Principales distributions théoriques

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1 Principales distributions théoriques

2 Distribution discrète
Plan Distribution discrète Loi Binomiale Loi de Poisson Distribution continue La loi Normale La loi de Student Les trois premières lois permettent de décrire le monde réel; La dernière, la loi de Student correspond à la loi suivie par des VA créées à partir d’autres variables

3 La loi binomiale Définition de la loi et caractéristiques
N épreuves indépendantes de même type A chaque événement est associé une probabilité p de réalisation X = VA définie comme le nb de succès au cours d’une suite de n épreuves indépendantes X compris entre 0 et n Fn = X/n = VA définie comme la fréquence observable de réalisation de l’événement étudié au cours de n épreuves

4 La loi binomiale Forme de la loi : L(X) = B(n,p) Propriétés Exemple
la probabilité de panne journalière d’une machine est de 0.02 La VA définie comme le nb de pannes survenues au cours de 10 j suit une loi binomiale B(10; 0.02) Événement élémentaire : tomber en panne Probabilité de l’événement élémentaire est tjs la même = p =0.02 Les n épreuves : les 10 jours d’observation La loi du nb de pannes observées sur 10 jours d’observation suit une loi binomiale B(10;0.02)

5 La loi binomiale en proportion
Forme de la loi : L(X) = L(fn) = B(n,p) La VA n’est plus X mais X/n L(X) = L(fn) Propriétés E(fn) = p V(fn) = p(1-p)/n Exemple Exemple : Base de données de 500 clients Événement élémentaire : passer une commande La probabilité d’obtenir une commande est de p=0.1 soit 10% La probabilité d’observer 15% de commandes sur 60 courriers envoyés est de : On a 6.9% de chance d’avoir 15% de commandes sur 60 courriers envoyés

6 La loi de Poisson Forme de la loi : L(X) = P(l) Propriétés importantes
E(X) = V(X) = l 2. Cdt nécessaire et suffisante : 3. Si L(X1) = P(l1) et L(X2) = P(l2) X1et X2 ,deux VA indépendantes alors L(X1+X2) =P(l1 +l2)

7 La loi de Poisson Calcul des probabilités (l = 6) P(X= 9) =
P(X=9) = cf table p512 => P(X= 9) = Px<9) = P(X=<9) = P(X<10) = P(X>9) = 1-P(=>9) = 1- P(X<10) = = P(X>=9) = 1-PX<9) = =

8 La loi Normale Nombreuses causes indépendantes, à effet additif
2 paramètres seulement pour caractériser la loi La moyenne L’écart-type

9 La loi Normale La variable T = suit une loi N(0;1)
Calcul de P(X<x) = ? Du fait de la symétrie de la loi normale P(T< -t) = P(t> t) P(T>-t) = P(T< t) P(t1<T<t2) = P(T<t2) - P(T<t1) Applications : X = N(5236;1972) Calcul de P(X > 6000) Calcul de P(X < 6000) Calcul de P(4000<X<7000) 1-P(X> 6000) = = P(T>0,39) = ? On lit la réponse sur la table 3-A p 517 => P(T>0,39) = 2-P(X< 6000) =P(T<0.39) = par lecture directe dans la table 3B p 518 3-P(4000<X<7000) = P(-0.62<T<0.90) = ? La lecture de la table 3

10 La variable T = suit une loi N(0;1)
La loi Normale La variable T = suit une loi N(0;1) On cherche un intervalle [x1,x2] centré sur la moyenne tel que P(x1<X<x2) = c%, avec c connu Méthode: On centre et réduit La VA X On rechercher t2 dans la table 3- C tel que P(T>t2) = (1-c%)/2 bornes = + t2 x s + m et -t2 x s + m Exemple Déterminer l’intervalle bilatéral (centré sur la moyenne) qui contient 90% de chèques

11 La loi Normale Propriétés Autres propriétés importantes
E(X) = m et V(X) =s² Autres propriétés importantes

12 La loi Normale Calcul de P(X=x) à partir de la distribution continue ?
P(X=x) = f(x) dx ; on visualise la probabilité ponctuelle par le rectangle f(x) * dx avec dx= 1

13 La loi Normale Calcul de P(X=x) à partir de la distribution continue ?
P(X=x) = f(x) dx ; on visualise la probabilité ponctuelle par le rectangle f(x) x dx avec dx= 1

14 La loi Normale Approximation de la loi binomiale par la loi Normale
Calcul de P(X=x) à partir de la distribution continue de la loi normale ? P(X=x) = avec t = Calcul de P(X<x) et de P(X<x) on calcule t : P(X<x) = P(T< ) P(X>x) = P(T> )

15 La loi Normale Approximation de la loi de Poisson par la loi Normale
Si l >30, la loi de Poisson peut être approximée par une loi Normale de paramètres

16 La loi de Student Loi utilisée à la place de la loi normale lorsque le paramètre s est inconnu et fait l’objet d’une estimation Elle dépend de 3 paramètres : m, la moyenne - s, l’écart-type n, le nb de degrés de liberté : nb d’informations non redondantes utilisées Elle est tabulée Table p523 et 524 Dès que n >30, la loi de Student peut être approximée par la loi normale de paramètre m et s