Exercice 1 : (un) est une suite arithmétique définie sur N.

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1 Exercice 1 : (un) est une suite arithmétique définie sur N.
u3 = 18 ; u9 = 48 Déterminez le 30ème terme.

2 Exercice 1 : (un) est une suite arithmétique définie sur N. u3 = 18 ; u9 = 48 Déterminez le 30ème terme. u9 – u3 = ( 9 – 3 ) r donc r = …

3 Exercice 1 : (un) est une suite arithmétique définie sur N. u3 = 18 ; u9 = 48 Déterminez le 30ème terme. u9 – u3 = ( 9 – 3 ) r donc r = ( u9 – u3 ) / ( 9 – 3 ) = ( 48 – 18 ) / 6 = 30/6 = 5 La suite est définie sur N = { 0 ; 1 ; 2 ; … } donc le 1er terme est …

4 Exercice 1 : (un) est une suite arithmétique définie sur N. u3 = 18 ; u9 = 48 Déterminez le 30ème terme. u9 – u3 = ( 9 – 3 ) r donc r = ( u9 – u3 ) / ( 9 – 3 ) = ( 48 – 18 ) / 6 = 30/6 = 5 La suite est définie sur N = { 0 ; 1 ; 2 ; … } donc le 1er terme est u0, donc le 30ème terme est u29 u29 – u3 = …

5 Exercice 1 : (un) est une suite arithmétique définie sur N. u3 = 18 ; u9 = 48 Déterminez le 30ème terme. u9 – u3 = ( 9 – 3 ) r donc r = ( u9 – u3 ) / ( 9 – 3 ) = ( 48 – 18 ) / 6 = 30/6 = 5 La suite est définie sur N = { 0 ; 1 ; 2 ; … } donc le 1er terme est u0, donc le 30ème terme est u29 u29 – u3 = ( 29 – 3 ) r donc u29 = u3 + ( 29 – 3 ) r = 18 + (26)5 = 148

6 Exercice 2 : Un agriculteur a produit 20 t de céréales en Chaque année, il en produit 100 kg de plus. Quelle est sa production annuelle moyenne sur une période de 20 ans ?

7 Un agriculteur a produit 20 t de céréales en 1987
Un agriculteur a produit 20 t de céréales en Chaque année, il en produit 100 kg de plus. Quelle est sa production annuelle moyenne sur une période de 20 ans ? Soit la suite (un) définie par un = production de l’année n, et u1 = kg P = production moyenne = …

8 Un agriculteur a produit 20 t de céréales en 1987
Un agriculteur a produit 20 t de céréales en Chaque année, il en produit 100 kg de plus. Quelle est sa production annuelle moyenne sur une période de 20 ans ? Soit la suite (un) définie par un = production de l’année n, et u1 = kg P = production moyenne = production totale / durée = S / ∆t S = …

9 Un agriculteur a produit 20 t de céréales en 1987
Un agriculteur a produit 20 t de céréales en Chaque année, il en produit 100 kg de plus. Quelle est sa production annuelle moyenne sur une période de 20 ans ? Soit la suite (un) définie par un = production de l’année n, et u1 = kg P = production moyenne = production totale / durée = S / ∆t S = u1 + u2 + … + un un+1 = un donc la suite est arithmétique, donc S = …

10 Un agriculteur a produit 20 t de céréales en 1987
Un agriculteur a produit 20 t de céréales en Chaque année, il en produit 100 kg de plus. Quelle est sa production annuelle moyenne sur une période de 20 ans ? Soit la suite (un) définie par un = production de l’année n, et u1 = kg P = production moyenne = production totale / durée = S / ∆t S = u1 + u2 + … + un un+1 = un donc la suite est arithmétique, donc S = nb de termes ( 1er terme + dernier ) / 2 = n ( u1 + un ) / 2 La suite est arithmétique, donc un – um = …

11 Un agriculteur a produit 20 t de céréales en 1987
Un agriculteur a produit 20 t de céréales en Chaque année, il en produit 100 kg de plus. Quelle est sa production annuelle moyenne sur une période de 20 ans ? Soit la suite (un) définie par un = production de l’année n, et u1 = kg P = production moyenne = production totale / durée = S / ∆t S = u1 + u2 + … + un un+1 = un donc la suite est arithmétique, donc S = nb de termes ( 1er terme + dernier ) / 2 = n ( u1 + un ) / 2 La suite est arithmétique, donc un – um = ( n – m ) r donc u20 = …

12 Un agriculteur a produit 20 t de céréales en 1987
Un agriculteur a produit 20 t de céréales en Chaque année, il en produit 100 kg de plus. Quelle est sa production annuelle moyenne sur une période de 20 ans ? Soit la suite (un) définie par un = production de l’année n, et u1 = kg P = production moyenne = production totale / durée = S / ∆t S = u1 + u2 + … + un un+1 = un donc la suite est arithmétique, donc S = nb de termes ( 1er terme + dernier ) / 2 = n ( u1 + un ) / 2 La suite est arithmétique, donc un – um = ( n – m ) r donc u20 = u1 + ( 20 – 1 ) r = …

13 Un agriculteur a produit 20 t de céréales en 1987
Un agriculteur a produit 20 t de céréales en Chaque année, il en produit 100 kg de plus. Quelle est sa production annuelle moyenne sur une période de 20 ans ? Soit la suite (un) définie par un = production de l’année n, et u1 = kg P = production moyenne = production totale / durée = S / ∆t S = u1 + u2 + … + un un+1 = un donc la suite est arithmétique, donc S = nb de termes ( 1er terme + dernier ) / 2 = n ( u1 + un ) / 2 La suite est arithmétique, donc un – um = ( n – m ) r donc u20 = u1 + ( 20 – 1 ) r = (100) = S = …

14 Un agriculteur a produit 20 t de céréales en 1987
Un agriculteur a produit 20 t de céréales en Chaque année, il en produit 100 kg de plus. Quelle est sa production annuelle moyenne sur une période de 20 ans ? Soit la suite (un) définie par un = production de l’année n, et u1 = kg P = production moyenne = production totale / durée = S / ∆t S = u1 + u2 + … + u20 un+1 = un donc la suite est arithmétique, donc S = nb de termes ( 1er terme + dernier ) / 2 = n ( u1 + un ) / 2 La suite est arithmétique, donc un – um = ( n – m ) r donc u20 = u1 + ( 20 – 1 ) r = (100) = S = 20 ( ) / 2 = et P = /20 = kg/an

15 Exercice 3 : Soient deux suites (un) et (vn) telles que vn = a un + b ( a et b sont deux réels fixés ). Démontrez que si l’une est arithmétique, l’autre l’est forcément aussi, et déterminez alors la relation entre leurs raisons respectives r et R.

16 Exercice 3 : Soient deux suites (un) et (vn) telles que vn = a un + b ( a et b sont deux réels fixés ). Démontrez que si l’une est arithmétique, l’autre l’est forcément aussi, et déterminez alors la relation entre leurs raisons respectives r et R. 1ère possibilité : (un) arithm. (vn) arithm. ? Si est (un) est arithmétique, alors un+1 - un = r ( r est la raison de la suite ). vn+1 - vn = …

17 Exercice 3 : Soient deux suites (un) et (vn) telles que vn = a un + b ( a et b sont deux réels ). Démontrez que si l’une est arithmétique, l’autre l’est forcément aussi, et déterminez alors la relation entre leurs raisons respectives r et R. Si est (un) arithmétique, alors un+1 - un = r ( la raison de la suite ). vn+1 - vn = (a un+1 + b ) – (a un + b ) = a un+1 + b – a un - b = a un+1 – a un = a ( un+1 – un ) = a r = Cte

18 Exercice 3 : Soient deux suites (un) et (vn) telles que vn = a un + b ( a et b sont deux réels ). Démontrez que si l’une est arithmétique, l’autre l’est forcément aussi, et déterminez alors la relation entre leurs raisons respectives r et R. Si est (un) arithmétique, alors un+1 - un = r ( la raison de la suite ). vn+1 - vn = (a un+1 + b ) – (a un + b ) = a un+1 + b – a un - b = a un+1 – a un = a ( un+1 – un ) = a r = Cte donc (vn) est arithmétique. Leurs raisons R et r sont liées par …

