Apprendre à chercher par l’intermédiaire du Challenge Mathématique Lydia Bao novembre 2015.

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1 Apprendre à chercher par l’intermédiaire du Challenge Mathématique Lydia Bao novembre 2015

2 Plan Qu’est-ce qu’un problème ouvert? Problème de l’euro manquant L’énoncé de problème Problème ouvert ou non Typologie de problèmes ouverts Que travaille-t-on à partir des problèmes ouverts? Problème de recherche avec possibilité de manipulation Et en classe… Problème de recherche avec possibilité de manipulation Exemples de pratique Logique du challenge à travers la manche 1 Lydia Bao novembre 2015

3 Qu’est-ce qu’un problème ouvert? Lydia Bao novembre 2015

4 Trois gars vont dans un hôtel. Le réceptionniste annonce la chambre à 30 €. Chacun donne 10 €. Un peu plus tard, le réceptionniste réalise que la chambre est en fait à 25 €. Il appelle le groom et l'envoie avec les 5 € chez les gars qui ont loué la chambre. En route, le groom se demande comment il va partager les 5 € en trois. Il décide de donner à chaque gars 1 € et garde 2 € pour lui. Donc, chacun des trois gars a payé 9 € pour la chambre ; cela fait donc un total de 27 €. Ajoutons à ces 27 € les 2 € gardés par le groom ; cela fait 29 €. Où est passé l'euro manquant ? Lydia Bao novembre 2015

5 97 ÉLÈVES DE CE1 ET CE2 ONT A RÉSOUDRE LE PROBLÈME SUIVANT SUR UN BATEAU, IL Y A 26 MOUTONS ET 10 CHÈVRES. QUEL EST L’ÂGE DU CAPITAINE ? 76 ONT DONNÉ L’ÂGE DU CAPITAINE EN UTILISANT LES NOMBRES FIGURANT DANS L’ÉNONCÉ(78%). Troubles en mathématiques / Enfants troublés Stella Baruck Lydia Bao novembre 2015 http://www.dailymotion.com/video/xhe8d9_stella%E2%80%90baruk%E2%80% 90il%E2%80%90n%E2%80%90y%E2%80%90a%E2%80%90pas%E2%80%90de%E 2%80%90troubles%E2%80%90en%E2%80%90mathematiques_shortfilms

6 Énoncés « absurdes » -François Boule 130 élèves de CE à CM résolvent les problèmes suivant 74 % des élèves de CE calculent, 20% des élèves de CM J’ai 4 sucettes dans ma poche droite et 9 caramels dans ma poche gauche. Quel est l’âge de mon papa ? Dans une bergerie, il y a cent vingt‐cinq moutons et cinq chiens. Quel est l’âge du berger ? Il y a 7 rangées de 4 tables dans une classe. Quel est l’âge de la maîtresse ? Les problèmes à l’école fonctionnent de façon stéréotypée ; tout problème a une solution, que l’on peut trouver en utilisant les données (toutes les données) fournies. Lydia Bao novembre 2015

7 L’énoncé du problème François Boule Les premières difficultés rencontrées dans la résolution de problème ne sont ni techniques, ni mathématiques. Elles concernent d’abord la lecture de l’énoncé. Lydia Bao novembre 2015 Un énoncé de mathématiques n’est pas un texte comme les autre. L’énoncé met en interaction 3 langages : le langage ordinaire (description d’une situation), le langage mathématique le langage symbolique (ex. Triangle, chiffre …) Mettre en scène, jouer Mots-inducteurs, verbes Raconter Schématiser Manipuler Mots des questions

8 Pour les élèves, un problème… Un problème comprend toujours des nombres. Il faut faire une opération entre les nombres pour trouver la solution. Un problème a toujours une seule solution. Pour trouver la solution, il n’y a qu’une démarche possible. Pour trouver la solution, il faut déjà savoir. Lydia Bao novembre 2015

9 Les différents types de problèmes? CF documents d’accompagnement des programmes de 2002: Les problèmes pour chercher Quatre types de problèmes….des problèmes: : -dont la résolution vise la construction d’une nouvelle connaissance -destinés à permettre le réinvestissement de connaissances déjà travaillées, à les exercer -plus complexes que les précédents dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances - centrés sur le développement des capacités à chercher : en général, les élèves ne connaissent pas encore de solution experte. Lydia Bao novembre 2015 Problèmes pour apprendre Problèmes ouverts Problèmes ouverts

