Activités d’introduction 1

Questions posées - le concept d'activités d'introduction existe-t-il vraiment ? - si oui, y a-t-il des critères qui les différencient des autres activités ? - si oui, ces critères spécifiques portent-ils sur la nature de la situation et sa relation avec la notion visée ou sur simplement sur sa mise en œuvre ? 2

préambule Objet de l’intervention : présenter une (ma) manière d‘aborder cette question, utilisée en recherche (et dans mon enseignement). Il ne s’agit pas d’exemplifier avec des listes d’activités (à élaborer par les enseignants, mieux placés) mais d’indiquer ce qui est pris en compte pour travailler cette question – après il n’y a pas unicité des activités, il reste des moments ou des classes où on n’en a pas « envie », ça dépend du temps dont on dispose…. 3

vocabulaire Plusieurs sens pour activités… Pour nous Tout ce que les élèves pensent, font, disent et ne disent pas au cours d’un travail (sur un exercice par exemple)… Donc réflexion, action, discours oral et production écrite, qui participent aux apprentissages et sont en partie provoqués par les enseignants. 4

Activités d’introduction en didactique (le schéma) Oui il y a des notions qui, a priori, se prêtent à des activités d’introduction (au sens de ce que font les élèves), spécifiques, les critères portant à la fois sur les contenus et sur la mise en œuvre. Ce sont des activités (liées à des tâches – exercices au sens large) qui amènent les élèves à étendre leurs connaissances pour résoudre cet exercice ou ce problème (ou cette situation) nouveaux. L’utilisation de la connaissance (notion) visée est présente de manière indispensable mais partielle, en contexte. Les élèves peuvent y avoir recours sans que l’enseignant (ou l’énoncé) les y engagent par des indications après coup – voire l’utilisation d’autre chose que la connaissance amène à des erreurs dont ils peuvent prendre conscience « seuls » (contrôle). 5

Activités d’introduction – le schéma (2) Il y a besoin d’utiliser les connaissances déjà en place de manière un peu plus large que d’habitude (un peu différente). Des changements de cadres, introduits dans l’énoncé ou non, peuvent aider… en particulier si on passe du connu à l’inconnu et retour Une recherche en classe, souvent en petits groupes, est attendue – le prof écoute (retient) et n’intervient qu’après L’idée est d’introduire le « cours, » général, décontextualisé (certains évoquent le savoir), après l’activité des élèves (sur la tâche d’introduction) mais en s’appuyant sur cette activité et en dégageant ce qui est à retenir. Indissociable ! D’où prise de sens (supposée, partielle) pour les élèves. 6

exemples Jeux de cible (primaire) Puzzle (pour l’adoption d’un modèle multiplicatif lorsqu’on travaille sur des agrandissements) Symétrie orthogonale en sixième Produit des racines carrées (comme nombres) Carrés bordés – prestidigitateur (l’algèbre comme génératrice de généralisation, voire de preuve) ou pour introduire l’équivalence d’expressions Suites (le début) Fonctions ??? Du plan à l’espace en géométrie Le barycentre (quand il y était) 7

Dans les manuels Pas conformes à ce schéma ! Tâches et pas activités (donnant lieu à activités) Souvent exemples (on introduit déjà la notion et on fait travailler en contexte) Ou des devinettes « imposées », Ou des révisions orientées (sans doute utiles aussi ! mais ne conduisant pas vraiment à une introduction du nouveau dans le schéma cité)… 8

Autres activités (de recherche) Il y en a d’autres, qui peuvent donner du sens aussi Problèmes abordables aboutissant à une question, un besoin qu’on n’arrive pas à remplir (notions RAP) Problèmes d’application non immédiate d’une notion (on doit introduire des intermédiaires, des reconnaissances, des mélanges…) Problèmes aboutissant à l’utilisation de plusieurs connaissances (cf. organisation) Problèmes aboutissant à la disponibilité de certaines connaissances (non indiquées) Problèmes ouverts… 9

La quête du sens… Sens, techniques, formalisme : en partie dépendants, en partie indépendants… Il n’y a pas que les introductions qui sont en cause, même si les élèves les rencontrent d’abord, « à l’installation ». Il peut y avoir des différences entre élèves, dans l’ordre de l’apprentissage et de la prise de sens, selon leur rapport au savoir. L’organisation des connaissances fait partie du sens, la disponibilité aussi. Comme les figures en géométrie embarquent des contraintes et des propriétés cachées (cf. Colmez), le formalisme embarque des potentialités et des contraintes pas toujours explicitées, engendre des automatismes utiles (cf. numération décimale, logique dans les écritures formelles…) – cf. recherches. Beaucoup de « mouvements » dans la pratique mathématique, liés aux adaptations des connaissances : par exemple certains changements de points de vue sont essentiels, dont certains liés à la pluralité des cadres ou registres mais pas tous. Pas toujours repérés (cf. angle droit et droites perpendiculaires)… Même chose sur ce que représente un théorème, un « invariant », ce qui est à substituer… cf. recherches. Et la « motivation » ? 10

