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2 1 SYSTEMES D ’ EQUATIONS www.abbass-logique.weebly.com www.abbass-logique.weebly.com

3 2 Sommaire Enoncé d ’un exercice Traduction du problème Méthode de résolution par substitution Méthode de résolution par combinaisons linéaires Méthode de résolution graphique Méthode de comparaison

4 3 Position du problème : certains exercices nécessitent l ’emploi de plusieurs variables inconnues. Celles-ci apparaissent alors dans plusieurs équations qui composent le système. Exercice : 550 personnes ont visité un musée. Le prix d ’entrée est de 16$ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960$, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont visité le musée.

5 4 Exercice : 550 personnes ont visité un musée. Le prix d ’entrée est de 16$ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960$, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont visité le musée. Exemple de rédaction : J ’appelle x le nombre d ’adultes qui ont visité le musée et y le nombre d ’enfants qui ont visité le musée. Je traduis l ’énoncé : 550 personnes ont visité un musée x + y =550 Les enfants paient demi tarif : donc 8F par enfant, l ’ensemble des y enfants a payé 8y F l ’ensemble des x adultes a payé 16x F 16x + 8y = 6960F

6 5 Exercice : 550 personnes ont visité un musée. Le prix d ’entrée est de 16$ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960$, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont visité le musée. x + y =550 16x + 8y = 6960 Ces équations traduisent ce problème, pour indiquer qu’elles forment un système on place une accolade. Il existe trois méthodes de résolution : - par substitution,par substitution, - par combinaison linéairespar combinaison linéaires - en utilisant un graphique.en utilisant un graphique

7 6 Exercice : 550 personnes ont visité un musée. Le prix d ’entrée est de 16$ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960$, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont visité le musée. x + y =550 16x + 8y = 6960 Méthode par substitution principe : on exprime l ’une des inconnues en fonction de l’autre. x = 550 - y Puis on remplace l ’inconnue ainsi exprimée dans l ’autre équation. 16x + 8y = 6960 16(550 - y) + 8y = 6960 D ’où y = 230 x = 550 -230 =320 320 adultes et 230 enfants ont visité le musée. Je ne sais plus résoudre cette équation Finalement

8 7 Exercice : 550 personnes ont visité un musée. Le prix d ’entrée est de 16$ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960$, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont visité le musée. x + y =550 16x + 8y = 6960 x = 550 - y 16x +8 y = 6960 16(550 - y) + y = 6960 D ’où y = 230 x = 550 -230 =320 320 adultes et 230 enfants ont visité le musée. x + y =550 2x + y = 870

9 8 Exercice : 550 personnes ont visité un musée. Le prix d ’entrée est de 16$ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960$, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont visité le musée. x + y =550 16x + 8y = 6960 Méthode par combinaisons linéaires principe : on construit deux combinaisons linéaires qui permettent d ’éliminer alternativement chaque inconnue.

10 9 Pour éliminer x je calcule x + y =550 16x + 8y = 6960 Exercice : 550 personnes ont visité un musée. Le prix d ’entrée est de 16$ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960$, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont visité le musée. Pour éliminer y je calcule -8x -8y =- 4400 16x + 8y = 6960 -8x + 16x = -4400 +6960 8x = 2560 x = 320 Donc : 320 + y = 550 y = 550 – 320 y = 230 -16x -16y = -8800 16x + 8y = 6960 -16y + 8y = -8800 +6960 -8y = -1840 y = 230 Donc : x + 230 = 550 x = 550 - 230 x = 320

11 10 320 adultes et 230 enfants ont visité le musée. Dans l’equation : x + y = 550 320 + 230 = 550 Dans l’equation : 16x + 8y = 6960 16× 320 + 8× 230 = 5120 + 1840 = 6960 Verification :

12 11 x + y =550 16x + 8y = 6960 en trqnsforme y en fonction de xdans les deux equations ( y = ax+ b ) on obtient : 16 x + 8y =6960 8 y = -16x + 6960 donc y = - 2x + 870 Par ailleurs : x + y = 550 peut s’écrire y = 550 - x Par comparaison : y = y 550 - x = - 2x + 870 2x – x = 870 – 550 x = 320 Méthode par comparaison

13 12 Nous allons rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations y = 870 - 2x et y = 550 - x Conseils : si l ’énoncé n’impose pas d’unité, il faut réfléchir ! Comment choisir des unités adaptées dans un repère bien placé ? Les valeurs possibles de y sont comprises entre 0 et 550. Les valeurs possibles de x sont comprises entre 0 et 435. ( 870 / 2 = 435 ) Tracer ces deux droites dans un repère placé en bas, à gauche d ’une feuille de papier millimétré, prendre 1 cm pour 25 entrées. y = 870 - 2x et y = 550 - x sont les équations de deux droites

14 13 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 650 600 550 500 450 350 300 250 200 150 100 50 400 La droite d ’équation y = 550 - x Passe par les points : Si x = 0 alors y = 550 Si x = 100 alors y = 450 y nombre d ’entrées enfant x nombre d ’entrées adulte La droite d ’équation y = 870 - 2x passe par les points : si x =200 alors y =470 si x =300 alors y =270 donc Si le graphique est bien fait on retrouve : 320 adultes et 230 enfants ont visité le musée.

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