II Fonctions homographiques :

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1 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : ax + b Elles sont définies sur … par f(x) = cx + d

2 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d car on ne peut diviser par 0, donc cx + d ≠ cx ≠ - d x ≠ - d/c

3 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d car on ne peut diviser par 0, donc cx + d ≠ cx ≠ - d x ≠ - d/c Toujours vrai ?

4 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d car on ne peut diviser par 0, donc cx + d ≠ cx ≠ - d x ≠ - d/c si c ≠ 0

5 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d car on ne peut diviser par 0, donc cx + d ≠ cx ≠ - d x ≠ - d/c si c ≠ 0 Si c = 0, f est une fonction de quel type ?

6 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d car on ne peut diviser par 0, donc cx + d ≠ cx ≠ - d x ≠ - d/c si c ≠ 0 Si c = 0, f est une fonction de quel type ? ax + b ax + b a b f(x) = = = x f est affine ! 0x + d d d d

7 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d avec c ≠ 0 et ad – bc ≠ 0

8 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d avec c ≠ 0 et ad – bc ≠ 0 Si ad – bc = 0, f est une fonction de quel type ? b = …

9 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d avec c ≠ 0 et ad – bc ≠ 0 Si ad – bc = 0, f est une fonction de quel type ? b = ad/c

10 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d avec c ≠ 0 et ad – bc ≠ 0 Si ad – bc = 0, f est une fonction de quel type ? b = ad/c ax + (ad/c) a ( … ) f(x) = = = cx + d cx + d

11 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d avec c ≠ 0 et ad – bc ≠ 0 Si ad – bc = 0, f est une fonction de quel type ? b = ad/c ax + (ad/c) a ( x + (d/c) ) f(x) = = = cx + d cx + d

12 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d avec c ≠ 0 et ad – bc ≠ 0 Si ad – bc = 0, f est une fonction de quel type ? b = ad/c ax + (ad/c) a ( x + (d/c) ) (a/c) ( … ) f(x) = = = cx + d cx + d cx + d

13 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d avec c ≠ 0 et ad – bc ≠ 0 Si ad – bc = 0, f est une fonction de quel type ? b = ad/c ax + (ad/c) a ( x + (d/c) ) (a/c) ( cx + d ) f(x) = = = cx + d cx + d cx + d

14 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d avec c ≠ 0 et ad – bc ≠ 0 Si ad – bc = 0, f est une fonction de quel type ? b = ad/c ax + (ad/c) a ( x + (d/c) ) (a/c) ( cx + d ) f(x) = = = = … cx + d cx + d cx + d

15 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d avec c ≠ 0 et ad – bc ≠ 0 Si ad – bc = 0, f est une fonction de quel type ? b = ad/c ax + (ad/c) a ( x + (d/c) ) (a/c) ( cx + d ) f(x) = = = = a/c cx + d cx + d cx + d

16 II Fonctions homographiques :
1°) Définition : d ax + b Elles sont définies sur R privé de par f(x) = c cx + d avec c ≠ 0 et ad – bc ≠ 0 Si ad – bc = 0, f est une fonction de quel type ? b = ad/c ax + (ad/c) (a/c) ( cx + d ) f(x) = = = a/c f est constante et affine ! cx + d cx + d

17 II Fonctions homographiques :
2°) Courbes représentatives : 1°) Avec votre calculatrice graphique, tracez les courbes des fonctions suivantes : 2x x – x x + 8 x – x x x + 8 2°) Que remarquez-vous ? Ces caractéristiques dépendent de quels paramètres ?

18 2x x – x x x – x x x + 8 on obtient :

19 2x x – x x x – x x x + 8 on obtient :

20 2x x – x x x – x x x + 8 on obtient :

21 2x x – x x x – x x x + 8 on obtient :

22 2x x – x x x – x x x + 8 on obtient :

23 on obtient : On remarque que toutes les courbes …
2x x – x x x – x x x + 8 on obtient : On remarque que toutes les courbes …

24 2x x – x x x – x x x + 8 on obtient : On remarque que toutes les courbes sont des hyperboles, comme la fonction 1/x.

