactitude de mesure est l’étroitesse de l’accord entre la valeur mesurée et la valeur vraie. • La justesse de mesure est l’étroitesse de l'accord entre la moyenne d'un nombre infini de valeurs mesurées répétées et la valeur vraie. • La fidélité de mesure est l’étroitesse de l'accord entre les valeurs mesurées obtenues par des mesurages répétés.

Des documents de référence Le document de l’Inspection générale (2010) http://media.eduscol.education.fr/file/PC/66/3/Ressources_PC_nombres_mesures_incertitudes_144663.pdf Document du Bureau International des Poids et Mesures (2008) qui reprend les préconisations de la norme AFNOR http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_100_2008_F.pdf Un cours de l’université de Strasbourg (qui s’appuie sur la norme AFNOR de 1999) http://www-physique.u-strasbg.fr/~udp/articles/Courssurlesincertitudes.pdf