19 Exercice 3 : Soient deux suites (un) et (vn) telles que vn = a un + b ( a et b sont deux réels ). Démontrez que si l’une est arithmétique, l’autre l’est forcément aussi, et déterminez alors la relation entre leurs raisons respectives r et R. Si (un) est arithmétique, alors un+1 - un = r ( la raison de la suite ). vn+1 - vn = (a un+1 + b ) – (a un + b ) = a un+1 + b – a un - b = a un+1 – a un = a ( un+1 – un ) = a r = Cte donc (vn) est arithmétique. Leurs raisons R et r sont liées par R = a r

20 2ème possibilité : (vn) arithm. (un) arithm
2ème possibilité : (vn) arithm. (un) arithm. ? Si (vn) est arithmétique, alors vn+1 - vn = R ( la raison de la suite ). vn = a un + b donne a un = vn – b 1er cas : a ≠ 0 donne un = (vn – b)/a un+1 - un = ((vn+1 – b)/a) – ((vn – b)/a) = (vn+1/a) – (b/a) – (vn/a) + (b/a) = (vn+1/a) – (vn/a) = (vn+1 – vn)/a = R/a donc r = R / a 2ème cas : a = 0 donne 0 = vn – b donc vn = b donc vn+1 = vn = b donc vn+1 – vn = 0 donc R = 0 Conclusion : quelle que soit la suite arithmétique, l’autre l’est aussi, et ar = R On vient de démontrer une équivalence : (un) arithm. (vn) arithm.

21 Exercice 4 : Déterminez la somme des 1000 premiers nombres impairs.

22 Exercice 4 : Déterminez la somme S des 1000 premiers nombres impairs. S = … + ( ? ) = ? Soit la suite (un) définie sur N* par S = u1 + u2 + … + u1000

23 Exercice 4 : Déterminez la somme S des 1000 premiers nombres impairs. S = … + ( ? ) = ? Soit la suite (un) définie sur N* par S = u1 + u2 + … + u1000 Il y a toujours un écart de 2 entre tous les nombres impairs voisins, donc la suite est arithmétique, donc u1000 – u1 = …

24 Exercice 4 : Déterminez la somme S des 1000 premiers nombres impairs. S = … + ( ? ) = ? Soit la suite (un) définie sur N* par S = u1 + u2 + … + u1000 Il y a toujours un écart de 2 entre tous les nombres impairs voisins, donc la suite est arithmétique, donc u1000 – u1 = ( 1000 – 1 ) r donc u1000 = …

25 Exercice 4 : Déterminez la somme S des 1000 premiers nombres impairs. S = … + ( ? ) = ? Soit la suite (un) définie sur N* par S = u1 + u2 + … + u1000 Il y a toujours un écart de 2 entre tous les nombres impairs voisins, donc la suite est arithmétique, donc u1000 – u1 = ( 1000 – 1 ) r donc u1000 = u r = (2) = 1999 S = u1 + u2 + … + u1000 = …

26 Exercice 4 : Déterminez la somme S des 1000 premiers nombres impairs. S = … + ( ? ) = ? Soit la suite (un) définie sur N* par S = u1 + u2 + … + u1000 Il y a toujours un écart de 2 entre tous les nombres impairs voisins, donc la suite est arithmétique, donc u1000 – u1 = ( 1000 – 1 ) r donc u1000 = u r = (2) = 1999 S = u1 + u2 + … + u1000 = (nb de termes) ( 1er terme + dernier terme ) / 2 = …

27 Exercice 4 : Déterminez la somme S des 1000 premiers nombres impairs. S = … + ( ? ) = ? Soit la suite (un) définie sur N* par S = u1 + u2 + … + u1000 Il y a toujours un écart de 2 entre tous les nombres impairs voisins, donc la suite est arithmétique, donc u1000 – u1 = ( 1000 – 1 ) r donc u1000 = u r = (2) = 1999 S = u1 + u2 + … + u1000 = (nb de termes) ( 1er terme + dernier terme ) / 2 = 1000 (u1 + u1000 ) / 2 = 1000 ( ) / 2 =

28 Exercice 5 : Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?

29 Exercice 5 : Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ? couche 1 : nb de cartes u1 = 3 couche 2 : nb de cartes u2 = 6 u3= 9 u4= 12 etc… mais la dernière couche ne comporte pas de cartes horizontales

