Le Calcul Mental aux cycles 2 et 3 Groupe Départemental Mathématiques du Cantal année 2012-2013.

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1 Le Calcul Mental aux cycles 2 et 3 Groupe Départemental Mathématiques du Cantal année 2012-2013

2 PLAN : - échanges de pratiques - les programmes - les différents de types et procédures de calcul - les compétences développées - calcul automatisé - calcul réfléchi - la mémorisation - le calcul mental : un enseignement - deux types de séances - le déroulement d'une séance - le rôle de l'enseignant - la mise en œuvre : organisation, modalités - l'évaluation - progression/programmation - cas de la GS - des outils en ligne - bibliographie

3 Echange de pratiques : Situation 1 : ● Dans quelles situations de la vie courante,utilisez-vous le calcul mental ? Situation 2 : Pourquoi enseigner le calcul mental ? Etre performant dans tous les autres calculs à l'école et au collège Permettre d'appréhender les ordres de grandeur Faciliter la résolution de problèmes mathématiques Les fonctions du calcul mental pédagogiques sociales Faciliter les calculs dans la vie quotidienne Permettre d'appréhender les ordres de grandeur Et vos élèves ?

4 Le point de vue d'une commission de réflexion : « Le calcul mental est une façon privilégiée de lier calcul et raisonnement, en mettant en jeu les propriétés des nombres et des opérations. Il n'est bien sûr pas question de viser l'apprentissage systématique de techniques de calcul mental... il s'agit d'utiliser les caractéristiques du calcul mental pour : - susciter la réflexion sur le calcul, - mettre en évidence la diversité des façons possibles d'aborder un calcul, comparer leur coût, les connaissances qui les fondent, - susciter des formulations, des généralisations, des preuves. » Extrait de la commission Kahane (commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques CREM)

5 Situation 3 : Quels adjectifs qualificatifs sont associés au terme « calcul » ? Calcul mental Calcul posé Calcul réfléchi Calcul automatisé Calcul instrumenté Obtenir par une démarche personnelle le résultat d'un calcul, en le décomposant en calculs plus accessibles. Viser la mémorisation de résultats directement disponibles (tables) ou l'automatisation de procédures (aller à la dizaine supérieure). Faire appel à un instrument qui génère un résultat (calculatrice, tableur...). Utiliser d'une technique opératoire. Ne pas formuler à l'écrit un calcul, même si le résultat peut être écrit, voire l'énoncé du calcul.

6 Que disent les programmes ? - En 2002 : On parlait de calcul automatisé ou réfléchi, il s'agissait d'un enseignement tourné vers des procédures. - En 2008 : Il s'agit davantage de types de calcul : Au Cycle 2 : « La connaissance des nombres et le calcul mental constituent des objectifs prioritaires du CP et du CE1.» « L'entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. » Palier 1 : compétence 3 du socle commun - calculer : addition, soustraction, multiplication. - restituer et utiliser les tables d'addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5. - calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples.

7 Au Cycle 3 : « L'élève renforce ses compétences en calcul mental, il acquiert de nouveaux automatismes... Cette acquisition est toujours associée à une intelligence de leur signification. » « Le calcul : - mental : tables d'addition et de multiplication. L'entraînement quotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés. - posé : la maîtrise d'une technique opératoire pour chacune des quatre opérations est indispensable. - à la calculatrice : la calculatrice fait l'objet d'une utilisation raisonnée en fonction de la complexité des calculs... » Palier 2 : compétence 3 du socle commun - restituer les tables d'addition et de multiplication de 2 à 9. - utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux. - calculer mentalement en utilisant les quatre opérations. - estimer l'ordre de grandeur d'un résultat. - utiliser une calculatrice.

8 Les différents types et procédures de calcul :

9 Calcul automatiséCalcul réfléchi Mémoriser, automatiser les tables, doubles moitiés, compléments... Résultat exact : Mettre en oeuvre des procédures et développer des stratégies de raisonnement : rendre un calcul plus simple en s'appuyant sur ce qui est connu. Résultat approché : Ordre de grandeur Contrôle de résultat. Les compétences développées : Ecrits intermédiaires possibles Aucun écrit intermédiaire

10 Calcul automatisé : Qu'est-ce que connaître les tables ? Rappel : « La récitation des tables dans l'ordre croissant peut constituer une gêne pour une mémorisation efficace. » document d'accompagnement des programmes Connaître ses tables c'est : - dire instantanément n'importe quel résultat - être capable d'exploiter rapidement cette connaissance pour donner un résultat connexe : Expl : répondre à « 7 et 6 » c'est : - donner rapidement « 13 » - savoir ce qui manque à 6 pour faire 13 : 6 +... = 13 ou 13 - 6 = … - savoir comment aller de 7 à 13 : 7 + … = 13 ou 13 – 7 =...

