1°) Un nombre y est-il associé à 3, et si oui lequel ?

Présentation au sujet: "1°) Un nombre y est-il associé à 3, et si oui lequel ?"— Transcription de la présentation:

1 Exercice 5 : Les réels x et y de R sont liés par la relation x² + y² = 25.
1°) Un nombre y est-il associé à 3, et si oui lequel ? 2°) Un nombre y est-il associé à 4, et si oui lequel ? 3°) Un nombre y est-il associé à 5, et si oui lequel ? 4°) Un nombre y est-il associé à 6, et si oui lequel ? 5°) x → y est-elle une fonction ?

2 Exercice 5 : Les réels x et y de R sont liés par la relation x² + y² = 25.
1°) Un nombre y est-il associé à 3, et si oui lequel ? 3 → ? 2°) Un nombre y est-il associé à 4, et si oui lequel ? 3°) Un nombre y est-il associé à 5, et si oui lequel ? 4°) Un nombre y est-il associé à 6, et si oui lequel ? 5°) x → y est-elle une fonction ?

3 Exercice 5 : Les réels x et y de R sont liés par la relation x² + y² = 25.
1°) Un nombre y est-il associé à 3, et si oui lequel ? Si ce nombre existe, 3² + y² = 25 donc y² = 25 – 3² = 16 donc y = 4 ou - 4 Réponse, oui, 4 et – 4 sont associés à → 4 et - 4

4 Exercice 5 : Les réels x et y de R sont liés par la relation x² + y² = 25.
1°) Un nombre y est-il associé à 3, et si oui lequel ? Si ce nombre existe, 3² + y² = 25 donc y² = 25 – 3² = 16 donc y = 4 ou - 4 Réponse, oui, 4 et – 4 sont associés à → 4 et - 4 2°) idem pour 4 4² + y² = 25 donne y² = 25 – 4² = 9 donc y = 3 ou – → 3 et - 3

5 Exercice 5 : Les réels x et y de R sont liés par la relation x² + y² = 25.
1°) Un nombre y est-il associé à 3, et si oui lequel ? Si ce nombre existe, 3² + y² = 25 donc y² = 25 – 3² = 16 donc y = 4 ou - 4 Réponse, oui, 4 et – 4 sont associés à → 4 et - 4 2°) idem pour 4 4² + y² = 25 donne y² = 25 – 4² = 9 donc y = 3 ou – → 3 et - 3 3°) idem pour 5 5² + y² = 25 donne y² = 25 – 5² = 0 donc y = → 0

6 Exercice 5 : Les réels x et y de R sont liés par la relation x² + y² = 25.
1°) Un nombre y est-il associé à 3, et si oui lequel ? Si ce nombre existe, 3² + y² = 25 donc y² = 25 – 3² = 16 donc y = 4 ou - 4 Réponse, oui, 4 et – 4 sont associés à → 4 et - 4 2°) idem pour 4 4² + y² = 25 donne y² = 25 – 4² = 9 donc y = 3 ou – oui → 3 et - 3 3°) idem pour 5 5² + y² = 25 donne y² = 25 – 5² = 0 donc y = oui → 0 4°) idem pour 6 6² + y² = 25 donne y² = 25 – 6² = - 11 qui est impossible car un carré est toujours positif non 6 → aucun nombre

7 Exercice 5 : Les réels x et y de R sont liés par la relation x² + y² = 25.
5°) x → y est-elle une fonction ? 3 → 4 et - 4 4 → 3 et - 3 5 → 0 6 → aucun nombre Non, car il faudrait que chaque antécédent x ait une unique image y ; exemples : 5 est bien associé à une unique image, mais 3 et 4 ont deux images, et 6 aucune.

8 Exercice 6 : Sont-ce des fonctions ?
1°) on associe à chaque nombre de 2 chiffres la somme de ses 2 chiffres. 2°) on associe à chaque nombre entier A entre 1 et 9 le nombre entier B à 2 chiffres dont le produit des 2 chiffres est le nombre A. 3°) on associe au prix du timbre le périmètre en cm des lettres. 4°) on associe à chaque nombre entier de moins de 12 chiffres le nombre de chiffres. 5°) on associe au nombre de côtés de tout polygone régulier le rapport entre le périmètre et la longueur du côté.