30 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
La suite est …

31 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
La suite est arithmétique car il y a toujours une différence de 3 cartes entre 2 couches voisines ( sauf avec la dernière couche ). Le château de cartes comporte le nb de cartes S = …

32 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
La suite est arithmétique car il y a toujours une différence de 3 cartes entre 2 couches voisines ( sauf avec la dernière couche ). Le château de cartes comporte le nb de cartes S = … + ? S = u1 + u2 + … + ( …. )

33 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
La suite est arithmétique car il y a toujours une différence de 3 cartes entre 2 couches voisines ( sauf avec la dernière couche ). Le château de cartes comporte le nb de cartes S = … + ? S = u1 + u2 + … + ( un- n ) car la dernière couche n’a pas de cartes horizontales, et que chaque couche i comporte i cartes horizontales. S = u1 + u2 + … + un - n = …

34 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
La suite est arithmétique car il y a toujours une différence de 3 cartes entre 2 couches voisines ( sauf avec la dernière couche ). Le château de cartes comporte le nb de cartes S = … + ? S = u1 + u2 + … + ( un- n ) car la dernière couche n’a pas de cartes horizontales, et que chaque couche i comporte i cartes horizontales. S = u1 + u2 + … + un - n = [ nb de termes( 1er terme + dernier terme ) / 2 ] – n S = [ n ( u1 + un ) / 2 ] – n = [ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n On dispose au maximum de 2000 cartes, donc …

35 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
La suite est arithmétique car il y a toujours une différence de 3 cartes entre 2 couches voisines ( sauf avec la dernière couche ). Le château de cartes comporte le nb de cartes S = … + ? S = u1 + u2 + … + ( un- n ) car la dernière couche n’a pas de cartes horizontales, et que chaque couche i comporte i cartes horizontales. S = u1 + u2 + … + un - n = [ nb de termes( 1er terme + dernier terme ) / 2 ] – n S = [ n ( u1 + un ) / 2 ] – n = [ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n On dispose au maximum de 2000 cartes, donc [ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000

36 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
[ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 J’élimine la difficulté des fractions en multipliant par 2 : …

37 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
[ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 J’élimine la difficulté des fractions en multipliant par 2 : n(3 + 3n) – 2n ≤ n + 3n² - 2n – 4000 ≤ 0 donc …

38 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
[ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 J’élimine la difficulté des fractions en multipliant par 2 : n(3 + 3n) – 2n ≤ n + 3n² - 2n – 4000 ≤ 0 donc 3n² + n – 4000 ≤ 0 ∆ = …

39 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
[ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 J’élimine la difficulté des fractions en multipliant par 2 : n(3 + 3n) – 2n ≤ n + 3n² - 2n – 4000 ≤ 0 donc 3n² + n – 4000 ≤ 0 ∆ = (1)² - 4 (3) (- 4000) = deux racines n1 = … et n2 = …

40 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
[ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 J’élimine la difficulté des fractions en multipliant par 2 : n(3 + 3n) – 2n ≤ n + 3n² - 2n – 4000 ≤ 0 donc 3n² + n – 4000 ≤ 0 ∆ = (1)² - 4 (3) (- 4000) = deux racines n1 = ( √∆ ) / 6 ≈ 36,34… et n2 = ( √∆ ) / 6 ≈ - 36,68… le polynôme est du signe de

41 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
[ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 J’élimine la difficulté des fractions en multipliant par 2 : n(3 + 3n) – 2n ≤ n + 3n² - 2n – 4000 ≤ 0 donc 3n² + n – 4000 ≤ 0 ∆ = (1)² - 4 (3) (- 4000) = deux racines n1 = ( √∆ ) / 6 ≈ 36,34… et n2 = ( √∆ ) / 6 ≈ - 36,68… le polynôme est du signe de a = 3 > 0 à l’ext, des racines, et on veut qu’il soit ≤ 0 donc n est dans …

42 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
[ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 J’élimine la difficulté des fractions en multipliant par 2 : n(3 + 3n) – 2n ≤ n + 3n² - 2n – 4000 ≤ 0 donc 3n² + n – 4000 ≤ 0 ∆ = (1)² - 4 (3) (- 4000) = deux racines n1 = ( √∆ ) / 6 ≈ 36,34… et n2 = ( √∆ ) / 6 ≈ - 36,68… le polynôme est du signe de a = 3 > 0 à l’ext, des racines, et on veut qu’il soit ≤ 0 donc n est dans [ n2 ; n1 ] ≈ [ - 36,68… ; 36,34… ], mais n est un entier donc n est dans …