10 Les problèmes ouverts Exemple : Dans mon porte-monnaie j'ai 32 pièces. Il n'y a que des pièces de 1€ et de 2€. Avec ces 32 pièces, j'ai 46€. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ? Lydia Bao novembre 2015  Problème ouvert au CM2  Situation-problème en 3 e (équation)  Problème de réinvestissement au lycée  Problème ouvert au CM2  Situation-problème en 3 e (équation)  Problème de réinvestissement au lycée

11 Lydia Bao novembre 2015 Définition problème ouvert IREM Lyon Enoncé court L’énoncé n’induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires, …) La situation se trouve dans un domaine conceptuel familier des élèves pour favoriser l’engagement dans la recherche

12 Lydia Bao novembre 2015 Problème ouvert Développer un comportement de chercheur Développer des capacités d’ordre méthodologique Faire et gérer des hypothèses Imaginer des solutions Eprouver la validité des solutions proposées Argumenter

13 Sa validation doit, le plus possible, être à la charge des élèves. Par la confrontation, l’argumentation, le contrôle des étapes proposées, ils sont capables de déterminer le bien-fondé et la pertinence de leur réponse. Lydia Bao novembre 2015 Le problème doit représenter un défi que les élèves s’approprient et qu’ils ont envie de relever. La difficulté doit se situer non dans la compréhension de la situation mais les moyens de répondre à la question posée Le problème doit être consistant: il doit proposer une certaine « résistance » ; il ne doit pas donner lieu à une solution issue d’un traitement immédiatement reconnu. Problème ouvert

14 -mettre l'accent sur des objectifs d'ordre méthodologique Lydia Bao novembre 2015 Proposer à l'élève une activité comparable à celle du mathématicien confronté à des problèmes qu'il n'a pas appris à résoudre Mettre en œuvre des compétences peu travaillées par ailleurs : essayer, organiser sa démarche, mettre en œuvre une solution originale, en mesurer l'efficacité, argumenter à propos de sa solution ou de celle d'un autre,... Prendre en compte et valoriser les différences entre élèves: solutions diverses, plus ou moins rapides, utilisant des connaissances et des stratégies variées (du dessin des pièces à des essais de multiples de 2 et de 5) C’est la diversité qui est ici intéressante, pour permettre l'échange, la confrontation et le débat. Clarifier les attentes en matière de résolution de problèmes: ne pas appliquer directement des connaissances déjà étudiées Problème ouvert Chercher plutôt que trouver Apprendre à chercher

15 Typologie des problèmes ouverts Lydia Bao novembre 2015 Problème dont la résolution peut être faite par essais Dans ma tirelire, j’ai 32 pièces et billets. Je n’ai que des pièces de 2 € et des billets de 5 €. Avec ces 32 pièces et billets, j’ai 97 €. Combien y a-t-il de pièces de 2 € et de billets de 5 € dans ma tirelire ? Groupe Ermel (CM2) Problème dont la résolution nécessite une organisation pour obtenir toutes les possibilités Trouve tous les mélanges possibles de glaces à trois boules différentes, avec cinq parfums : citron, vanille, chocolat, fraise, pomme. Problèmes dont la résolution privilégie le recours à la déduction Sophie veut découper des étiquettes rectangulaires toutes identiques dans une plaque de carton rectangulaire de dimensions 10 cm et 15 cm. Elle en a déjà tracé 11 comme tu peux le voir sur le dessin. Calcule les dimensions réelles d’une étiquette et indique les sur le dessin ci-dessous.

16 Typologie des problèmes ouverts Lydia Bao novembre 2015 Problème ouvert ayant une richesse de stratégie ou une stratégie originale Quelqu’un a une bouteille de 8 litres d’eau et veut donner à son ami 4 litres de cette quantité. Pour la mesurer, il dispose seulement de deux récipients vides : un de 5 litres et un de 3 litres. Quelles sont les actions à faire pour verser les 4 litres d’eau dans le récipient de 5 litres? Problème ouvert induisant plusieurs solutions Combien de carrés différents existent dans le dessin suivant ? Problème ouvert soumis à une interprétation ouverte Combien de cellules existent en moyenne dans le corps d’un homme adulte ? Problème ouvert énigme Relier les 9 points par 4 traits ininterrompus sans lever le crayon.