9 Exercice 6 : Sont-ce des fonctions ?
1°) on associe à chaque nombre de 2 chiffres la somme de ses 2 chiffres. Exemples : 47 est associé à = est associé à = 5 32 → 5 41 → 5 14 → 5 50 → 5 Oui, c’est une fonction, car tout nombre s’écrivant AB est associé à l’unique nombre A + B

10 Exercice 6 : Sont-ce des fonctions ?
2°) on associe à chaque nombre entier A entre 1 et 9 le nombre entier B à 2 chiffres dont le produit des 2 chiffres est le nombre A. Exemples : 1 est associé à 11 car 1 × 1 = 1 2 est associé à 21 car 2 × 1 = 2 et à 12 car 1 × 2 = 2 4 est associé à 22 ; 14 et est associé à 18 ; 24 ; 42 et → 16 ; 23 ; 32 et 61. Non, ce n’est pas une fonction, car tout nombre A n’est pas associé à un unique nombre B ( par exemple 2 est associé à 12 et 21 ).

11 Exercice 6 : Sont-ce des fonctions ?
3°) on associe au prix du timbre le périmètre en cm des lettres. Exemples : 0,76 € est associé à =50 si cette lettre était de dimensions 10 × 15 cm mais 0,76 € est aussi associé à =40 si cette lettre était de dimensions 8 × 12 cm Non, ce n’est pas une fonction, car tout prix n’est pas associé à un unique périmètre.

12 Exercice 6 : Sont-ce des fonctions ?
4°) on associe à chaque nombre entier de moins de 12 chiffres le nombre de chiffres. Exemples : 47 est associé à est associé à 9 2 → → → → 5 Oui, c’est une fonction, car tout nombre s’écrivant avec N chiffres est associé à l’unique nombre N.

13 Exercice 6 : Sont-ce des fonctions ?
5°) on associe au nombre de côtés de tout polygone régulier le rapport entre le périmètre et la longueur du côté. Exemples : hexagone de côté a = 5 cm. Périmètre = P = 6×5 = 30 cm P/a = 30/5 = 6 donc 6 côtés est associé au rapport 6. carré de côté a = 7 cm. Périmètre = P = 4×7 = 28 cm P/a = 28/7 = 4 donc 4 côtés est associé au rapport 4. On peut généraliser : Soit n le nombre de côtés. P / a = (na) / a = n donc tout polygone de n côtés a un rapport égal à n. Donc tout nombre n est associé au rapport n. Oui, c’est une fonction ( on parlerait même de fonction identité ), car tout nombre n est associé à l’unique nombre n.

14 Exercice 7 : 1°) Construisez la courbe de la fonction f : x → (1 + √x)/2 définie sur [ 0 ; 1 ] dans un repère à l’échelle 10 cm par unité. 2°) Les points A( 0 ; 0,5 ), B( 0,25 ; 0,75 ), C( 0,49 ; 0,85 ), D( 0,5 ; 0,853 ) et E( 1 ; 1 ) appartiennent-ils à la courbe ?

15 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées :
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) 1 0 1

16 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées :
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) 1 0 1

17 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) 0,5

18 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) 0,5 f(0,2) = ? f(0,4) = ? f(0,6) = ? f(0,8) = ? f(1) = ? qui sont tous le même type de calcul (1 + √x)/2 avec des valeurs numériques x différentes.

19 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) f(0,2) = ? f(0,4) = ? f(0,6) = ? f(0,8) = ? f(1) = ? qui sont tous le même type de calcul (1 + √x)/2 avec des valeurs numériques x différentes. Pour gagner du temps on va utiliser sa calculatrice : Menu → TABLE Dans Y1 = on tape l’expression de f(x) avec le X sous la touche ALPHA, puis EXE On peut effacer les autres Y2, Y3, etc avec DEL ou les désélectionner avec SEL

20 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) f(0,2) = ? f(0,4) = ? f(0,6) = ? f(0,8) = ? f(1) = ? qui sont tous le même type de calcul (1 + √x)/2 avec des valeurs numériques x différentes. Pour gagner du temps on va utiliser sa calculatrice : Menu → TABLE Dans Y1 = on tape l’expression de f(x) avec le X sous la touche ALPHA, puis EXE On peut effacer les autres Y2, Y3, etc avec DEL ou les désélectionner avec SEL Dans SET on rentre Start 0 EXE End 1 EXE Step 0,2 EXE EXE puis TABL

21 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) 0,5 0,72 0,81 0,88 0,94 f(0,2) = ? f(0,4) = ? f(0,6) = ? f(0,8) = ? f(1) = ? qui sont tous le même type de calcul (1 + √x)/2 avec des valeurs numériques x différentes. Pour gagner du temps on va utiliser sa calculatrice : Menu → TABLE Dans Y1 = on tape l’expression de f(x) avec le X sous la touche ALPHA, puis EXE On peut effacer les autres Y2, Y3, etc avec DEL ou les désélectionner avec SEL Dans SET on rentre Start 0 EXE End 1 EXE Step 0,2 EXE EXE puis TABL

22 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5 f(0,2) = (1 + √0,2)/2 ≈ 0,72 etc… x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) ≈ 0,5 0,72 0,81 0,88 0,94 1 0 1

23 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5 f(0,2) = (1 + √0,2)/2 ≈ 0,72 etc… x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) ≈ 0,5 0,72 0,81 0,88 0,94 1 0 1

24 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5 f(0,2) = (1 + √0,2)/2 ≈ 0,72 etc… x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) ≈ 0,5 0,72 0,81 0,88 0,94 1 0 1

25 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5 f(0,2) = (1 + √0,2)/2 ≈ 0,72 etc… x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) ≈ 0,5 0,72 0,81 0,88 0,94 1 0 1

26 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5 f(0,2) = (1 + √0,2)/2 ≈ 0,72 etc… x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) ≈ 0,5 0,72 0,81 0,88 0,94 1 0 1

27 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5 f(0,2) = (1 + √0,2)/2 ≈ 0,72 etc… x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) ≈ 0,5 0,72 0,81 0,88 0,94 1 0 1

28 1°) Je détermine des points par leurs coordonnées : f(0) = (1 + √0)/2 = 0,5 f(0,2) = (1 + √0,2)/2 ≈ 0,72 etc… x 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) ≈ 0,5 0,72 0,81 0,88 0,94 1 0 1

29 2°) Les points A( 0 ; 0,5 ), B( 0,25 ; 0,75 ), C( 0,49 ; 0,85 ), D( 0,5 ; 0,853 ) et E( 1 ; 1 ) appartiennent-ils à la courbe ? 1 Si je place le point sur la courbe, je ne peux être certain qu’il est sur la courbe ou très proche de la courbe. A 0 1

30 2°) Les points A( 0 ; 0,5 ), B( 0,25 ; 0,75 ), C( 0,49 ; 0,85 ), D( 0,5 ; 0,853 ) et E( 1 ; 1 ) appartiennent-ils à la courbe ? 1 Si je place le point sur la courbe, je ne peux être certain qu’il est sur la courbe ou très proche de la courbe. A Un point appartient à une courbe ses coordonnées vérifient l’équation. f(0) = (1 + √0)/2 = ½ A ϵ à la courbe. 0 1

31 1 f(0) = (1 + √0)/2 = ½ A ϵ à la courbe
2°) Les points A( 0 ; 0,5 ), B( 0,25 ; 0,75 ), C( 0,49 ; 0,85 ), D( 0,5 ; 0,853 ) et E( 1 ; 1 ) appartiennent-ils à la courbe ? 1 f(0) = (1 + √0)/2 = ½ A ϵ à la courbe f(0,25) = (1 + √¼)/2 = (1 + ½ )/2 = 0,75 B ϵ à la courbe. A

32 1 f(0) = (1 + √0)/2 = ½ A ϵ à la courbe
2°) Les points A( 0 ; 0,5 ), B( 0,25 ; 0,75 ), C( 0,49 ; 0,85 ), D( 0,5 ; 0,853 ) et E( 1 ; 1 ) appartiennent-ils à la courbe ? 1 f(0) = (1 + √0)/2 = ½ A ϵ à la courbe f(0,25) = (1 + √¼)/2 = (1 + ½ )/2 = 0,75 B ϵ à la courbe. f(0,49) = (1 + √0,49)/2 = (1 + 0,7)/2 = 0,85 A C ϵ à la courbe.

