Philippe Cibois Laboratoire Printemps (CNRS) – Université de Versailles-St-Quentin Le PEM, Pourcentage de l'Ecart Maximum Indices d’association Exigences.

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1 Philippe Cibois Laboratoire Printemps (CNRS) – Université de Versailles-St-Quentin Le PEM, Pourcentage de l'Ecart Maximum Indices d’association Exigences PEM local PEM global Étalonnage Utilisation

2 Indices d’association dans un tableau de contingence
Cj Total Li Nij Ni Nj N Observé : Nij Théorique : Ni x Nj / N Phi-deux : