ACT2025 - Cours 20 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingtième cours.

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1 ACT2025 - Cours 20 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingtième cours

2 ACT2025 - Cours 20 Rappel: Table damortissement dans le cas où les paiements sont égaux et les périodes de capitalisation et de paiement ne coïncident pas

3 ACT2025 - Cours 20 Rappel: Table damortissement dans le cas où les paiements sont égaux et les périodes de capitalisation et de paiement ne coïncident pas Fonds damortissement

4 ACT2025 - Cours 20 Rappel: Table damortissement dans le cas où les paiements sont égaux et les périodes de capitalisation et de paiement ne coïncident pas Fonds damortissement Montant net du prêt

5 ACT2025 - Cours 20 Rappel: Table damortissement dans le cas où les paiements sont égaux et les périodes de capitalisation et de paiement ne coïncident pas Fonds damortissement Montant net du prêt Montant net dintérêt payé

6 ACT2025 - Cours 20 Pour un prêt remboursé par n paiements égaux pour lequel les périodes de capitalisation de lintérêt et de paiement ne coïncident pas. Il suffit de revenir au principe de base. Deux options soffrent à nous, soit de convertir le taux dintérêt à un dont la période de capitalisation est la période de paiement, soit de développer la théorie. Rappel:

7 ACT2025 - Cours 20 Pour un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période de paiement. Supposons quil y a k périodes de capitalisation dans une période de paiement. Notons par i: le taux dintérêt du prêt par période de capitalisation et par n: la durée du prêt en période de capitalisation. Le montant emprunté L est alors Rappel:

8 ACT2025 - Cours 20

9 Pour un prêt remboursé par des paiements égaux. Supposons quil y a m périodes de paiement dans une période de capitalisation. Notons par i: le taux dintérêt du prêt par période de capitalisation et par n: la durée du prêt en période de capitalisation. Les paiements du prêt sont de (1/m) dollars et il y a mn paiements. Le montant emprunté L est alors Rappel:

10 ACT2025 - Cours 20

11 Dans certains prêts, lemprunteur verse à intervalles réguliers lintérêt dû et remboursera complètement le principal L à léchéance du prêt. Pour accumuler le montant du prêt à léchéance, lemprunteur met en place un fonds dans lequel il dépose à intervalles réguliers des versements de façon telle quil accumulera le principal L. Ce fonds est le fonds daccumulation (« sinking fund »). Rappel:

12 ACT2025 - Cours 20 Le montant accumulé dans le fonds peut à tout moment servir à rembourser une partie du prêt. Conséquemment le montant net du prêt est le principal prêté initialement auquel nous soustrayons la valeur accumulée dans le fonds. Rappel:

13 ACT2025 - Cours 20 Le montant net dintérêt payé pendant une période est le montant dintérêt, auquel nous soustrayons lintérêt gagné par le fonds peut à tout moment servir à rembourser une partie du prêt. Rappel:

14 ACT2025 - Cours 20 Considérons un prêt de 1$, qui sera remboursé par un paiement de 1$ après n périodes de capitalisation. Le taux dintérêt est le taux i par période de capitalisation. Lintérêt est payé à la fin de chaque période de capitalisation. Au même moment, un dépôt est fait dans un fonds rémunéré au taux dintérêt j. Ces dépôts sont tous égaux et la valeur accumulée est 1$ après n périodes de capitalisation. La période de capitalisation de lintérêt du fonds est la même que celle du prêt. Nous obtenons le tableau suivant. Rappel:

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16 Nous aimerions déterminer le montant total versé (intérêt et dépôt dans le fonds damortissement) par lemprunteur à partir du montant emprunté.

17 ACT2025 - Cours 20 Notons par la valeur actuelle dune annuité consistant en des paiements de 1$ à la fin de chaque période pour n périodes telle que est le montant dintérêt payé sur le prêt et est le montant versé dans un fonds à chaque période.

18 ACT2025 - Cours 20 Nous obtenons alors léquation suivante: Conséquemment

19 ACT2025 - Cours 20 Reprenons lexemple 5 du 19 e cours. Un prêt de 75 000$ est remboursé par un versement de 75 000$ après huit ans et des versements annuels dintérêt faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Le taux dintérêt est le taux effectif dintérêt i = 5% par année. Ainsi lemprunteur paiera 3750$ dintérêt par année. Un fonds damortissement est mis en place pour accumuler le 75 000$ à la fin de la huitième année. Ce fonds est rémunéré au taux effectif dintérêt j = 3% par année. Des dépôts de 8434.23 dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Ainsi à chaque année, lemprunteur versera 12184.23$ correspondant à lintérêt sur le prêt et au dépôt dans le fonds. Exemple 1:

20 ACT2025 - Cours 20 Si nous utilisons maintenant ce que nous venons de développer et que nous notons par R: le montant total à verser par lemprunteur à chaque année pour lintérêt dû et le dépôt dans le fonds damortissement, alors nous avons léquation de valeur Nous obtenons alors Exemple 1: (suite)

21 ACT2025 - Cours 20 Donc R = 12 184.23$. Nous obtenons alors

22 ACT2025 - Cours 20 Dans le cas où le taux dintérêt dun prêt i est égale au taux dintérêt du fonds damortissement j, alors la table damortissement dun prêt au taux dintérêt i et dont les paiements sont égaux est la même que celle du fonds damortissement pour un prêt au taux dintérêt i et dun fonds damortissement rémunéré au taux i et dont les paiements dintérêt et les dépôts dans le fonds damortissement sont égaux. Nous avons les égalités suivantes:

23 ACT2025 - Cours 20 Le montant net dintérêt payé à la fin de la k e période dans le cas du fonds damortissement est égal à la portion dintérêt payé dans le k e paiement dans la table damortissement du prêt.

24 ACT2025 - Cours 20 Le montant net du prêt après le k e dépôt dans le cas du fonds damortissement est égal au solde restant après le k e paiement dans la table damortissement.

25 ACT2025 - Cours 20 Si i = j, nous avons aussi que et le total versé (intérêt dû et dépôt dans le fonds damortissement) dans le cas du fonds damortissement est égal au paiement dans le cas de la table damortissement.

26 ACT2025 - Cours 20 Nous pouvons maintenant expliquer la formule À droite, il sagit du total versé (intérêt dû et dépôt dans le fonds damortissement) dans le cas du fonds damortissement et, à gauche, du paiement dans le cas de la table damortissement.

27 ACT2025 - Cours 20 Nous allons maintenant illustrer cette équivalence entre la table damortissement dun prêt et celle dun fonds damortissement lorsque i = j.

28 ACT2025 - Cours 20 Considérons un prêt de 10 000$ remboursé par 4 versement égaux à la fin de chaque année, le premier versement étant fait un an après le prêt. Le taux dintérêt est le taux effectif dintérêt i = 6% par année. Ainsi lemprunteur paiera 2885.91$ par année. La table damortissement est Exemple 2:

29 ACT2025 - Cours 20 Période de paiement Paiement Portion dintérêt Portion de principal Solde restant 010 000 12885.916002285.917714.09 22885.91462.852423.065291.03 32885.91317.462568.452722.58 42885.91163.352722.560 Exemple 2: (suite)

30 ACT2025 - Cours 20 Considérons maintenant un prêt de 10 000$ remboursé par un versement de 10000$ à la fin de la quatrième année. À la fin de chaque année, lintérêt dû est payé au taux dintérêt de i = 6% par année, à savoir 600$ sont payés. Au même moment, des dépôts de 2285.91$ sont faits dans un fonds damortissement. Ce dernier est rémunéré au taux effectif dintérêt i = 6% par année. Ainsi lemprunteur paiera au total 2885.91$ par année. La table de ce fonds est Exemple 2: (suite)

31 ACT2025 - Cours 20 Période Intérêt payé Versement dans le fonds Intérêt gagné par le fonds Intérêt net Valeur accumulée Montant net du prêt 010000 16002285.9106002285.917714.09 26002285.91137.15462.854708.975291.03 36002285.91282.54317.467277.422722.58 46002285.91436.65163.359999.980

32 ACT2025 - Cours 20 Un prêt de 5 000 000$ est remboursé par un versement de 5 000 000$ après dix ans et des versements annuels dintérêt faits à la fin de chaque année pendant 10 ans. Le taux dintérêt est le taux effectif dintérêt i = 4% par année. Un fonds damortissement est mis en place pour accumuler le 5 000 000$ à la fin de la dixième année. Ce fonds est rémunéré au taux effectif dintérêt j = 3% par année. Les dépôts seront faits à la fin de chaque année pendant 10 ans, le premier est de R dollars et les paiements subséquents augmenteront de 5% avec chaque année. Exemple 3:

33 ACT2025 - Cours 20 Ainsi lemprunteur paiera 5 000 000 (0.04) = 200 000$ dintérêt par année. Déterminons le montant net du prêt après le 6 e année, ainsi que le montant net dintérêt payé à la fin de la 8 e année. Exemple 3: (suite)

34 ACT2025 - Cours 20 Déterminons premièrement R. Les dépôts dans le fonds forment une suite géométrique et nous avons alors et nous obtenons alors que R = 350 903.98$ Exemple 3: (suite)

35 ACT2025 - Cours 20 Le montant net du prêt est le montant emprunté, i.e. 5 000 000$, auquel nous soustrayons le montant accumulé dans le fonds damortissement. Donc le montant net du prêt à la fin de la 6 e année est Exemple 3: (suite)

36 ACT2025 - Cours 20 Le montant net dintérêt payé est le montant dintérêt, i.e. 200 000$, auquel nous soustrayons le montant dintérêt gagné par le fonds damortissement pendant la période. Donc le montant net dintérêt payé à la fin de la 8 e année est Exemple 3: (suite)

37 ACT2025 - Cours 20 CHAPITRE VII Obligations

38 ACT2025 - Cours 20 Une obligation est un titre rapportant de lintérêt et dans lequel lemprunteur, appelé lémetteur, sengage à verser un montant déterminé à une date future aux prêteurs, appelés les souscripteurs. Les obligations dépargne sont des obligations de capitalisation ou daccumulation. Lemprunteur rembourse le principal et les intérêts à léchéance ou parfois au moment où le souscripteur veut être remboursé.

39 ACT2025 - Cours 20 Nous allons maintenant décrire ce quest une obligation négociable. Lémetteur sengage à verser de lintérêt à intervalles réguliers et à rembourser un montant déterminé à une date future aux souscripteurs. Celles-ci sont émises dans un marché primaire et ensuite sont transigées sur un marché secondaire. Un investisseur peut acheter ou vendre des obligations via son courtier sur le marché secondaire.

40 ACT2025 - Cours 20 Ces obligation sont souvent dites obligations avec coupon. Lémetteur sengage à verser aux souscripteurs lintérêt à intervalles réguliers (ce sont les coupons) et la valeur de remboursement de lobligation à une date déchéance déterminée.

41 ACT2025 - Cours 20 Nous voulons maintenant relier le prix de lobligation à son taux de rendement. Il nous faut donc fixer quelques notations.

42 ACT2025 - Cours 20 P désignera le prix de lobligation. Cest ce que paie le souscripteur Notation:

43 ACT2025 - Cours 20 P désignera le prix de lobligation. Cest ce que paie le souscripteur F désignera la valeur nominale de lobligation (« face amount » ou « par value » en anglais). Il sagit de la valeur inscrite sur lobligation et qui sert à déterminer le montant dintérêt à verser régulièrement. Notation:

