Exercice 12 : On possède les relevés mensuels de la température à Madrid et Mexico. 1°) Quels calculs statistiques permettent de répondre à la question.

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1 Exercice 12 : On possède les relevés mensuels de la température à Madrid et Mexico. 1°) Quels calculs statistiques permettent de répondre à la question « Où fait-il le plus chaud toute l’année ? » 2°) idem «  Où les écarts de température sont moindres ? » 3°) idem «  Où la température est supérieure à 16°C la moitié au moins de l’année ? » 4°) idem «  Où la température est entre 14 et 17°C la moitié de l’année ? » 5°) idem «  Il a fait moins de 30°C pendant 350 jours ? » 6°) idem «  Il a fait 30°C pendant 2 jours sur 3 ? »

2 Exercice 12 : On possède les relevés mensuels de la température à Madrid et Mexico. 1°) Quels calculs statistiques permettent de répondre à la question « Où fait-il le plus chaud toute l’année ? » La moyenne permettra de départager les deux villes. La médiane ne permet pas de répondre à « toute l’année ». 2°) idem «  Où les écarts de température sont moindres ? » L’étendue permettra de départager les deux villes. L’écart interquartiles ne répond qu’à 50% de l’année.

3 Exercice 12 : 3°) idem «  Où la température est supérieure à 16°C la moitié au moins de l’année ? » La médiane permettra de départager les deux villes. « La moitié de l’année » oblige d’utiliser la seule médiane. 4°) idem «  Où la température est entre 14 et 17°C la moitié de l’année ? » L’écart interquartiles permettra de départager les deux villes. « La moitié de l’année » pourrait concerner la médiane, mais « entre 14 et 17 » oblige d’utiliser le seul écart interquartile.

4 Exercice 12 : 5°) idem «  Il a fait moins de 30°C pendant 350 jours ? » L’ effectif cumulé croissant permettra de départager les deux villes. ncc30 = 350 6°) idem «  Il a fait 30°C pendant 2 jours sur 3 ? » La fréquence permettra de départager les deux villes. f30 = 2/3

5 Exercice 13 : Déterminez des effectifs possibles pour que la moyenne soit de 2, la médiane de 1, et les quartiles de 0 et 3. xi ni ? ? ? ? ?

6 Exercice 13 : Déterminez des effectifs possibles pour que la moyenne soit de 2, la médiane de 1, et les quartiles de 0 et 3. xi Q Med Q3 donc des effectifs égaux 1, ou n permettrait de respecter « 25% de l’effectif », « 50% de l’effectif », et « 75% de l’effectif » respectivement pour Q1, Med, et Q3. xi ni n n n n n donc N = 5n N/4 = (5n)/4 = 1,25n donc Q1 = x2n = 0 3N/4 = 3(5n)/4 = 3,75n donc Q3 = x4n = 3 N = 2n + n + 2n donc Med = x3n = 1

7 Exercice 13 : Déterminez des effectifs possibles pour que la moyenne soit de 2, la médiane de 1, et les quartiles de 0 et 3. xi ni n n n n n Mais il faut que la moyenne soit de 2, donc supérieure à la médiane, donc l’un des effectifs des valeurs à droite de la médiane doit être supérieur à n : appelons-le n’ et supposons que c’est l’effectif de la valeur 5. xmoy = ( Σ ni xi ) / ( Σ ni ) donne 2 = ( n(-1) + n(0) + n(1) + n(3) + n’(5) ) / ( n+n+n+n+n’ ) donc 2 = ( - n + n + 3n + 5n’ ) / ( 4n + n’ ) donc 2( 4n + n’ ) = 3n + 5n’ donc 8n + 2n’ = 3n + 5n’ donc 2n’ - 5n’ = 3n - 8n donc – 3n’ = - 5n donc n’ = (5/3)n

8 Exercice 13 : Déterminez des effectifs possibles pour que la moyenne soit de 2, la médiane de 1, et les quartiles de 0 et 3. xi ni n n n n n’ xmoy = ( Σ ni xi ) / ( Σ ni ) donne 2 = ( n(-1) + n(0) + n(1) + n(3) + n’(5) ) / ( n+n+n+n+n’ ) donc 2 = ( - n + n + 3n + 5n’ ) / ( 4n + n’ ) donc 2( 4n + n’ ) = 3n + 5n’ donc 8n + 2n’ = 3n + 5n’ donc 2n’ - 5n’ = 3n - 8n donc – 3n’ = - 5n donc n’ = (5/3)n n’ est un entier, n aussi, donc les plus petits entiers possibles sont n = 3 et n’ = 5

9 Exercice 13 : Vérification pour que la moyenne soit de 2, la médiane de 1, et les quartiles de 0 et 3. xi ni xmoy = ( Σ ni xi ) / ( Σ ni ) = ( 3(-1) + 3(0) + 3(1) + 3(3) + 5(5) ) / ( ) = 34/ 17 = 2 N/4 = (17)/4 = 4,25n donc Q1 = x5 = 0 3N/4 = 3(17)/4 = 12,75 donc Q3 = x13 = 3 N = 17 = donc Med = x9 = 1 CQFD !

10 Exercice 14 : Un élève a pris rapidement % 45 62 81 89 100
des notes à propos du nombre d’heures journalières passées par les familles devant la télé : 1°) Quel pourcentage de familles se connectent entre 4h et 5h ? 2°) Déterminez la médiane, les quartiles, et la moyenne de cette série.

11 Exercice 14 : Un élève a pris rapidement % 45 62 81 89 100
des notes à propos du nombre d’heures journalières passées par les familles devant la télé : 1°) Quel pourcentage de familles se connectent entre 4h et 5h ? Ce sont des fréquences cumulées croissantes, donc on en déduit les fréquences : par exemple fi cc 2 à 4 = fi cc 0 à 2 + fi 2 à 4 donc = fi 2 à 4 = fi cc 2 à 4 - fi cc 0 à 2 = 0,62 – 0,45 = 0,17 xi 0 à 2 2 à 4 4 à 5 5 à 6 6 à 8 série continue ! fi cc ,45 0,62 0,81 0,89 1 fi ,45 0,17 0,19 0,08 0,11 Réponse : 19% de familles se connectent entre 4 et 5 heures.

12 N/4 correspond à f = 0,25 donc Q1 = [ 0 ; 2 ]
2°) Déterminez la médiane, les quartiles, et la moyenne de cette série. xi 0 à 2 2 à 4 4 à 5 5 à 6 6 à 8 fi cc ,45 0,62 0,81 0,89 1 fi ,45 0,17 0,19 0,08 0,11 N/4 correspond à f = 0,25 donc Q1 = [ 0 ; 2 ] 3N/4 correspond à f = 0,75 donc Q3 = [ 4 ; 5 ] N/2 correspond à f = 0,5 donc Med = [ 2 ; 4 ] On ne peut faire la moyenne d’intervalle, donc on les remplace par leur valeur centrale qui correspond à l’hypothèse que toutes les valeurs sont réparties équitablement autour de la valeur centrale de l’intervalle, et on remplace leur effectif par leur fréquence. Σ ni xi ,45(1) + 0,17(3) + 0,19(4,5) + 0,08(5,5) + 0,11(7) xmoy = = = 3,025 Σ ni