20/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Sixième cours.

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1 20/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Sixième cours

2 20/09/07 Rappel du dernier cours Échéance moyenne

3 20/09/07 Rappel du dernier cours Échéance moyenne Échéance moyenne approchée

4 20/09/07 Rappel du dernier cours Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital

5 20/09/07 Rappel du dernier cours Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72

6 20/09/07 Rappel du dernier cours Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital

7 20/09/07 Rappel du dernier cours Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital Règle de 114

8 20/09/07 Rappel du dernier cours Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital Règle de 114 Méthode de bissection

9 20/09/07 Exemple 1: Dans un prêt, Antoine emprunte 10000$ à Barnabé. Il remboursera ce prêt en faisant trois versements: le premier au montant de 4000$ à la fin de la 3 e année, le second au montant de 5000$ à la fin de la 4 e année et 3000$ à la fin de la 6 e année. Déterminer le taux d’intérêt par la méthode de bissection.

10 20/09/07 Exemple 1:(suite) Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

11 20/09/07 Exemple 1:(suite) Si maintenant nous écrivons l’équation de valeurs à la date de comparaison t = 6, nous obtenons

12 20/09/07 Exemple 1:(suite) Si maintenant nous écrivons l’équation de valeurs à la date de comparaison t = 6, nous obtenons Ceci peut être réécrit sous la forme

13 20/09/07 Exemple 1:(suite) Ainsi le taux d’intérêt recherché est un zéro de la fonction

14 20/09/07 Exemple 1:(suite) Pour utiliser la méthode de bissection, il nous faut premièrement déterminer deux nombres sont de signes opposés. Ici nous devons procéder par tatonnement.

15 20/09/07 Exemple 1:(suite) En calculant aux taux de 4.3% par année et 4.9% par année, nous remarquons que et

16 20/09/07 Exemple 1:(suite) Conséquemment il y aura un zéro entre 4.3% et 4.9%. Ceci est la première étape de la méthode. Nous aurons pu prendre d’autres valeurs que 4.3% et 4.9%. Cependant il est important de vérifier que la fonction f évaluée pour ces valeurs connait un changement de signe.

17 20/09/07 Exemple 1:(suite) La deuxième étape de la méthode est de calculer le point milieu et évaluons la fonction f à ce point milieu.

18 20/09/07 Exemple 1:(suite) Dans notre cas, nous avons que le point milieu est et évaluons la fonction f à ce point milieu.

19 20/09/07 Exemple 1:(suite) Comme f n’a pas le même signe lorsque évalué à a et à b, alors seulement un et un seul des extrémités du segment [a, b]: a ou b est tel que lorsque nous évaluons à la fonction f a ce point, cette valeur évaluée a son signe différent de celui de

20 20/09/07 Exemple 1:(suite) Si ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode avec ces deux points: a et (a + b)/2 Si ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode avec ces deux points: (a + b)/2 et b.

21 20/09/07 Exemple 1:(suite) Nous avons dans notre exemple

22 20/09/07 Exemple 1:(suite) Nous avons dans notre exemple Comme f prend des valeurs de signes différents à 4.3% et 4.6%, nous poursuivons la méthode avec le segment [4.3%, 4.6%] en répétant l’étape 2.

23 20/09/07 Exemple 1:(suite) Nous avons le tableau suivant: xf(x) 4.3%-103.98 4.9%205.27 4.6% = (4.3% + 4.9%)/249.19 4.45% = (4.3% + 4.6%)/2-27.76 4.525% = (4.45% + 4.6%)/210.63 4.4875% = (4.45% + 4.525%)/2-8.59 4.50625% = (4.4875% + 4.525%)/21.01 4.496875% = (4.4875% + 4.50625%)/2-3.79 4.5015625% = (4.496875% + 4.50625%)/2-1.39 4.50390625% = (4.5015625% + 4.50625%)/2-0.19

24 20/09/07 Exemple 1:(suite) Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le taux recherché est approximativement Du tableau nous ne pouvons être plus précis pour la décimale suivante, c’est-à-dire nous savons que

25 20/09/07 Exemple 1:(suite) Mais nous ne pouvons pas pour l’instant répondre si Pour être en mesure de préciser cette troisième décimale, il aurait fallu poursuivre la méthode jusqu’au moment où celle-ci ne changera pas avec les étapes subséquentes.

26 20/09/07 Exemple 1:(suite) En poursuivant, nous obtiendrions le taux

27 20/09/07 Pour clore ce chapitre, il nous reste à considérer les différentes façons de mesurer le temps dans le cas de prêt ou de placement de courte durée.