25 2x x – x x x – x x x + 8 on obtient : On remarque que toutes les courbes sont des hyperboles, comme la fonction 1/x. Certaines ont les mêmes sens de variation décroissants, d’autres sont inversés ;

26 2x x – x x x – x x x + 8 on obtient : On remarque que toutes les courbes sont des hyperboles, comme la fonction 1/x. Certaines ont les mêmes sens de variation décroissants, d’autres sont inversés ; Les axes de la fonction inverse ont été translatés.

27 2x x – x x x – x x x + 8 on obtient : On remarque que toutes les courbes sont des hyperboles, comme la fonction 1/x. Certaines ont les mêmes sens de variation décroissants, d’autres sont inversés ; Les axes de la fonction inverses ont été translatés.

28 2x + 5 5x – 1 -3x + 7 x + 8 x – 3 - x + 2 3x + 6 - 2x + 8 on obtient :
On remarque que toutes les courbes sont des hyperboles, comme la fonction 1/x. Certaines ont les mêmes sens de variation décroissants, d’autres sont inversés ; Les axes de la fonction inverses ont été translatés. Les verticaux sont d’équation …

29 2x + 5 5x – 1 -3x + 7 x + 8 x – 3 - x + 2 3x + 6 - 2x + 8 on obtient :
On remarque que toutes les courbes sont des hyperboles, comme la fonction 1/x. Certaines ont les mêmes sens de variation décroissants, d’autres sont inversés ; Les axes de la fonction inverses ont été translatés. Les verticaux sont d’équation x = - d/c

30 Les horizontaux sont d’équations …
2x x – x x x – x x x + 8 on obtient : On remarque que toutes les courbes sont des hyperboles, comme la fonction 1/x. Certaines ont les mêmes sens de variation décroissants, d’autres sont inversés ; Les axes de la fonction inverses ont été translatés. Les verticaux sont d’équation x = - d/c Les horizontaux sont d’équations …

31 Les horizontaux sont d’équations y = a/c
2x x – x x x – x x x + 8 on obtient : On remarque que toutes les courbes sont des hyperboles, comme la fonction 1/x. Certaines ont les mêmes sens de variation décroissants, d’autres sont inversés ; Les axes de la fonction inverses ont été translatés. Les verticaux sont d’équation x = - d/c Les horizontaux sont d’équations y = a/c

32 Démonstration : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b … y = = (1/c) cx + d cx + d

33 Démonstration : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b acx + bc acx + ad + bc + … y = = (1/c) = (1/c) cx + d cx + d cx + d

34 Démonstration : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b acx + bc acx + ad + bc – ad y = = (1/c) = (1/c) cx + d cx + d cx + d a( … ) + bc – ad = (1/c) = cx + d

35 Démonstration : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b acx + bc acx + ad + bc – ad y = = (1/c) = (1/c) cx + d cx + d cx + d a( cx + d ) + bc – ad bc – ad = (1/c) = … + cx + d c ( cx + d )

36 Démonstration : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b acx + bc acx + ad + bc – ad y = = (1/c) = (1/c) cx + d cx + d cx + d a( cx + d ) + bc – ad bc – ad bc – ad = (1/c) = (a/c) + = (a/c) + cx + d cx + d c ( … )

37 Démonstration : Changement de variables : X = … et Y = …
La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b acx + bc acx + ad + bc – ad y = = (1/c) = (1/c) cx + d cx + d cx + d a( cx + d ) + bc – ad bc – ad bc – ad = (1/c) = (a/c) = (a/c) + cx + d cx + d c ( x + (d/c) ) Changement de variables : X = … et Y = …

38 Démonstration : Changement de variables :
La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b acx + bc acx + ad + bc – ad y = = (1/c) = (1/c) cx + d cx + d cx + d a( cx + d ) + bc – ad bc – ad bc – ad = (1/c) = (a/c) = (a/c) + cx + d cx + d c ( x + (d/c) ) Changement de variables : X = x + (d/c) et Y = y – (a/c) et k = (bc-ad)/c y = f(x) devient y – (a/c) = … / ( x + (d/c) )

