Quatrième 4 Chapitre 2: Triangles: milieux et parallèles

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1 Quatrième 4 Chapitre 2: Triangles: milieux et parallèles
M. FELT

2 Chapitre 2: Triangles: milieux et parallèles
Rappels: Le parallélogramme. C’est un quadrilatère ( polygone à quatre côtés ). Les diagonales se coupent en leur milieu. Les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

3 Rappels: Le parallélogramme
Construction d’un parallélogramme: Comment tracer un parallélogramme avec un compas ? On place les points A,B et C. Puis D avec un compas. Bien indiquer que l’on souhaite voir apparaitre les traits de construction.

4 Rappels: La médiatrice
Construction d’une médiatrice: Comment tracer la médiatrice d’un segment [AC] avec un compas ? ( Soit O le milieu de AC ). Bien indiquer que l’on souhaite voir apparaitre les traits de construction.

5 Rappels: Symétrie Construction d’une symétrie:
En conservant la figure précédente ( segment [AC] avec médiatrice qui coupe [AC] en O ), on place un point B quelconque, et on trace D le symétrique de B par rapport à O. On obtient un quadrilatère ABCD qui est un parallélogramme.

6 Activité: Droite des milieux
Activité: Droite des milieux ( voir doc annexe ). Démonstration des théorèmes de la droite des milieux dans un triangle. Au tableau le professeur utilise Géogébra pour la construction.

7 I. Milieux de deux côtés d’un triangle
Théorème 1: Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté de ce triangle. A Théorème (IJ) // (BC) 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. (d) I J x x B C

8 I. Milieux de deux côtés d’un triangle
Théorème 2: Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un deuxième côté de ce triangle, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. A Théorème (d) Coupe [AC] en son milieu J 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. (d) I J x x (d) // (BC) B C

9 I. Milieux de deux côtés d’un triangle
Théorème 3: Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d’un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté de ce triangle. A Théorème 𝑰𝑱= 𝟏 𝟐 𝑩𝑪 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. I J x x B C

10 I. Milieux de deux côtés d’un triangle
Théorème 1 Théorème 3 Théorème 2 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. Théorèmes des milieux

11 Rappel sur la « démonstration"
Comment utiliser ces théorèmes ? On sait que… Or,… Donc… Données Théorème Conclusion

12 Activités Exercice 23 page 178:

13 Activités Exercice 24 page 178:

14 Activités Exercice 30 page 178:

15 Devoirs pour mardi 29 septembre:
Exercice 34 page 179:

16 II. Deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine
Propriété de Thales ( dans un triangle ): Dans un triangle ABC où M est un point appartenant à la demi-droite[AB) et N un point de la demi-droite [AC), si (MN) est parallèle à (BC), alors les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles, ce qui se traduit par les égalités: 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 𝐴𝐶 = 𝑀𝑁 𝐵𝐶 A Théorème 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 𝐴𝐶 = 𝑀𝑁 𝐵𝐶 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. N M x x (MN) // (BC) B C

17 II. Deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine
Exemple: A M N x x 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. (MN) // (BC) B C

18 II. Deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine
Exemple: A 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. B C (MN) // (BC) M N x x

19 Activités: Exercice 39 page 179:

20 Activités: Exercice 39 page 179: (suite)

21 Devoir Maison #1: A rendre Mardi 6 octobre à 14h00.
Exercice 27 page 178. Exercice 45 page 180. Exercice 99 page 27.

22 Activité: Logique Proposition contraposée
1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité.

23 Activité: Logique Un exemple: Proposition contraposée. il pleut
Proposition: « s’il pleut, alors le sol est mouillé ». Contraposée: « Si le sol n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas » il pleut le sol est mouillé il ne pleut pas le sol n’est pas mouillé 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. le sol n’est pas mouillé il ne pleut pas

24 Activité: Logique Un autre exemple: il pleut
Proposition: « s’il pleut, alors Monsieur Stéfani prend son parapluie ». Contraposée: « Si M. Stéfani ne prend pas son parapluie, alors il ne pleut pas » il pleut M. Stefani prend son parapluie M. Stefani ne prend pas son parapluie 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. il ne pleut pas

25 Activité: Logique Encore un exemple: A B non B non A
Proposition: « si A, alors B ». Contraposée: « Si non B, alors non A » A B 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. non B non A

26 Activité: Logique 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 𝐴𝐶 (MN)//(BC)
Un dernier exemple: Proposition: « si (MN) et (BC) sont parallèles, alors 𝑨𝑴 𝑨𝑩 = 𝑨𝑵 𝑨𝑪  ». Contraposée: « Si 𝑨𝑴 𝑨𝑩 𝒆𝒕 𝑨𝑵 𝑨𝑪 ne sont pas égaux, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.» 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 𝐴𝐶 (MN)//(BC) 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. 𝐴𝑀 𝐴𝐵 𝑒𝑡 𝐴𝑁 𝐴𝐶 ne sont pas égaux (MN) et (BC) ne sont pas parallèles

