Rappels sur les fonctions et les suites aléatoires

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1 Rappels sur les fonctions et les suites aléatoires

2 Définition Fonction aléatoire = processus stochastique continu
Suite aléatoire = processus stochastique discret Application qui associe à chaque instant t d’un ensemble une variable (ou un vecteur) aléatoire processus stochastique continu : t prend un continuum de valeurs Processus stochastique discret : Modélisation de grandeurs pour lesquelles impossible de prédire une valeur exacte à un instant futur.

3 Fonction de distribution et densité de probabilité
Distribution ou fonction de répartition (Cumulative distribution function)

4 Moments d’un processus stochastique
Espérance mathématique Fonction d’autocorrélation Covariance (moment d’ordre 2) Covariance mutuelle

5 Moments d’un processus stochastique
Variance Formule de Koenig Cas scalaire et application à la variance

6 Processus stochastique Gaussien
Cas scalaire Cas vectoriel

7 Processus stationnaire
au sens strict Processus faiblement stationnaire E(x(t)) indépendante de t, variance indépendante de t Stationnaire au sens strict Faiblement stationnaire Inverse pas vérifié sauf pour processus Gaussien

8 Processus stationnaire
Propriétés pour un processus stochastique scalaire

9 Processus faiblement stationnaire ergodique
Moyennes d’ensemble = Moyennes temporelles

10 Densité spectrale (de la variance) (Spectral density or power spectrum)
Transformée de Fourier de la fonction de covariance Cas d’un processus aléatoire discret Origine du terme densité spectrale de la variance

11 Bruit blanc et suite blanche aléatoires
Bruit blanc scalaire (vectoriel) continu processus stochastique continu faiblement stationnaire tel que Densité spectrale ( de la variance)

12 Bruit blanc et suite blanche aléatoires
Suite blanche aléatoire scalaire (vectorielle) Suite aléatoire faiblement stationnaire de covariance

13 Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire(1)
Système décrit en variables d’état par Fonctions de transfert

14 Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire (2)
Densités spectrales de x et y en régime stationnaire Moyenne (espérance mathématique) de x et y en régime stationnaire

15 Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire(3)
Sollicitation par des suites blanches de moyenne nulle et de variance respective

16 Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire(4)
Variance en régime stationnaire

17 Génération d’un bruit coloré(1)
Engendrer une suite aléatoire dont la densité spectrale de la variance est une fraction rationnelle donnée (cas scalaire) Système stable H(z) Suite aléatoire blanche Suite aléatoire colorée

18 Génération d’un bruit coloré(2)
Densité spectrale de la variance en régime stationnaire Entrée w = suite blanche aléatoire de variance 1

19 Génération d’un bruit coloré(3)
Im z 1 Re z

20 Génération d’un bruit coloré(4)
Agencement des pôles possède symétrie identique

21 Variable aléatoire de distribution chi2
Ensemble de d variables aléatoires indépendantes de distribution normale de moyenne nulle et de variance unitaire N d degrés de liberté Paramètre de non centralité: