{A ; B ; C} est un triplet babylonien :

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1 {A ; B ; C} est un triplet babylonien :
C’est-à-dire, il vérifie l’égalité A² + C² = 2B² Géométriquement, B est la longueur de la transversale qui partage le trapèze de bases C et A en deux trapèzes de même aire. Voici la représentation dans le cas d’un trapèze isocèle « parfait » {A ; B ; C} est un triplet babylonien : Càd A² + C² = 2 B² Géométriquement, B est la longueur de la transversale qui partage le trapèze isocèle de base C et A en deux trapèzes de même aire.

2 Considérons un tel trapèze et . . .
Prenons-en quatre identiques

3 Considérons un tel trapèze et prenons-en trois autres identiques.
Prenons-en quatre identiques

4 En les assemblant, on obtient trois carrés emboîtés de côtés respectifs A ; B et C.
En les assemblant, on obtient trois carrés de côtés respectifs A ; B et C

5 Les longueurs A ; B ; C vérifient l’égalité A² + C² = 2 B²
En les assemblant, on obtient trois carrés de côtés respectifs A ; B et C

6 Mais revenons à nos carrés.
Partageons la longueur C et la longueur A en 2.

7 Ceci nous permet de dessiner 2 nouveaux carrés :
Un petit carré de côté (C – A)/2 et un grand carré de côté (C + A)/2

8 Le petit carré est découpé en deux triangles rectangles isocèles . . .
Le petit carré est découpé en deux triangles rectangles isocèles que . . .

9 Le petit carré est découpé en deux triangles rectangles isocèles que l’on déplace là.

10 Drôle de figure, n’est-il pas ? Mais . . .

11 Drôle de figure, n’est-il pas
Drôle de figure, n’est-il pas ? Mais il apparaît alors deux grands trapèzes qui . . . . . . Il apparaît alors deux grands trapèzes qui . . .

12 Drôle de figure, n’est-il pas
Drôle de figure, n’est-il pas ? Mais il apparaît alors deux grands trapèzes qui sont de même aire que les deux petits trapèzes. . . . Sont de même aire que les deux petits trapèzes

13 Drôle de figure, n’est-il pas
Drôle de figure, n’est-il pas ? Mais il apparaît alors deux grands trapèzes qui sont de même aire que les deux petits trapèzes. . . . Sont de même aire que les deux petits trapèzes

14 Ce qui reforme ainsi le carré de côté B
Ce qui forme ainsi le carré de côté B

15 Ainsi la somme des aires de 2 carrés de côtés respectifs (C + A)/2 et ((C – A)/2 est égale à l’aire d’un carré de côté B. Ainsi la somme des aires de 2 carrés de côtés respectifs (C + A)/2 et ((C – A)/2 est égale à l’aire d’un carré de côté B. Le triplet {(C + A)/2 ; (C – A)/2 ; B} vérifie l’égalité de Pythagore ((C + A)/2)² + ((C – A)/2)² = B² .

16 Le triplet {(C + A)/2 ; (C – A)/2 ; B} vérifie ainsi l’égalité de Pythagore