27 II. Rappel du cours de mardi
Propriété: Dans un triangle ABC où M est un point appartenant à la demi-droite[AB) et N un point de la demi-droite [AC), si (MN) est parallèle à (BC), alors les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles, ce qui se traduit par les égalités: 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 𝐴𝐶 = 𝑀𝑁 𝐵𝐶 A Théorème 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 𝐴𝐶 = 𝑀𝑁 𝐵𝐶 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. N M x x (MN) // (BC) B C

28 II. Deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine
Propriété: (contraposée de la propriété précédente) Dans un triangle ABC où M est un point de la demi-droite [AB) et N un point de la demi droite [AC). Si les quotients 𝐴𝑀 𝐴𝐵 et 𝐴𝑁 𝐴𝐶 ne sont pas égaux, alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. A N 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. x M 𝐴𝑀 𝐴𝐵 𝑒𝑡 𝐴𝑁 𝐴𝐶 ne sont pas égaux. x Propriété (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. B C

29 II. Deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine
Exemple: AM = AN = 3 AB = AC = 13 A N x M x 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. B C

30 II. Deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine
Exemple 2: AM = AN = 6 AB = AC = 18 A N x M x 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. B C

31 II. Deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine
Rappels: Si (MN) et (BC) sont parallèles alors 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 𝐴𝐶 = 𝑀𝑁 𝐵𝐶 Si les quotients 𝐴𝑀 𝐴𝐵 et 𝐴𝑁 𝐴𝐶 ne sont pas égaux alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. 1. Ecrire le cours en insistant sur le fait que les théorèmes ont été « démontrés » durant l’activité. le sol est mouillé il pleut

32 Activités: Exercice 41 page 179:

33 Rappel sur la « démonstration"
Comment utiliser ces théorèmes ? On sait que… Or,… Donc… Données Théorème Conclusion

34 Activités: Exercice 46 page 180: On sait que: On sait que
(AB) ⊥ (OC) et (DC) ⊥ (OC) Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (AB) // (DC). On sait que Données Or Théorème Donc Conclusion

35 Activités: Exercice 46 page 180: On sait que: On sait que
A est un point du segment [OC], B est un point de [OD] et (AB) // (DC). Or d’après la propriété de Thalès dans le triangle ODC, les longueurs des côtés des triangles ODC et OAB sont proportionnelles. Donc 𝑂𝐴 𝐴𝐶 = 𝑂𝐵 𝑂𝐷 = 𝐴𝐵 𝐶𝐷 . donc 𝑂𝐶=𝑂𝐴+𝐴𝐶=11+594=605 Ainsi = 1,5 𝐶𝐷 𝐶𝐷= 605×1,5 11 =82,5 La hauteur de l’éolienne est égale à 82,5 m. On sait que Données Or Théorème Donc Conclusion

36 Calcul mental: N A B Question 1: M C A B C 𝐵𝑀= 1 2 𝐴𝐶 𝑀𝑁 // 𝐴𝐶 2𝑀𝑁=𝐴𝐶
Dans le triangle ABC: M est le milieu de [BC] N est le milieu de [AB] Alors: M C A B C 𝐵𝑀= 1 2 𝐴𝐶 𝑀𝑁 // 𝐴𝐶 2𝑀𝑁=𝐴𝐶

37 Calcul mental: F Question 2: R D E I A B C 2𝐹𝑅=𝐹𝐷 𝐸𝐼=𝐹𝑅 𝐼𝑅= 1 2 𝐸𝐹
I milieu de [ED] R point du segment [FD] (EF) // (RI) R D E I A B C 2𝐹𝑅=𝐹𝐷 𝐸𝐼=𝐹𝑅 𝐼𝑅= 1 2 𝐸𝐹

38 Calcul mental: I C Question 3: B J A A B C 𝐼𝐽 𝐵𝐴 = 𝐶𝐼 𝐶𝐵 𝐶𝐽 𝐽𝐴 = 𝐼𝐽 𝐵𝐴
I point du segment [BC] J point du segment [AC] (IJ) // (AB) B J A A B C 𝐼𝐽 𝐵𝐴 = 𝐶𝐼 𝐶𝐵 𝐶𝐽 𝐽𝐴 = 𝐼𝐽 𝐵𝐴 𝐶𝐽 𝐶𝐴 = 𝐶𝐼 𝐶𝐵

39 Calcul mental: 3 U S R Question 4: 1 2 T 3 V A B C 𝑆𝑈=4,5 𝑈𝑉=2,5
S point du segment [RU] T point du segment [RV] (ST) // (UV) 1 2 T 3 V A B C 𝑆𝑈=4,5 𝑈𝑉=2,5 𝑅𝑈=4,5

40 Calcul mental: F Question 5: R 3,5 D E I 3 3 A B C 𝐹𝑅=3,5 𝐹𝐷=7,0
R point du segment [FD] I point du segment [ED] R 3,5 D E I 3 3 A B C 𝐹𝑅=3,5 𝐹𝐷=7,0 𝐸𝐹=9.5

41 Activités: Exercice 67 page 183:
ABEC est un quadrilatère tel que (AC)//(BE). 1. Démontrer que les droits (IJ) et (JK) sont parallèles. 2. Que peut-on en déduire pour les points, I,J et K ? 3. Démontrer que 2IK=AC+BE.