33 2°) Les points A( 0 ; 0,5 ), B( 0,25 ; 0,75 ), C( 0,49 ; 0,85 ), D( 0,5 ; 0,853 ) et E( 1 ; 1 ) appartiennent-ils à la courbe ? 1 f(0) = (1 + √0)/2 = ½ A ϵ à la courbe f(0,25) = (1 + √¼)/2 = (1 + ½ )/2 = 0,75 B ϵ à la courbe. f(0,49) = (1 + √0,49)/2 = (1 + 0,7)/2 = 0,85 A C ϵ à la courbe. f(0,5) = (1 + √0,5)/2 ≈ 0,8535… donc f(0,5) ≠ 0,853 D est proche mais n’appartient pas à la courbe.

34 2°) Les points A( 0 ; 0,5 ), B( 0,25 ; 0,75 ), C( 0,49 ; 0,85 ), D( 0,5 ; 0,853 ) et E( 1 ; 1 ) appartiennent-ils à la courbe ? 1 f(0) = (1 + √0)/2 = ½ A ϵ à la courbe f(0,25) = (1 + √¼)/2 = (1 + ½ )/2 = 0,75 B ϵ à la courbe. f(0,49) = (1 + √0,49)/2 = (1 + 0,7)/2 = 0,85 A C ϵ à la courbe. f(0,5) = (1 + √0,5)/2 ≈ 0,8535… donc f(0,5) ≠ 0,853 D est proche mais n’appartient pas à la courbe. f(1) = (1 + √1)/2 = 1 E ϵ à la courbe

35 Si on utilise sa calculatrice, peut-on ensuite écrire sur sa copie f(0,25) = 0,75 ?
Je tape en Mode RUN ( calcul numérique ) f(0,25) la machine m’affiche à l’écran 0,75 f(0,25) = 0,75 ?

36 Si on utilise sa calculatrice, peut-on ensuite écrire sur sa copie f(0,25) = 0,75 ?
Je tape en Mode RUN ( calcul numérique ) f(0,25) la machine m’affiche à l’écran 0,75 f(0,25) = 0,75 ? Le signe = n’est pas prouvé ! En mode RUN on peut obtenir le résultat en valeur exacte en appuyant sur la touche F↔D Exemple ( 1 + √3 )² ≈ 7,464… et ( 1 + √3 )² = 4 + 2√3

37 Si on utilise sa calculatrice, peut-on ensuite écrire sur sa copie f(0,25) = 0,75 ?
Je tape en Mode RUN ( calcul numérique ) f(0,25) la machine m’affiche à l’écran 0,75 f(0,25) = 0,75 ? Le signe = n’est pas prouvé ! En mode RUN on peut obtenir le résultat en valeur exacte en appuyant sur la touche F↔D Exemple ( 1 + √3 )² ≈ 7,464… et ( 1 + √3 )² = 4 + 2√3 En mode autre que RUN on ne peut exiger le résultat en valeur exacte donc il est en écriture décimale donc peut-être en valeur approchée.

38 Si on utilise sa calculatrice, peut-on ensuite écrire sur sa copie f(0,25) = 0,75 ?
Je tape en Mode RUN ( calcul numérique ) f(0,25) la machine m’affiche à l’écran 0,75 f(0,25) = 0,75 ? Le signe = n’est pas prouvé ! En mode RUN on peut obtenir le résultat en valeur exacte en appuyant sur la touche F↔D Exemple ( 1 + √3 )² ≈ 7,464… et ( 1 + √3 )² = 4 + 2√3 En mode autre que RUN on ne peut exiger le résultat en valeur exacte donc il est en écriture décimale donc peut-être en valeur approchée. Il faut donc prouver à la main que f(0,25) = 0,75 f(0,25) = ( 1 + √¼ )/2 = ( 1 + ½ )/2 = (3/2)/2 = 3/4 = 0,75

39 Application : Soit le nombre A = ( 1 + 1026 )² - 1052
Tapez A à la machine. Le résultat à l’écran est-il une valeur exacte ou approchée de A ?

40 Application : Comment répondre à la question posée ?
Soit le nombre A = ( )² Tapez A à la machine. Le résultat à l’écran est-il une valeur exacte ou approchée de A ? On tape en Mode RUN ( )² EXE on obtient à l’écran 0 Comment répondre à la question posée ?

