Produit scalaire dans le plan

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1 Produit scalaire dans le plan
Géométrie Chapitre n°1 Produit scalaire dans le plan Auteur : M. ABDELBASSET LAATAOUI E – mail :

2 Plan de cours Produit scalaire Propriétés Produit scalaire et orthogonalité Expression analytique Applications : lignes de niveaux

3 1 ) PRODUIT SCALAIRE A) DEFINITION Ce n’est pas une multiplication …

4 Le produit scalaire de deux vecteurs est un réel.

5 O H A B H O A

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8 Exercice n°1 Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB = 3 ( dans l’unité de longueur choisie ) . Les points E, F et D sont les milieux des côtés. On a alors : 

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10 Signe du produit scalaire :
B ) REMARQUES Signe du produit scalaire : On déduit facilement le signe du produit scalaire suivant la nature de l’angle En effet les normes des deux vecteurs et sont positives . On en déduit donc que est du signe de cos Si < 90° , cos > 0 et > 0 Si = 90° ( c'est-à-dire ) , cos = 0 et = 0 Si 90° < ° , cos < 0 et < 0 Le produit scalaire de deux vecteurs et ( dépend de leur norme : le cosinus d’un angle est un réel compris entre 1 et – 1 . On a donc : ou bien

11 Un cas agréable : les vecteurs colinéaires 
Si et sont colinéaires et de même sens, alors et cos Ainsi Si et sont colinéaires et de sens contraire , alors et cos Ainsi Produit scalaire et projection orthogonale : Si C’ et D’ sont les projetés orthogonaux de C et D sur ( AB ) , alors : Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs , on peut remplacer l’un deux par son projeté orthogonal sur la droite qui porte l’autre.

12 Activité 2 page 7

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14 2) Propriétés A) Opérations vectorielles

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16 Preuve

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19 Exercice n° 2

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21 B) Carré scalaire et norme

22 Remarque :

23 Exemple : Soit ABC un triangle tel que AB = 4, AC = 5 et BC = 6.

24 3) Produit scalaire et orthogonalité
Preuve

25 Exercice n°3 C D B A

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27 Activité 2 page 10

28 4) Expression analytique du produit scalaire
Activité 1 page 12

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30 Activité 3 page 12

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33 5) Applications du produit scalaire : Lignes de niveaux
Activité 1 page 13

34 - AH x AB = -1.5

35 (D) Est le ligne de niveau -1.5 de f

36 Activité 2 page 13

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38 Activité 3 page 13

39 Où H est le projeté orthogonal de M sur (AB)

40 (F) est la perpendiculaire à (AB) en H

41 Activité 4 page 13

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43 Produit scalaire dans le plan
FIN