Démonstration : Les médianes d’un triangle

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1 Démonstration : Les médianes d’un triangle
sont concourantes.

2 A B C Définition : Dans un triangle, une médiane est un segment joignant un sommet au milieu du côté opposé. C’ B’ Il y a trois médianes dans un triangle : A’ - celle issue de A ; - celle issue de B ; - celle issue de C ;

3 A B C A’ B’ C’ Les trois médianes de CE triangle semblent concourantes.

4 Elles semblent concourantes pour TOUS les triangles, mais il faut le démontrer pour en être certains.

5 Reprenons le triangle ABC et deux de ses médianes :
on notera G leur point d’intersection. A B C A’ B’ C’ G On construit aussi : N - M, symétrique de G par rapport à A’ ; - N, symétrique de G par rapport à B’ ; M

6 est un parallélogramme car :
B C A’ B’ C’ G M N ANCG est un parallélogramme car : ses diagonales [AC] et [GN] se coupent en leur milieu B’. Donc [AN] et [GC] sont parallèles et de même longueur. Pour la même raison, BMCG est également un parallélogramme. Donc [GC] et [BM] sont parallèles et de même longueur. Ainsi [BM] et [AN] sont parallèles et de même longueur, ce qui signifie que ANMB est un parallélogramme.

7 A ANMB est un parallélogramme de centre G, donc il est le milieu de [AM] et de [BN]. Donc, dans le triangle ABN, N on sait que G est le milieu de [BN] et que C’ est le milieu de [AB], ce qui signifie que : C’ B’ G (C’G)//(AN) Or, on sait aussi, dans le parallélogramme ANCG que : M B A’ (GC)//(AN) C Les droites (GC) et (GC’) sont donc confondues. Cette dernière conclusion permet de dire que G appartient à la droite (CC’), c’est à dire qu’il est sur la troisième médiane.

8 ANMB est un parallélogramme de centre G, donc G est le milieu de [BN].
Nous venons de démontrer que les trois médianes d’un triangle sont concourantes. Cherchons maintenant à déterminer la position de G. A B C A’ B’ C’ G M ANMB est un parallélogramme de centre G, donc G est le milieu de [BN]. N Ainsi BG = GN = BN/2 Or, B’ est le milieu de [GN] donc GN = 2GB’. Ainsi on obtient : BG = 2 GB’ Autrement dit : BB’=BG+GB’=3GB’ Ou encore : BG = 2BB’/3 Donc G est situé au 2/3 de [BB’] en partant de B.

9 Conclusion : A B’ C G C’ A’ 1) Les trois médianes d’un triangle sont concourantes au centre de gravité du triangle. B 2) Le centre de gravité du triangle est situé aux deux tiers de la médiane en partant du sommet. C’est à dire :