On a une infinité d’angles remarquables !

Présentation au sujet: "On a une infinité d’angles remarquables !"— Transcription de la présentation:

1 On a une infinité d’angles remarquables !
Deux réels au même endroit, mais différents : a ≠ b a b

2 On a une infinité d’angles remarquables !
Deux réels au même endroit, mais différents : a ≠ b a b b = a + k2π avec k un nombre entier ( positif ou négatif )

3 On a une infinité d’angles remarquables !
Deux réels au même endroit, mais différents : x cos ( x + k2π ) = cos x x + k2π sin ( x + k2π ) = sin x k est un nombre entier ( positif ou négatif ), + k2π est une formule classique donc il n’est pas obligatoire de préciser que k est un entier.

4 Deux points du cercle trigo, ayant la même ordonnée : x π 0
π

5 Deux points du cercle trigo, ayant la même ordonnée :
deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π-x x π

6 Deux points du cercle trigo, ayant la même ordonnée :
deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π-x x cos ( π – x ) = - cos x π sin ( π – x ) = sin x

7 Deux points symétriques par rapport à l’origine : x π 0
π

8 Deux points symétriques par rapport à l’origine :
deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x x π π + x

9 Deux points symétriques par rapport à l’origine :
deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x x π cos ( π + x ) = - cos x π + x sin ( π + x ) = - sin x

10 Deux points ayant la même abscisse : x

11 Deux points ayant la même abscisse :
deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x x - x

12 Deux points ayant la même abscisse :
deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x x cos ( – x ) = cos x 0 sin ( – x ) = - sin x - x .

13 Deux points symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle droit :
π/2 x .

14 Deux points symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle droit :
deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/ π/2-x x

15 Deux points symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle droit :
deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/ π/2-x x cos ( π/2 – x ) = sin x sin ( π/2 – x ) = cos x

16 Deux points obtenus par la même rotation des réels 0 et π/2 : π/2 x

17 Deux points obtenus par la même rotation des réels 0 et π/2 :
deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/2+x π/2 x

18 Deux points obtenus par la même rotation des réels 0 et π/2 :
deux arcs de même longueur, égale à x – 0 = x π/2+x π/2 x cos ( π/2 + x ) = - sin x sin ( π/2 + x ) = cos x

19 3°) Formule valable pour tout réel x :
Le repère est orthonormé, donc x

20 3°) Formule valable pour tout réel x :
Le repère est orthonormé, donc Pythagore x (cos x)² + (sin x)² = 1²

21 3°) Formule valable pour tout réel x :
Le repère est orthonormé, donc Pythagore x (cos x)² + (sin x)² = 1² cos² x + sin² x = 1 Convention d’écriture : cos² x = ( cos x )² ≠ cos (x²) Elle permet d’en déduire un cos ou un sin à partir de l’autre, ou de vérifier deux valeurs exactes.

22 Application : 13π - √3 - 1 On connaît cos = 12 2 √2 Déterminez son sinus ( sans calculatrice ).

23 Application : 13π - √3 - 1 A = cos A = 12 2 √2 cos² A + sin² A = 1 - √3 – 1 ² sin² A = 1 - cos² A = 1 – 2 √2

24 A = 13π / 12 - √3 – 1 ² √3 + 1 sin² A = 1 – = 1 – 2 √2 4× √ √3 … ² = – = = …

25 4 - 2 √3 3 - 2 √3 + 1 √3 – 1 ² sin² A = = = 8 4×2 2 √2 donc sin A = …

26 A = 13π / 12 4 - 2 √ √3 + 1 √3 – 1 ² sin² A = = = 8 4×2 2 √2 √3 – 1 donc sin A = 2 √2

27 A = 13π / 12 4 - 2 √ √3 + 1 √3 – 1 ² sin² A = = = 8 4×2 2 √2 √3 – 1 √3 – 1 donc sin A = ou sin A = - 2 √2 2 √2

28 √3 – 1 √3 – 1 sin A = ou sin A = - 2 √2 2 √2 13π/12 = 0 + π + 2π/24
√3 – √3 – 1 sin A = ou sin A = - 2 √ √2 13π/12 = 0 + π + 2π/24 Je pars de 0, j’avance de 0,5 tour, puis de 1/6 de ¼ de tour :

29 √3 – 1 √3 – 1 sin A = ou sin A = - 2 √2 2 √2 13π/12 = 0 + π + 2π/24
√3 – √3 – 1 sin A = ou sin A = - 2 √ √2 13π/12 = 0 + π + 2π/24 Je pars de 0, j’avance de 0,5 tour, puis de 1/6 de ¼ de tour : sin A < 0

