Systèmes d’équations du premier degré à deux variables

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1 Systèmes d’équations du premier degré à deux variables
y1 = a1x + b1 y2 = a2x + b2

2 Un système d’équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations.
Nombre de planches 13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Si toutes les relations formant le système sont linéaires, le système est également qualifié de linéaire.

3 Résoudre un système d'équations, c’est déterminer les coordonnées du point pour lequel les deux équations sont égales. Nombre de planches 13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Couple solution: ( 3 , 11 ) Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système.

4 Exemple: Deux amis travaillent dans deux entreprises de fabrication de planches à neige. Tous les deux préparent la finition des planches. Le premier reçoit quotidiennement un salaire de base de 2 $ plus 3$ par planche; l'autre reçoit quotidiennement un salaire de base de 5$ plus 2$ par planche. À partir de combien de planches, les deux auront-ils gagné le même montant ? 1ère étape: Identifier les variables. Il est donc essentiel de bien lire la situation. x : le nombre de planches y : le montant gagné 2e étape: Établir le système (c’est-à-dire, trouver les équations). y1 = 3x + 2 le montant gagné = 3,00$ par planche + 2,00$ (salaire de base) et y2 = 2x + 5 le montant gagné = 2,00$ par planche + 5,00$ (salaire de base) 3e étape: Résoudre le système pour lesquelles les équations sont égales. (c’est-à-dire chercher les valeurs de x et de y

5 3e étape: Résoudre le système Pour résoudre un système, on peut utiliser plusieurs méthodes: Par une table de valeurs: 1 2 3 4 5 8 11 14 7 9 13 x y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 On peut remarquer que lorsque les deux amis auront fini 3 planches, ils auront le même salaire. 4e étape: (c’est-à-dire, vérifier si les calculs donnent la même réponse pour les deux équations. Valider la solution y1 = 3 x + 2 y2 = 2 x + 5 11 = 3 X 3 + 2 11 = 2 X 3 + 5 la valeur de la variable y est la même dans les deux équations Pour une même valeur de la variable x ( x = 3 ), ( y1 = y2 = 11 ) . Le couple solution ou l'ensemble-solution de cette situation est donc ( 3 , 11 ).

6 3e étape: Résoudre le système Par une table de valeurs: 1 2 3 4 5 8 11 14 7 9 13 x y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Remarque: La table de valeurs donne parfois le couple-solution mais ce n’est pas toujours le cas.

7 3e étape: Résoudre le système Par un graphique: Nombre de planches 13
1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Couple solution: ( 3 , 11 ) Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système. La méthode graphique est intéressante car elle présente la solution d'un seul coup d'œil; cependant, elle est rarement précise.

8 Par résolution algébrique:
y2 = 2x + 5 y1 = 3x + 2 Nombre de planches 13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 à ce point précis, les deux équations sont égales; y1 = y2 en utilisant cette égalité , on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.

9 La méthode de comparaison
Cette méthode consiste à comparer les deux équations en utilisant le raisonnement suivant: Pour calculer y1 , on doit utiliser y1 = 3x + 2 équation avec 2 variables Pour calculer y2 , on doit utiliser y2 = 2x + 5 équation avec 2 variables Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2 alors on peut poser 3x + 2 = 2x + 5 On compare ainsi les deux équations. On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable. 3x + 2 = 2x + 5 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.

10 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.
-2 = 2x + 5 3x = 2x -2x x = 3 Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans n’importe quelle équation. y1 = 3 x + 2 y2 = 2 x + 5 11 = 2 X 3 + 5 11 = 3 X 3 + 2 Couple solution : ( 3 , 11 ) Remarque: La méthode algébrique est la méthode la plus précise.

11 Résous le système suivant :
y = 3x + 15 y = 5x + 7 1) Déterminer x : 2) Déterminer y : 5x + 7 = 3x + 15 Soit 5x = 3x - 3x y = 5x + 7 y = 5 X = 27 2x + 7 = 15 2x = 15 - 7 Soit 2x = 8 y = 3x + 15 2 y = 3 X = 27 x = 4 Couple solution : ( 4 , 27 )

12 Résous le système suivant:
2x + y – 5 = 0 y = 2x + 6 Il faut, en premier, ramener cette équation égale à y. Attention : 2x + y – 5 = 0 2x y – 5 = 0 - 2x y – 5 = - 2x y – = - 2x + 5 y = - 2x + 5

13 Résous le système suivant :
y = 2x + 6 1) Déterminer x : 2) Déterminer y : 2x + 6 = - 2x + 5 y = -2x + 5 Soit 2x = -2x + 2x y = 2x + 6 y = 2 X – 0, = 5,5 4x + 6 = 5 4x = 5 - 6 Soit 4x = -1 y = -2x + 5 4 y = -2 X – 0, = 5,5 x = -1 4 x = - 0,25 Couple solution : ( -0,25 ; 5,5 )

14 Problème Maxime a planté un arbre de 135 cm de hauteur près de sa maison. Cet arbre croît au rythme de 15 cm par année. Anne-Lyne, sa sœur, a planté un arbre d’une autre espèce qui mesure 75 cm de hauteur mais qui croît de 20 cm par année. A) Après combien d’années, les arbres seront-ils de la même hauteur ? B) Quel sera la hauteur de ces arbres ? 1ère étape: Identifier les variables. x : le nombre d’années y : la hauteur de l’arbre 2e étape: Établir le système: y1 = 15x + 135 et y2 = 20x + 75 3e étape: Résoudre le système par la méthode de comparaison. Sachant qu’un point de rencontre y1 = y2 alors 15x = 20x + 75

15 15x = 20x + 75 -75 15x = 20x -15x 60 = 5x 5 12 12 = x 4e étape: Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans n’importe quelle équation. y1 = 15x + 135 315 = 15 X 5e étape: Valider la solution en vérifiant avec les deux équations. y1 = 15x + 135 y2 = 20x + 75 315 = 15 X 315 = 20 X Ensemble-solution: ( 12 , 315 )

16 Ensemble-solution: ( 12 , 315 ) A) Après combien d’années, les arbres seront-ils de la même hauteur ? Réponse: 12 ans B) Quel sera la hauteur de ces arbres ? Réponse: 315 cm

17 Certains systèmes n’ont pas de couple solution.
Remarque: Certains systèmes n’ont pas de couple solution. Exemple 13 1 2 3 4 5 12 11 10 9 8 7 6 Dans le système suivant : y2 = 2x + 5 y = 2x + 3 y2 = 2x + 3 y = 2x + 5 Les deux équations ont le même taux de variation et des ordonnées à l’origine différentes. Les droites sont donc parallèles. Elles ne se rencontreront jamais. Ensemble-solution: aucun