39 Démonstration : Changement de variables :
La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b acx + bc acx + ad + bc – ad y = = (1/c) = (1/c) cx + d cx + d cx + d a( cx + d ) + bc – ad bc – ad bc – ad = (1/c) = (a/c) = (a/c) + cx + d cx + d c ( x + (d/c) ) Changement de variables : X = x + (d/c) et Y = y – (a/c) et k = (bc-ad)/c y = f(x) devient y – (a/c) = ((bc-ad)/c)/( x + (d/c) ) donc … = k …

40 Démonstration : Changement de variables :
La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : ax + b acx + bc acx + ad + bc – ad y = = (1/c) = (1/c) cx + d cx + d cx + d a( cx + d ) + bc – ad bc – ad bc – ad = (1/c) = (a/c) = (a/c) + cx + d cx + d c ( x + (d/c) ) Changement de variables : X = x + (d/c) et Y = y – (a/c) et k = (bc-ad)/c y = f(x) devient y – (a/c) = ((bc-ad)/c)/( x + (d/c) ) donc Y = k (1 / X)

41 Conclusion : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : Changement de variables : X = x + (d/c) et Y = y – (a/c) et k = (bc-ad)/c y = f(x) devient y – (a/c) = ((bc-ad)/c)/( x + (d/c) ) donc Y = k (1 / X) Si k = 1 alors je retombe sur une fonction du type Y = 1/X donc la fonction inverse. Si k > 1 la courbe est déformée …

42 Conclusion : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : Changement de variables : X = x + (d/c) et Y = y – (a/c) et k = (bc-ad)/c y = f(x) devient y – (a/c) = ((bc-ad)/c)/( x + (d/c) ) donc Y = k (1 / X) Si k = 1 alors je retombe sur une fonction du type Y = 1/X donc la fonction inverse. Si k > 1 la courbe est déformée vers l’extérieur

43 Conclusion : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : Changement de variables : X = x + (d/c) et Y = y – (a/c) et k = (bc-ad)/c y = f(x) devient y – (a/c) = ((bc-ad)/c)/( x + (d/c) ) donc Y = k (1 / X) Si k = 1 alors je retombe sur une fonction du type Y = 1/X donc la fonction inverse. Si k > 1 la courbe est déformée vers l’extérieur Si 0 < k < 1 la courbe est déformée …

44 Conclusion : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : Changement de variables : X = x + (d/c) et Y = y – (a/c) et k = (bc-ad)/c y = f(x) devient y – (a/c) = ((bc-ad)/c)/( x + (d/c) ) donc Y = k (1 / X) Si k = 1 alors je retombe sur une fonction du type Y = 1/X donc la fonction inverse. Si k > 1 la courbe est déformée vers l’extérieur Si 0 < k < 1 la courbe est déformée vers l’intérieur

45 Conclusion : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : Changement de variables : X = x + (d/c) et Y = y – (a/c) et k = (bc-ad)/c y = f(x) devient y – (a/c) = ((bc-ad)/c)/( x + (d/c) ) donc Y = k (1 / X) Si k = 1 alors je retombe sur une fonction du type Y = 1/X donc la fonction inverse. Si k > 1 la courbe est déformée vers l’extérieur Si 0 < k < 1 la courbe est déformée vers l’intérieur Si k < 0 la courbe est …

46 Conclusion : La courbe de (ax+b)/(cx+d) est une hyperbole comme celle de 1/x : Changement de variables : X = x + (d/c) et Y = y – (a/c) et k = (bc-ad)/c y = f(x) devient y – (a/c) = ((bc-ad)/c)/( x + (d/c) ) donc Y = k (1 / X) Si k = 1 alors je retombe sur une fonction du type Y = 1/X donc la fonction inverse. Si k > 1 la courbe est déformée vers l’extérieur Si 0 < k < 1 la courbe est déformée vers l’intérieur Si k < 0 la courbe est inversée

