PhM – Observatoire de Lyon – avec Partie 2 : méthodes de recherche de la période l’effet de l’assombrissement centre bord de l’étoile

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)2  Introduction Les données à étudier sont une série d’observations obtenue avec le simulateur de Transit de l’Observatoire (voir partie I) Les données sont préformatées et mise dans le fichier Geogebra Sujets de travail : 1 – méthodes pour repérer et mesurer la période de révolution de la planète. 2 – influence de l’assombrissement centre-bord du rayonnement de l’étoile sur le calcul du rapport du rayon planète sur rayon étoile. exopla_serie01.ggb

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)3  Les données d’observation Ouvrir Geogebra Insérer le fichierexopla_serie01.ggb

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)4  Le fichier de départ et les données d’observation La valeur logique d’affichage (courbe segments) Les droites horizontales repères des flux Les droites verticales repères des temps Les séquencesFlux Tracé par points Tracé par segments Temps Le nombre de points des observations Le calcul du rapport des rayons Les curseurs flux Les curseurs temps

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)5  La mesure de la période Dans la première partie de l’atelier précédent, nous avons fait la moyenne de quelques intervalles temps qui séparaient des minima consécutifs. On va maintenant construire un ensemble de droites verticales espacées de (valeur variable par curseur) sur toute la plage de temps et translatable sur l’espace d’une période. Et l’on fera varier pour qu’il s’ajuste au mieux aux minima. Curseur P = Curseur[10, 200, 0.1, 1, 200 ] Droites associées sdP=Séquence[x=i*P+ΔP, i, 1, Elément[tps,Npt/P]] Curseur ΔP=Curseur[-P/2, P/2, 0.1 ] P curseur  P P P ΔP

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)6  La mesure de la période Si l’on élargit la plage d’ajustement, on s’aperçoit que … Il y a une dérive systématique…. La simulation a un biais, la vitesse de rotation dérive. Accélération ou ralentissement ? Sauvegarder avec un nouveau nom.

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)7  La mesure de la période (autre méthode) Il est possible de rechercher la période en superposant différentes séquences de points, chaque séquence correspondants aux points d’une durée d’une période. On va donc tracer les points avec une période prise arbitrairement. Chaque point sera positionné avec la valeur temporelle Modulo (tps, P) La variation de permettra de trouver la valeur qui superpose au mieux tous les minima. Nous ne connaissons point à priori la période. Le nombre de points étant importants, on se limitera au début à un nombre de points plus petits (quelques périodes) que l’on fera croître par la suite. P P

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)8  La mesure de la période (autre méthode) Curseur : nombre de points tracé de à Ntrac = Curseur[1, Npt, 1 ] On cache le tracé par segment, la séquence. Et l’on corrige la séquence Nombre de points tracés Superposition sPt Mettre à et à. Ntrac 1 Ntrac sdP P 50 Ntrac 50.

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)9  La mesure de la période (autre méthode) Augmenter le nombre de points pour avoir deux minima. Ajuster la période pour superposer les deux minima. Lire la période Faire apparaître un autre minimum, ajuster, lire la période, etc En fonction des mesures précédentes avec les droites, que va-t-il se passer ?

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)10  C’est tout pour les périodes aujourd’hui. Sauver le fichier Reprendre le fichier d’origine. On passe à l’étude du transit et à l’assombrissement centre-bord

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)11  Zoomer sur le premier minimum. Sauvegarder avec un nouveau nom. Transit : la courbe de lumière

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)12  Si le minimum correspond au centre du passage de la planète sur un disque uniforme, le rayon relatif est donné par Transit : la courbe de lumière Cette valeur est fausse, car en réalité dans la simulation R Planète –––––– = 1/6 = R Etoile Le rapport des rayons est fortement exagéré.

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)13  Transit : la courbe de lumière La différence de flux mesurée correspond à une baisse d’intensité par rapport à une étoile de surface uniforme et d’intensité centrale ; c’est celle à la position centrale du transit. Il faudrait en fait prendre la baisse de lumière non pas au centre, mais à la position intermédiaire qui correspond à la zone ayant pour intensité la valeur moyenne du disque. Mais où est cette zone ? Il y a surestimation de la lumière occultée par rapport au flux moyen de la surface. Faire varie le curseur pour voir comment évolue le rapport des rayons quand on se déplace sur la courbe du transit, c’est-à-dire sur la position par rapport au centre. f2

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)14  Transit : la courbe de lumière C’est ici qu’intervient la modélisation de la photosphère de l’étoile pour avoir la variation de l’intensité du centre au bord et pouvoir faire les corrections nécessaires. Avec l’observation du Soleil ou des modélisations, on peut connaître comment varie l’intensité émise par la photosphère du centre au bord. Géométrie du problème : L’intensité varie en fonction de r  = cos  = –– R Appelé facteur de projection. Dans la zone circulaire en pointillé, l’intensité est la même. Observateur