30 Exercice 4 : résoudre sin x = - ½
…

31 Exercice 4 : résoudre sin x = - ½
On place sin x = - ½ : le sinus est l’ordonnée du point.

32 Exercice 4 : résoudre sin x = - ½
On place sin x = - ½ : le sinus est l’ordonnée du point. Il y 2 points d’ordonnée – ½, donc 2 réels a et b qui conviennent. b a

33 Exercice 4 : résoudre sin x = - ½
On place sin x = - ½ : le sinus est l’ordonnée du point. Il y 2 points d’ordonnée – ½, donc 2 réels a et b qui conviennent. On veut résoudre, donc déterminer des valeurs exactes, que l’on trouvera à partir des angles remarquables. Dans le tableau des angles remarquables, celui qui s’approche le plus est : sin π/6 = + ½ ( il n’y a pas de négatifs dans le tableau des angles π/6 remarquables, qui sont tous dans le 1er quart de cercle en haut à droite ). b a

34 Exercice 4 : résoudre sin x = - ½
sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 sens trigo π/6 0 b a

35 Exercice 4 : résoudre sin x = - ½
sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 π/6 On a par symétrie trajet = trajet donc b = π + trajet = 7π/6 π 0 ou : b = π/6 + π b a

36 Exercice 4 : résoudre sin x = - ½
sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 π/6 On a par symétrie trajet = trajet donc b = π + trajet = 7π/ π On aurait aussi pu faire : b = π/6 + π = 7π/6 et a = π/6 + 10π/6 = 11π/6 b a

37 Exercice 4 : résoudre sin x = - ½
sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 π/6 On a par symétrie trajet = trajet donc b = π + trajet = 7π/ π On aurait aussi pu faire : b = π/6 + π = 7π/6 ou b = a - 4π/6 = - 5π/6 qui est différent mais au bon endroit. b a

38 Exercice 4 : résoudre sin x = - ½
sin x = - ½ et sin π/6 = + ½ On va déterminer a et b selon le trajet pour aller de l’angle remarquable aux réels a et b, et les longueurs des trajets vont être obtenus en utilisant les symétries de la figure : le réel 0 est placé à mi-distance sur l’arc, trajet = π/6 – 0 = π/6 donc trajet = π/6 donc a = 0 – trajet = - π/6 π/6 On a par symétrie trajet = trajet donc b = π + trajet = 7π/ π b a S = { - π/6 + k2π ; 7π/6 + k2π }

39 Exercice 4 : résoudre sin x = - ½
Solutions : si j’ajoute un nombre entier de tours à un réel, le nouveau réel est au même endroit, donc l’ensemble des solutions est tous les x de S = { - π/6 + k2π ; 7π/6 + k2π } π/6 π 7π/ π/6

40 Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2
…

41 Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2
On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. a b

42 Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2
On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. Pour les déterminer en valeurs exactes, il faut utiliser un angle remarquable. cos π/4 = + √2 / 2 a π/4 b

43 Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2
On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. Pour les déterminer en valeurs exactes, il faut utiliser un angle remarquable. cos π/4 = + √2 / 2 et utiliser les symétries : a π/4 π 0 b

44 Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2
On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. Pour les déterminer en valeurs exactes, il faut utiliser un angle remarquable. cos π/4 = + √2 / 2 et utiliser les symétries : trajet t = π/4 – 0 = π/4 donc a = π – t = π – π/4 = 3π/4 et b = a + t + t = π + t = 5π/4 a π/4 π 0 b

45 Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2
On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. Pour les déterminer en valeurs exactes, il faut utiliser un angle remarquable. cos π/4 = + √2 / 2 et utiliser les symétries : trajet t = π/4 – 0 = π/4 donc a = π – t = π – π/4 = 3π/4 et b = a + t + t = π + t = 5π/ a π/4 π S = { 3π/4 ; 5π/4 } b

46 Exercice 4 bis : résoudre cos x = - √2 / 2
On place - √2 / 2 : le cosinus est l’abscisse du point. Il y a deux réels a et b qui sont solutions. Pour les déterminer en valeurs exactes, il faut utiliser un angle remarquable. cos π/4 = + √2 / 2 et utiliser les symétries : trajet t = π/4 – 0 = π/4 donc a = π – t = π – π/4 = 3π/4 et b = a + t + t = π + t = 5π/ a π/4 Lorsqu’on ajoute un nombre entier de tours on est au même endroit : π S = { 3π/4 + k2π ; 5π/4 + k2π } b