44 ACT2025 - Cours 20 P désignera le prix de lobligation. Cest ce que paie le souscripteur F désignera la valeur nominale de lobligation (« face amount » ou « par value » en anglais). Il sagit de la valeur inscrite sur lobligation et qui sert à déterminer le montant dintérêt à verser régulièrement. C désignera la valeur de remboursement, i.e. le montant remboursé à léchéance. En général, C = F et nous disons que lobligation est remboursé au pair. Il peut arriver que C F. Notation:

45 ACT2025 - Cours 20 r est le taux dintérêt par période de capitalisation de lintérêt (ou encore par période de paiement des coupons). Cest le taux facial. Il est indiqué sur lobligation et sert à déterminer le montant dintérêt que lémetteur doit verser régulièrement aux souscripteurs. Ce peut être un taux nominal. En Amérique du Nord, ce taux est souvent un taux nominal capitalisé semestriellement, alors quen Europe il sagit plutôt dun taux effectif. Notation: (suite)

46 ACT2025 - Cours 20 r est le taux dintérêt par période de capitalisation de lintérêt (ou encore par période de paiement des coupons). Cest le taux facial. Il est indiqué sur lobligation et sert à déterminer le montant dintérêt que lémetteur doit verser régulièrement aux souscripteurs. Ce peut être un taux nominal. En Amérique du Nord, ce taux est souvent un taux nominal capitalisé semestriellement, alors quen Europe il sagit plutôt dun taux effectif. Fr est le montant dintérêt versé périodiquement. Ce montant est appelé le coupon. Notation: (suite)

47 ACT2025 - Cours 20 g est le taux modifié dintérêt par période de capitalisation de lintérêt (ou encore par période de paiement des coupons). g est défini par léquation Cg = Fr. Si lobligation est remboursé au pair, alors g = r. Notation: (suite)

48 ACT2025 - Cours 20 g est le taux modifié dintérêt par période de capitalisation de lintérêt (ou encore par période de paiement des coupons). g est défini par léquation Cg = Fr. Si lobligation est remboursé au pair, alors g = r. i désignera le taux de rendement de lobligation par période de paiement des coupons en supposant que lobligation est détenue jusquà sa date de maturité ou de rédemption et que les versements de lintérêt (i.e. les coupons) sont réinvestis aussi au taux i. En général, ce taux est exprimé comme un taux nominal pour lequel la période de capitalisation est celle des coupons. Notation: (suite)

49 ACT2025 - Cours 20 n est le durée de vie de lobligation, i.e. le nombre de périodes de capitalisation du taux de rendement jusquà la date de maturité ou de rédemption de lobligation. Nous supposerons premièrement que n est bien déterminé. Nous discuterons plus tard le cas des obligations rachetables (« callable bonds »). Dans ce dernier cas, il y a des dates possibles de rachat par lémetteur de lobligation. Ceci aura aussi des incidences sur le taux de rendement. Notation: (suite)

50 ACT2025 - Cours 20 n est le durée de vie de lobligation, i.e. le nombre de périodes de capitalisation du taux de rendement jusquà la date de maturité ou de rédemption de lobligation. Nous supposerons premièrement que n est bien déterminé. Nous discuterons plus tard le cas des obligations rachetables (« callable bonds »). Dans ce dernier cas, il y a des dates possibles de rachat par lémetteur de lobligation. Ceci aura aussi des incidences sur le taux de rendement. K désignera la valeur actuelle de la valeur de remboursement C de lobligation à la date de maturité ou de rédemption calculée au taux de rendement i, cest-à- dire K = C n où = (1 + i) -1. Notation: (suite)

51 ACT2025 - Cours 20 G est le montant de base de lobligation, i.e. le montant qui investit au taux de rendement i engendre les mêmes coupons. Donc G est défini par Gi = Fr. Notation: (suite)

52 ACT2025 - Cours 20 Pour une obligation, F, C, r et n sont fixés. Le prix P et le taux de rendement i varient selon les conditions du marché. Intuitivement si P augmente, alors i diminue et inversement si P diminue, alors i augmente.

53 ACT2025 - Cours 20 La formule basique reliant le prix P et le taux de rendement i immédiatement après le paiement dun coupon est ou encore