47 y = (ax+b)/(cx+d) et Y = k(1/X) avec Y = y – (a/c) et X = x + (d/c)
exemple pour X = x + 2 et Y = y - 3 Lorsque x = 0, on obtient X = 2 Donc le 0 des X est avant le 2, 2 X donc l’axe Y est à gauche de l’axe y x L’axe y a été translaté par le vecteur – 2 i Lorsque y = 0 on obtient Y = - 3 Donc le 0 des Y se trouve au-dessus de l’axe x. L’axe x a été translaté par le vecteur + 3 j X = x + (d/c) donne une translation de l’axe y de vecteur (– d/c) i Y = y – (a/c) donne une translation de l’axe x de vecteur (+ a/c) j

48 Autre méthode de détermination des axes X et Y : y = (ax+b)/(cx+d)
Lorsque x se rapproche de –d/c, cx + d se rapproche de 0, donc 1/(cx+d) se rapproche de + ∞ ( si cx+d se rapprochait de 0 par les positifs ) ou de - ∞ ( si cx+d se rapprochait de 0 par les négatifs ). Donc cela correspond à des points de ( x ; y ) qui sont tout en haut ou tout en bas. ( x ; y ) se rapproche de ( - d/c ; +/- ∞ ). Lorsque x se rapproche de ∞, ax + b ≈ ax a/c et cx + d ≈ cx donc (ax+b)/(cx+d) ≈ (ax)/(cx) = a/c les points ( x ; y ) se rapprochent de (+/- ∞ ; a/c ) -d/c Ces notions de « rapprochement » sont étudiées en 1ère et s’appellent « Limites ».

49 Remarque : Si l’on connait le nouvel axe Y grâce à x = - d/c, le nouvel axe X grâce à y = a/c, quel information très simple me permet d’en déduire les sens de variation ? fct avec 2 croissances ? avec 2 décroissances ?

50 Remarque : Si l’on connait le nouvel axe Y grâce à x = - d/c, le nouvel axe X grâce à y = a/c, quel information très simple me permet d’en déduire les sens de variation ? fct avec 2 croissances ? avec 2 décroissances ? c’est f(0) !

51 Remarque : Si l’on connait le nouvel axe Y grâce à x = - d/c, le nouvel axe X grâce à y = a/c, quel information très simple me permet d’en déduire les sens de variation ? fct avec 2 croissances ? avec 2 décroissances ? c’est f(0) !

52 Remarque : Si l’on connait le nouvel axe Y grâce à x = - d/c, le nouvel axe X grâce à y = a/c, quel information très simple me permet d’en déduire les sens de variation ? fct avec 2 croissances ? avec 2 décroissances ? c’est f(0) ! et le critère est :

53 Remarque : Si l’on connait le nouvel axe Y grâce à x = - d/c, le nouvel axe X grâce à y = a/c, quel information très simple me permet d’en déduire les sens de variation ? fct avec 2 croissances ? avec 2 décroissances ? c’est f(0) ! et le critère est : f(0) > a/c ou f(0) < a/c ?

54 Remarque : Si l’on connait le nouvel axe Y grâce à x = - d/c, le nouvel axe X grâce à y = a/c, quel information très simple me permet d’en déduire les sens de variation ? fct avec 2 croissances ? avec 2 décroissances ? c’est f(0) ! et le critère est : f(0) > a/c ou f(0) < a/c ? avec 0 < – d/c ou 0 > – d/c ?

55 3°) Sens de variations : Selon f(0) par rapport à a/c et 0 par rapport à – d/c x - ∞ d/c ∞ f(x)

56 3°) Sens de variations : Selon f(0) par rapport à a/c et 0 par rapport à – d/c x - ∞ d/c ∞ f(x) x - ∞ d/c ∞ f(x)

57 Résumé : Une fonction homographique est du type (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et bc – ad ≠ 0 Elle est définie sur R privé de – d/c Sa courbe est une hyperbole. Ses axes sont d’équations x = - d/c et y = a/c … me permet d’en déduire les 2 sens de variation.

58 Résumé : Une fonction homographique est du type (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et bc – ad ≠ 0 Elle est définie sur R privé de – d/c Sa courbe est une hyperbole. Ses axes sont d’équations x = - d/c et y = a/c f(0) me permet d’en déduire les 2 sens de variation.