17 Problème ouvert avec possibilité de manipulation Lydia Bao novembre 2015

18 Et en classe… ROLE DE L’ENSEIGNANT - Donner envie -Animer -Circuler -Encourager les initiatives -Questionner -Proposer des outils si besoin -Expliciter et faire expliciter -Ne pas laisser errer les élèves trop longtemps sans succès et sans savoir ce qu’ils cherchent -Faire penser tout haut L’enseignant garde trace des recherches des élèves, il les valorise (de préférence sur le cahier de chercheur). Lydia Bao novembre 2015

19  Lorsqu’un enseignant donne des exercices trop simples ou apporte de trop grandes aides aux élèves, il pourrait y avoir un risque d’aggravation des difficultés des élèves. Un problème peut être présenté de plusieurs façons, dont certaines sont plus simplifiées et peuvent diminuer la réflexion de l’élève. Exemple : problème de jeu de billes entre deux enfants qui font 3 parties, chacun gagne ou perd des billes à chaque partie,  l’enseignant peut demander directement combien il en reste à chaque enfant à la fin des 3 parties, ou bien  il peut découper le problème et demander combien il en reste à chacun après chaque partie. Il crée ainsi des étapes qui facilitent la résolution du problème, mais qui diminuent la réflexion des élèves. Lydia Bao novembre 2015 Et en classe… Ne pas laisser errer……aider mais sans simplifier en tout cas: sans diminuer la réflexion! Ne pas laisser errer……aider mais sans simplifier en tout cas: sans diminuer la réflexion!

20 DEROULEMENT TYPE : plages horaires et jours au choix 1- Recherche: Les élèves se lancent dans la résolution du problème, d’abord un temps de recherche individuelle indispensable puis en en groupe 2- Mise en commun, débat, validation. 3- Synthèse et structuration : les différentes procédures validées sont explicitées. Le groupe classe s’entraine à utiliser ces procédures sur un deuxième problème du même type, voire une troisième. 4- Evaluation: degré de maîtrise des procédures, degré d’autonomie, d’investissement, à partir d’un exercice similaire…..remédiation… Lydia Bao novembre 2015 Et en classe…

21 OUTILS Les élèves disposent de l’ensemble des outils de la classe (règles, papier calque, compas, équerres, calculettes, crayons de couleur, papier brouillon, ciseaux, cahier de leçons, dictionnaire, cahiers outils, ordinateurs, internet, logiciels, etc…). Lydia Bao novembre 2015 Et en classe…

22 EXEMPLES DE PRATIQUE Lydia Bao novembre 2015 Classe de H.Grosz, CP

23 Lydia Bao novembre 2015 EXEMPLES DE PRATIQUE Classe de H.Grosz, CP

24 Lydia Bao novembre 2015 EXEMPLES DE PRATIQUE Classe de H.Grosz, CP

25 Lydia Bao novembre 2015 EXEMPLES de pratique Classe de H.Grosz, CP

26 Lydia Bao novembre 2015 1. Mes recherches 2. La solution retenue par la classe EXEMPLES DE PRATIQUE Classe de H.Grosz, CP

27 Lydia Bao novembre 2015 1. Mes recherches Ma réponse :...................................................................................... Ma réponse :............................................................................................................................................................................................................................. 2. La solution proposée par mon groupe Notre réponse :....................................................................................................................... 3. La solution retenue par la classe Notre réponse :....................................................................................................................... 2. La solution proposée par mon groupe Notre réponse :...................................................................................... 3. La solution retenue par la classe Notre réponse :........................................................................................................ Exemples de pratique Classe de H.Grosz, CP

28 http://www.circ-ien-wittelsheim.ac-strasbourg.fr/?p=2824#more-2824..\..\..\Projets de circo\Challenge mathématiques\2015-16\manche 1\challenge 1\CP-manche-1.doc..\..\..\Projets de circo\Challenge mathématiques\2015-16\manche 1\challenge 1\CE1-manche-1.doc..\..\..\Projets de circo\Challenge mathématiques\2015-16\manche 1\challenge 1\CE2-manche-1.doc..\..\..\Projets de circo\Challenge mathématiques\2015-16\manche 1\challenge 1\CM1-manche-1-1.docx..\..\..\Projets de circo\Challenge mathématiques\2015-16\manche 1\challenge 1\CM2-manche-1.doc Lydia Bao novembre 2015 Résolution de problèmes du Challenge

29 MERCI POUR VOTRE ATTENTION Lydia Bao novembre 2015