Chapitre 1 le diagramme de Bode Ce diagramme représente les performance d’un système électrique, mécanique, thermique

L’analyse fréquentielle d’un quadripôle se fait en régime sinusoïdal pur, essentiellement avec le calcul complexe. 1. La fonction de transfert T (jw) La fonction de transfert T (jw) d’un quadripôle est le rapport Retenir aussi que Vs = T(jw). Ve. Elle est aussi appelée transmittance complexe, transmittance isochrone ou amplification. Elle n’a pas d’unité. Son module est le rapport des valeurs efficaces | T (jw) | = T = Si T = = 5 signifie que Vs = 5 Ve. Si T > 1 le quadripôle amplifie alors que si T < 1 le quadripôle atténue Son argument est le déphasage de la tension de sortie vs par rapport à la tension d’entrée ve. En effet, arg = arg Vs - arg Ve = js - je = j

2. Le diagramme de Bode Le diagramme de Bode est la représentation du gain GdB = 20 log | T(jw) | et de l’argument j = arg T(jw) en fonction de la fréquence f ou w = 2pf en échelle logarithmique. log est la fonction logarithme décimal a) Le gain d’un quadripôle est la valeur GdB = 20 log |T (jw)| = 20 log T. « log » est le logarithme décimal, c’est la fonction inverse de « 10x » : 100 = 1 donc log 1 = 0 ; 101 = 10 donc log 10 = 1 ; 102 = 100 donc log 102 = 2 ; log 103 = 3 ; etc. … Si T = 1 (montage suiveur) GdB = 20 log 1 = 0 dB, si T = 10, GdB = 20 log 10 = 20 dB, si T = 100, GdB = 20 log 100 = 40 dB, si T = 100 000, GdB = 20 log 105 = 100 dB, si T = 0,1, GdB = 20 log 10-1 = - 20 dB, si T = 0,01, GdB = 20 log 10-2 = -40 dB, etc. …

S’il y a amplification, GdB > 0 dB, alors que s’il y a atténuation, GdB < 0 dB. La relation inverse : GdB = 20 log T  log T =   T = 10 ^ ( ^ = à la puissance) exemple : 14 dB correspond à une amplification de 10^(14/20) = 5

b) l’échelle logarithmique :  f sur l’échelle logarithmique est placé à log f sur l’échelle linéaire  la décade est l’intervalle de fréquence entre f et 10f log 10.f = log 10 + log f = 1 + log f donc entre f et 10f il y a 1 unité de longueur (ici 5 cm).  l’octave est l’intervalle de fréquence entre f et 2f  log 2.f = log 2 + log f = 0,3 + log f donc entre f et 10f il y a un module. En musique, il y a huit degrés dans une gamme. L’octave est constituée des huit notes suivantes : do(1), ré, mi, fa, sol, la, si et do(8). La fréquence de do(8) est le double de celle de do(1). ,  Sur l’axe gradué représenté ci-dessus, il y a 3 modules.

a c) intérêt des diagrammes de Bode On utilise les propriétés mathématiques de la fonction logarithme qui transforme une multiplication en addition : log (AxB) = log A + log B. Pour les arguments des nombres complexes, c’est pareil : arg (A.B) = arg A + arg B D’où la règle pour réaliser facilement des diagrammes de Bode : la représentation du gain s’obtient en faisant la somme des représentations des gains GdB = GdB1 + GdB2 + GdB3 + … + GdBn et la représentation de la phase s’obtient en faisant la somme des représentations des phases j = j1 + j2 + j3 + … + jn.

3, Les filtres passifs du premier ordre LP1 Le filtre passe-bas du premier ordre LP1 Exemple du filtre RC : En utilisant la formule du pont diviseur de tension, on démontre que le circuit RC représenté ci-contre admet comme fonction de transfert exemple : si R = 10 kW et C = 10 nF, wo = 10 000 rad/s et fo = 1591 Hz fo est la fréquence propre du système RC

La représentation de Bode du système passe bas  Lorsque w << wo , T ( jw ) = 1 donc GdB = 20 log 1 = 0 dB. La phase vaut 0°.  Lorsque w >> wo , GdB = f(f) est une droite de pente - 20 dB / décade. La phase vaut - 90°.  Lorsque w = wo La représentation asymptotique de T ( jw ) diffère de la courbe réelle autour de w = wo. GdB = - 20 log |1 + j | = - 20 log = - 20 log = - 20 log = - 20 log= - 3 dB fo est aussi appelé fc la fréquence de coupure à -3dB. La phase pour w = wo vaut arg T(j) = - 45°

Les courbes réelles

4. Les systèmes du deuxième ordre Exemple d’un système passe-bas du deuxième ordre a) la fonction de transfert T (jw) = C’est la forme canonique d’un filtre passe-bas du deuxième ordre, LP2 en anglais (“low pass”), où m est le coefficient d’amortissement et wo est la pulsation propre . Pour le circuit RLC ci-dessus

 premier cas m > 1 C’est le régime amorti

 Deuxième cas m < 1 Si m < 0,7 on a le phénomène de résonance

5, Les autres filtres Le filtre passe-haut HP Le filtre passe-bande BP Le filtre réjecteur de bande NF (notch filter) Le filtre passe-tout (AP pour all pass) est un circuit déphaseur

6, B la bande passante à -3 dB (en anglais “ band width ”) B la bande passante à -3 dB est l’intervalle de fréquence pour lequel le gain GdB est supérieur au gain maximal Gmax diminué de 3 dB; c’est aussi l’intervalle de fréquence pour lequel l’amplification T est supérieure à l’amplification maximale Tmax divisée par racine de 2 (0,707) ( 7/10ième de l’amplification maximale Tmax) Pour le filtre passe bande :

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