43 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
[ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 J’élimine la difficulté des fractions en multipliant par 2 : n(3 + 3n) – 2n ≤ n + 3n² - 2n – 4000 ≤ 0 donc 3n² + n – 4000 ≤ 0 ∆ = (1)² - 4 (3) (- 4000) = deux racines n1 = ( √∆ ) / 6 ≈ 36,34… et n2 = ( √∆ ) / 6 ≈ - 36,68… le polynôme est du signe de a = 3 > 0 à l’ext, des racines, et on veut qu’il soit ≤ 0 donc n est dans [ n2 ; n1 ] ≈ [ - 36,68… ; 36,34… ], mais n est un entier donc n est dans { 0 ; 1 ; 2 ; … ; 35 ; 36 }. Le plus grand château …

44 Le plus grand château de cartes construit avec 2000 cartes comporte combien d’étages ?
[ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 J’élimine la difficulté des fractions en multipliant par 2 : n(3 + 3n) – 2n ≤ 4000 3n + 3n² - 2n – 4000 ≤ 0 donc 3n² + n – 4000 ≤ 0 ∆ = (1)² - 4 (3) (- 4000) = 48001 deux racines n1 = ( √∆ ) / 6 ≈ 36,34… et n2 = ( √∆ ) / 6 ≈ - 36,68… le polynôme est du signe de a = 3 > 0 à l’ext, des racines, et on veut qu’il soit ≤ 0 donc n est dans [ n2 ; n1 ] ≈ [ - 36,68… ; 36,34… ], mais n est un entier donc n est dans { 0 ; 1 ; 2 ; … ; 35 ; 36 }. Le plus grand château comporte le plus grand nombre d’étages, donc 36 étages.

45 Autre méthode : S = [ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 Soit la fonction f ( correspondant au reste des cartes inutilisées ) définie sur les réels par f(x) = S = … x - ∞ + ∞ f’(x) f(x)

46 Autre méthode : S = [ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 Soit la fonction f ( correspondant au reste des cartes inutilisées ) définie sur les réels par f(x) = S = x(3+3x)/2 + x = ½ x - (3/2)x² f’(x) = … x - ∞ + ∞ f’(x) f(x)

47 Autre méthode : S = [ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 Soit la fonction f ( correspondant au reste des cartes inutilisées ) définie sur les réels par f(x) = S = x(3+3x)/2 + x = ½ x - (3/2)x² f’(x) = (0) - ½ (1) - (3/2) (2x) = - ½ - 3x x - ∞ - 1/6 + ∞ f’(x) f(x)

48 Autre méthode : S = [ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 Soit la fonction f ( correspondant au reste des cartes inutilisées ) définie sur les réels par f(x) = S = x(3+3x)/2 + x = ½ x - (3/2)x² f’(x) = (0) - ½ (1) - (3/2) (2x) = - ½ - 3x Théorème de la monotonie : le sens de variation de f dépend du signe de f’ x - ∞ - 1/6 + ∞ f’(x) f(x)

49 S = [ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 f(x) = S = ½ x - (3/2)x² x est le nombre de couches, donc x est un entier positif ; f(x) est le nombre de cartes restantes, donc f(x) ≥ 0 x - ∞ - 1/ … … + ∞ f’(x) f(x)

50 x est le nombre de couches, donc x est un entier positif ;
S = [ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 f(x) = S = ½ x - (3/2)x² x est le nombre de couches, donc x est un entier positif ; f(x) est le nombre de cartes restantes, donc f(x) ≥ 0 x ∞ / … … ∞ f’(x) f(x)

51 x est le nombre de couches, donc x est un entier positif ;
S = [ n ( 3 + 3n ) / 2 ] – n ≤ 2000 f(x) = S = ½ x - (3/2)x² x est le nombre de couches, donc x est un entier positif ; f(x) est le nombre de cartes restantes, donc f(x) ≥ 0 x ∞ / … … ∞ f’(x) f(x) donc fmini(x) ≥ 0 pour x = 36