41 Application : Comment répondre à la question posée ?
Soit le nombre A = ( )² Tapez A à la machine. Le résultat à l’écran est-il une valeur exacte ou approchée de A ? On tape en Mode RUN ( )² EXE on obtient à l’écran 0 Comment répondre à la question posée ? En comparant le résultat à l’écran avec une étude de A à la main. A = ( )² = …

42 Application : Comment répondre à la question posée ?
Soit le nombre A = ( )² Tapez A à la machine. Le résultat à l’écran est-il une valeur exacte ou approchée de A ? On tape en Mode RUN ( )² EXE on obtient à l’écran 0 Comment répondre à la question posée ? En comparant le résultat à l’écran avec une étude de A à la main. A = ( )² = 1² + 2×1× (1026)² identité remarquable ( a + b )² = a² + 2ab + b²

43 Application : Comment répondre à la question posée ?
Soit le nombre A = ( )² Tapez A à la machine. Le résultat à l’écran est-il une valeur exacte ou approchée de A ? On tape en Mode RUN ( )² EXE on obtient à l’écran 0 Comment répondre à la question posée ? En comparant le résultat à l’écran avec une étude de A à la main. A = ( )² = 1² + 2×1× (1026)² = 1 + 2× = 1 + 2×1026 très éloigné de 0 !

44 Application : Où la machine a-t-elle commise une énorme erreur ?
Soit le nombre A = ( )² Tapez A à la machine. Le résultat à l’écran est-il une valeur exacte ou approchée de A ? ( )² on obtient à l’écran 0 A = ( )² = 1² + 2×1× (1026)² = 1 + 2× = 1 + 2×1026 très éloigné de 0 ! Où la machine a-t-elle commise une énorme erreur ?

45 Application : Où la machine a-t-elle commise une énorme erreur ?
Soit le nombre A = ( )² Tapez A à la machine. Le résultat à l’écran est-il une valeur exacte ou approchée de A ? ( )² on obtient à l’écran 0 A = ( )² = 1² + 2×1× (1026)² = 1 + 2× = 1 + 2×1026 très éloigné de 0 ! Où la machine a-t-elle commise une énorme erreur ? est un nombre à 27 chiffres qui s’écrit 1000…0001

46 Application : Où la machine a-t-elle commise une énorme erreur ?
Soit le nombre A = ( )² Tapez A à la machine. Le résultat à l’écran est-il une valeur exacte ou approchée de A ? ( )² on obtient à l’écran 0 A = ( )² = 1² + 2×1× (1026)² = 1 + 2× = 1 + 2×1026 très éloigné de 0 ! Où la machine a-t-elle commise une énorme erreur ? est un nombre à 27 chiffres qui s’écrit 1000…0001 La machine a un écran de 10 chiffres et une mémoire de 14 chiffres, donc elle arrondit et n’en garde que 14 :

47 Application : Où la machine a-t-elle commise une énorme erreur ?
Soit le nombre A = ( )² Tapez A à la machine. Le résultat à l’écran est-il une valeur exacte ou approchée de A ? ( )² on obtient à l’écran 0 A = ( )² = 1² + 2×1× (1026)² = 1 + 2× = 1 + 2×1026 très éloigné de 0 ! Où la machine a-t-elle commise une énorme erreur ? est un nombre à 27 chiffres qui s’écrit 1000…0001 La machine a un écran de 10 chiffres et une mémoire de 14 chiffres, donc elle arrondit et n’en garde que 14 :

48 Application : A = ( 1 + 1026 )² - 1052 = 1 + 2×1026 très éloigné de 0 !
Où la machine a-t-elle commise une énorme erreur ? est un nombre à 27 chiffres qui s’écrit 1000…0001 La machine a un écran de 10 chiffres et une mémoire de 14 chiffres, donc elle arrondit et n’en garde que 14 : donne ×1012 = 1026 puis (1026)² = 1052 puis = 0

49 Conclusion : Une calculatrice donne des résultats en valeurs : exacte
approchée fausse

50 Conclusion : Une calculatrice donne des résultats en valeurs : exacte
approchée fausse Il faut donc sur une copie ...

51 Conclusion : Une calculatrice donne des résultats en valeurs :
exacte = approchée ≈ fausse ≠ Il faut donc sur une copie justifier du type de résultat par un calcul à la main.