Retour aux activités d’introduction : pas toujours possible ? Introduction de l’idée des notions « FUG », trop éloignées des connaissances « déjà-là » ou presque « déjà-là » - pas de « bon » problème - étude des programmes pour le voir Formalisme Généralisateur et Unificateur – souvent Simplificateur mais les élèves n’en ont cure. Il y a aussi des notions non encore formalisables, voire pas « définissables » directement (cf. Sophie) ou même transparentes (cf. énumération) – cf. naturalisations Les élèves peuvent être surpris par l’enjeu de la démarche (anticipatoire, amenant à généraliser, inductif, pas habituel /contrat des exercices notés) – cf. questionnaire en cours sur les « cours » 11

Pour les enseignants Tâches difficiles à élaborer – certainement pas pour toutes les notions – mais en plus la tâche ne suffit pas (cf Sophie)… Gestion très exigeante : leur « efficacité » dépend des déroulements, en relation à la fois à l’association de tous les élèves à toutes les phases, aux proximités explicitées par l’enseignant entre les activités et le hors-contexte (le général), que l’enseignant pointe et éclaire, et au temps passé (si trop long, perte !) Souvent plus facile pour les élèves en petits groupes, plus difficile encore à « récupérer » pour l’enseignant Surtout… pas complètement « isolable » du reste, de l’ensemble du scénario envisagé. Équilibre nécessaire. 12

Recherches et perspectives Études du relief, des scénarios – qu’est-ce qui est « transformable » en tâches préliminaires (donnant lieu à activités d’introduction) ? Quel cours « accrocher » ? Comparaison fine des analyses faites a priori et des déroulements permet de repérer des « trous » invisibles autrement (cf. naturalisations) Questions plus générales : Quels « besoins » théoriques (argumentatifs) des élèves – et donc quels cours ? Cf. Tice, pédagogie inversée… Rôle dans les transitions ? En formation ? 13

Biblio succincte … Repères IREM 54, 75 Une caméra au fond de la classe (algèbre, symétrie) Cahier LDAR 14 Livre proba-stat à paraître 14

Les fonctions au collège (1. algébrique) 15

Les fonctions au collège (1. algébrique) 16

Les fonctions au collège (2. graphique) 17

Passage de la proportionnalité aux droites y = ax ? En quatrième on étudie la proportionnalité et à partir d’un tableau de valeurs discrètes et numériques, on trace, dans le plan muni d’un repère, des points que l’on joint par une droite. Cet alignement, ainsi que sa réciproque – si des points sont alignés avec l’origine ils représentent une situation de proportionnalité -, sont des propriétés admises. Il faut souligner que les points de la droite différents de ceux qui ont servi à la tracer ne sont pas l’objet d’attention, explication ou interprétation (du moins dans les programmes actuels). La droite (alors objet géométrique) ne sert qu’à traduire l’alignement des points initiaux, le fait que les autres points de la droite ont des coordonnées proportionnelles est souvent passé sous silence. Thalès ??? (c’était avant). 18

Petit bilan sur graphique 19

Proximités ? 20

Outil ou objet ? C’est surtout l’objet fonction qui est étudié au collège – il y a peu d’exercices dont la résolution demanderait aux élèves d’introduire des fonctions pour les utiliser comme outil. D’où la difficulté de créer des activités d’introduction au sens complet. Cela est lié au peu de propriétés introduites à ce niveau, il y a surtout des descriptions attachées à l’objet dans ses différents aspects – notamment les notions d’image et d’antécédent à travailler dans les différents registres, qui peuvent amener à résoudre des équations, comme déjà signalé. Nouveaux programmes ? Le chapitre sur fonctions linéaires ou affines donne lieu à des tâches assez peu variées (reprises), avec cependant quelques modélisations de situations géométriques notamment, pour lesquelles l’étude des fonctions affines obtenues peut renseigner sur des variations ou des comparaisons. Tout cela est approfondi en seconde, avec reprise des généralités complétées par une étude systématique du sens de variation, des maxima et minima et la reprise des fonctions affines, complétée pour grossir le stock des fonctions connues (carrées, inverses, homographiques). Il y a plus de problèmes où les fonctions peuvent être utilisées comme outil. 21

Et les logiciels ? 22