28 20/09/07 Méthode « actuel/actuel »: Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de l’investissement et une année est de 365 jours. Ainsi

29 20/09/07 Méthode « 30/360 »: Le temps t est déterminé par la convention que chaque mois a 30 jours et chaque année 360 jours

30 20/09/07 Méthode « 30/360 »: (suite) où A 1 (resp. A 2 ) est l’année du début (resp. de la fin) de l’investissement, M 1 (resp. M 2 ) est le mois du début (resp. de la fin) de l’investissement et J 1 (resp. J 2 ) est le jour du début (resp. de la fin) de l’investissement.

31 20/09/07 Méthode « actuel/360 » (aussi appelée règle du banquier): Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de l’investissement et une année est de 360 jours. Ainsi

32 20/09/07 Remarque1: L’intérêt est capitalisé seulement pour le premier ou le dernier jour d’un placement, mais pas les deux. Pour une année bissextile, le 29 février est compté dans certains cas et pas dans d’autres. Pour une année bissextile, l’année a 366 jours dans certains cas et 365 dans d’autres.

33 20/09/07 Exemple 2: Déterminons l’intérêt versé dans le cas d’un placement rémunéré au taux d’intérêt simple de 5% par année si 7800$ est investi le 20 juin 2003 et retiré le 17 janvier 2004 selon chacune des méthodes précédentes.

34 20/09/07 Exemple 2: (suite) Méthode « actuel/actuel »: Il y a entre le 20 juin 2003 et le 17 janvier 2004: 211 jours (10 jours en juin 2003; 31 jours en juillet, août, octobre, décembre; 30 jours en septembre, novembre; 17 jours en janvier)

35 20/09/07 Exemple 2: (suite) Méthode « actuel/actuel »: Ainsi

36 20/09/07 Exemple 2: (suite) Méthode « actuel/actuel »: Ainsi et l’intérêt versé est

37 20/09/07 Exemple 2: (suite) Méthode « 30/360 »: Dans ce cas,

38 20/09/07 Exemple 2: (suite) Méthode « 30/360 »: Dans ce cas, et l’intérêt versé est

39 20/09/07 Exemple 2: (suite) Méthode « actuel/360 »: Dans ce cas,

40 20/09/07 Exemple 2: (suite) Méthode « actuel/360 »: Dans ce cas, et l’intérêt versé est

41 20/09/07 CHAPITRE III Annuités simples

42 20/09/07 Définition d’annuité: Une annuité est une série de paiements (souvent égaux) faits à des intervalles de temps égaux. Parfois on parle de rente au lieu d’annuité.

43 20/09/07 Types d’annuités Annuités certaines

44 20/09/07 Types d’annuités Annuités certaines Annuités éventuelles

45 20/09/07 La période de paiement d’une annuité est l’intervalle entre deux paiements.

46 20/09/07 Qu’entendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre? Nous allons supposer que les paiements de l’annuité sont tous égaux;

47 20/09/07 Qu’entendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre? Nous allons supposer que les paiements de l’annuité sont tous égaux; la période de capitalisation de l’intérêt est la même que la période de paiement de l’annuité

48 20/09/07 Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1$ sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.

49 20/09/07 Nous disons que c’est une annuité simple constante de fin de période. En anglais, ceci est dénommé annuities-immediate.

50 20/09/07 Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

51 20/09/07 Nous obtenons que En utilisant la formule connue suivante:

52 20/09/07 Nous obtenons que

53 20/09/07 À l’occasion, nous écrirons aussi:

54 20/09/07 Exemple 3: Zénon fait l’achat d’une moto et finance son achat en empruntant 12000$. Dans la première option pour le prêt, il fera 24 paiements mensuels égaux et le taux nominal d’intérêt capitalisé mensuellement est i (12) = 9% par année. Dans la deuxième option pour le prêt, il fera 36 paiements mensuels égaux et le taux nominal d’intérêt capitalisé mensuellement est i (12) = 10% par année. Dans les deux options, les paiements débuteront un mois après l’achat. Déterminer le paiement mensuel, ainsi que le montant total d’intérêt payé pour chacune des options.

55 20/09/07 Exemple 3: (suite) Dans la première option, le taux d’intérêt par mois est Ici il ne faut pas confondre le taux d’intérêt avec le taux effectif d’intérêt.

56 20/09/07 Exemple 3: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est où le paiement mensuel est noté par

57 20/09/07 Exemple 3: (suite) L’équation de valeurs est où

58 20/09/07 Exemple 3: (suite) Donc le paiement mensuel est et le montant total d’intérêt est

59 20/09/07 Exemple 3: (suite) Dans la duexième option, le taux d’intérêt par mois est Ici il ne faut pas confondre le taux d’intérêt avec le taux effectif d’intérêt.

60 20/09/07 Exemple 3: (suite) L’équation de valeurs est où

61 20/09/07 Exemple 3: (suite) Donc le paiement mensuel est et le montant total d’intérêt est