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)15  Assombrissement centre-bord : observation Le Soleil

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)16  Assombrissement centre-bord : modélisation Modelisation On calcule les valeurs de I  / I 1 pour un certains nombre de valeurs de . Et l’on approxime ces points par une courbe adéquate pour avoir une fonction continue

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)17 Définitions des lois d’assombrissement centre-bord : Linéaire Quadratique 3 paramètres non linéaires 4 paramètres non linéaires   = r/R I(1) Assombrissement centre-bord : modélisation Tous ces coefficients sont tabulés et varient avec la température, la gravité et l’abondance des éléments. intensité maximale au centre

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)18  T_eff Log g [M/H] linear Quadratic 3 parameter non-linar 4 parameter non-linear (K) u a b c2 c3 c4 c1 c2 c3 c Exemple de calculs pour traiter les données les mesures faites par les satellites Kepler et Corot. Nous utiliserons un modèle solaire pour traiter les transits. Assombrissement centre-bord : modélisation

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)19  Représentation de l’étoile et de la planète Puisque au temps, la planète touche l’étoile et la quitte en t, on peut représenter l’étoile par un disque sur la courbe temporelle De rayon De centre d’abscisses en ordonnées à la hauteur de c_E = Cercle[C, R_E] Cacher l’étiquette. R_E = (t2-t1)/2 x_E = (t2+t1)/2 f1 t1 C = ( x_E, f1 ) t2

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)20  Représentation de l’étoile et de la planète Pour simplifier la représentation des intensités variables, la surface du disque va être découpée en zones circulaires d’épaisseur égale. Soit n le nombre de zones n = 7 Les positions de ces zones sont : r = Séquence[i / n, i, -n, n] * R_E sqc = Séquence[Cercle[(x_E, f1), Elément[r, i]], i, n + 1, 2n + 1] Dans chaque zone, l’intensité est supposée uniforme

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)21  Représentation de l’étoile et de la planète Afin de bien positionner les zones, on trace des droites verticales passant au milieu de chaque zone sur la droite horizontale. Positions en x des droites : sdzone = Séquence[x = Elément[rm, i] + x_E, i, 1, 2n] y = f1 Les droites nous donnent les flux correspondants des zones sur la courbe de lumière. rm = Séquence[(Elément[r, i] + Elément[r, i - 1]) / 2, i, 2, 2n + 1]

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)22  Représentation la planète La planète passant devant l’étoile sera animée par un curseur allant de -1.5 à +1.5 rayons étoiles : cpla = Cercle[(x_E + xpla * R_E, f1), R_E * Rpla] On peut tracer le cercle de la planète : xpla = Curseur[-1.5, 1.5, 0.1, 1, 100 ] Mettre couleur et semi transparence.

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)23  Contribution de chaque zone Calculons la contribution de chaque zone à l’éclairement total pour un rayon unité en prenant une surface unité. surf = Séquence[π (Elément[r, i + 1]^2 - Elément[r, i]^2), i, n+1, 2n] / (π * R_E^2) Elle est proportionnelle à la surface de chaque zone : En surface, la contribution des zones externes sont les plus importantes. surf = {0.0204, , 0.102, , , , } La valeur moyenne dépend de la distribution de l’intensité suivant le rayon.

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)24  Calcul du rayon de la planète Pour extraire le rayon de la planète, il faut connaître la loi d’assombrissement centre-bord. Pour le Soleil, on peut prendre les données d’observation. Pour une étoile dont on connaît le type spectrale, on prend une distribution théorique. HD G 0 V W. Hayek, D. Sing, F. Pont, and M. Asplund, A&A 539, A102 (2012) Par le calcul, on construit avec différents rayons, des courbes de transit théoriques. La courbe la mieux adaptée, donne un rayon possible.

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)25 Rayon simplifié On peut estimer grossièrement pour quelle valeur de  l’intensité vaut l’intensité moyenne par sa contribution au flux total à cette distance du centre. Estimation grossière : à 75% du centre. Regardons sur notre courbe de lumière quelle est l’intensité à cette position. Traçons en pointillés, deux droites verticales passant à 75% du rayon de l’étoile. D75_1 : x = x_E R_E D75_2 : x = x_E R_E Plaçons le curseur à la hauteur de l’intensité à ces positions. On trouve un rayon relatif de : Rayon relatif théorique : 1/6 = f2 

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)26 Rayon simplifié Déplacer les droite et pour encadrer un autre transit et refaire la mesure du rayon. dt2dt1 

08/12/2015Exoplanètes : simulation de passages (2)27 Fi n m’en …