11 Donc connaître ses tables d'addition c'est : - donner du sens - utiliser des points d'appui Les doubles Les amis pour faire 10 La numération Les « presque » doubles Le passage par 10 Le surcomptage avec utilisation de la commutativité (+1, +2, +3)

12 L'aisance en calcul réfléchi : Cela dépend de : - la qualité de mémorisation de certains résultats, - la capacité à jouer avec les nombres, - la capacité à adapter les procédures en fonction des nombres donnés, Affichage au tableau Produits demandés en calcul réfléchi - la nature des situations proposées aux élèves pour apprendre à calculer. Expl 1 :

13 Expl 2 :

14 Expl 3 : Calculer « 42 - 28 » : - ôter 20 puis 8 (décomposition), - ôter 30 puis ajouter 2 (pivotement), - aller de 28 à 42 (jalonnement), - calculer 44 – 30 (décalage). - calculer séparément 25 x 10 et 25 x 2 puis ajouter les deux résultats, - décomposer 12 en 4 x 3 : calculer 25 x 4 et 100 x 3, - voir que 25 est le quart de 100 : 100 x 12 : 4 Expl 4 : Calculer « 25 x 12 » :

15 Conditions de mémorisation : - Compréhension de l'opération en jeu : Représentations mentales du calcul à effectuer. - Prise de conscience de la nécessité d'un répertoire : Recenser les résultats connus, Compléter et organiser le répertoire. - Capacité à élaborer les résultats connus pour en construire d'autres : Avoir des points d'appui : étape décisive dans la mémorisation. - Entraînement des résultats mémorisés : Diversité des représentations mises en jeu, Disponibilité des résultats. Même s'il est indispensable, l'entraînement n'est pas le seul ressort de la mémorisation.

16 Le calcul mental : un enseignement Rappels : - Dès le CP, il doit faire l'objet d'une pratique quotidienne d'au moins 15 minutes. - Alterner des moments d'entraînement et des moments qui permettent de concevoir des méthodes et comparer leur efficacité (séance de 30 minutes, 1 fois/semaine). Deux types de séances : Découverte :Renforcement : - Résoudre des calculs de diverses manières. - Echanger sur les procédures. - Choisir les procédures les plus efficaces. - Optimiser les procédures efficaces en les manipulant systématiquement. - Varier les calculs : nombres purs/petits problèmes numériques.

17 - La phase d'échauffement : De courte durée et ne présentant aucune difficulté, elle doit permettre à tous les élèves de participer. Expl : furet Le déroulement de la séance : D'après les travaux de F. Boule et D. Butlen - La phase d'entraînement : Avec des calculs simples, en jouant sur les différentes variables en jeu. Elle fait appel à des procédures connues, rappelées collectivement en correction. Expl : compléments à 10 / Produit par 10. - La phase de renforcement : Enchaînement de calculs plus longs, plus complexes ou construction de procédures nouvelles, adaptées aux nouveaux calculs proposés. Expl : compléments à 100 / Produit par 12.

18 Le rôle de l'enseignant : Avant : - Il choisit les objectifs spécifiques. - Il définit les situations d'apprentissage (des automatismes aux exercices réfléchis puis aux petits problèmes). Pendant : - Il annonce en début de séance les différentes phases et leur but. - Il veille à la gestion du temps. - Il recentre les élèves. - Il clarifie un point particulier. - Il fournit des compléments d'information. - Il aide aux comparaisons et favorise les échanges entre pairs. - Il reformule, note l'essentiel au tableau, sur une affiche. - Il effectue une synthèse. Après : - Il réajuste les séances suivantes. - Il prépare des évaluations différenciées.

19 La mise en oeuvre : Différentes organisations possibles : - collectif groupe classe, - collectif ½ groupe classe, - petits groupes, - binômes, - individuel. Cas particulier de la classe multi-niveaux : - Effectuer des groupes de besoin pour travailler spécifiquement des stratégies en adaptant l’ordre de grandeur des nombres. - Multiplier les modalités et les organisations (TICE, enregistrement audio, jeux fabriqués, activités dirigées par l'enseignant). - Veiller à garantir une fréquence et une équité pour chaque niveau.

20 Différentes modalités possibles : - Interrogations de l'enseignant à la volée. - Oral sans écrit : jeu du furet. - Réponse à pointer sur l'ardoise (oui/non ou choix entre plusieurs propositions ; expl : comparaison entre 2 écritures additives : 21+15 et 20+19) - Procédé de Lamartinière : énoncé oral de l'enseignant, réponse à écrire sur l'ardoise, carte à lever. - Carte montrée par l'enseignant, réponse à écrire sur l'ardoise. - Diaporama - Jeux de cartes : dominos, mémory, batailles, le complète à..., nombres intrus, … Vidéo Cycle 2 : greli- grelo http://www.uvp5.univ- paris5.fr/TFM/Videos/VideoRech.asp?VIDEO=CP-4-2http://www.uvp5.univ- paris5.fr/TFM/Videos/VideoRech.asp?VIDEO=CP-4-2

21 Evaluer le calcul mental : A quel moment évaluez-vous le calcul mental ? Après une séance, plusieurs séances de calcul mental,...? Dans un autre contexte : résolution de problème, prise en compte des calculs : différenciation technique/résultats Comment l'évaluez-vous ? Evaluez-vous le calcul mental ? Sous quelles formes ? Papier ardoise, jeux, grille...

22 Cas particulier de GS Rappels : extraits du BO n°3 – 19 juin 2008 - « La GS concourt au CP mais ne l'anticipe pas. » - « Dès le début les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens. » - « A la fin de la GS, les problèmes constituent une première entrée dans l'univers du calcul mais c'est le CP qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe « égal ») et les techniques. » Animations à consulter sur le site d'Aurillac 2 : - Approche des quantités et des nombres. - Résoudre des problèmes mathématiques à l'école maternelle. http://www3.ac-clermont.fr/ien-aurillac2/spip.php?rubrique47

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24 Construire une programmation Il est très important que la pratique du calcul mental soit liée aux autres apprentissages mathématiques par anticipation, en accompagnement et en consolidation. Exemple : lorsqu’on étudie « la relation centimes et euro », il est impossible d’éviter de revenir au complément à 100. Autre exemple : la distributivité dans la technique opératoire de la multiplication doit être travaillée en calcul mental. C’est pourquoi, afin de conserver la cohérence avec les autres notions abordées, on peut : - soit s’appuyer sur la progression du manuel scolaire, - soit se construire une progression personnelle. Attention à ne pas : - oublier de revenir régulièrement sur les fondamentaux à automatiser! - vider de sa substance la séance quotidienne en la résumant à un simple remplissage de bulles.

25 - Repères pour l'organisation de la progressivité des apprentissages en Calcul. docdoc - Progression DGESCO. docdoc - Travaux du groupe départemental du Maine et Loire.Maine et Loire - Programmations Circonscription Aubenas Cycle 2 – Cycle 3Aubenas Progressions et évaluations élèves par niveau de classe : CP- CE1 – CE2 – CM1 – CM2. - Ecole de l'abbayeCP CE1 : activités préparatoires – Calcul mental calcul réfléchi.l'abbaye Des exemples de progressions et de programmations

26 Des outils en ligne Une sélection de 3 sites téléchargeables pour une utilisation en classe ou en ligne. - Go maths : http://www.gomaths.ch/http://www.gomaths.ch/

27 - Calcul@tice : http://calculatice.ac-lille.fr/calculatice/http://calculatice.ac-lille.fr/calculatice/

28 - le matou matheux : http://matoumatheux.ac-rennes.fr/accueilniveaux/accueilFrance.htm Tableau comparatif des 3 sites. faire le lien

29 Bibliographie : - Le calcul mental à l'école élémentaire - Sylvie Gamo, Danièle Djament - Hachette Education - Fort en calcul mental ! Connaissances et stratégies pour réussir – Christophe Bolsius - SCEREN – CRDP Lorraine

30 Merci d'être venus ! Bonnes vacances et bonnes fêtes à tous.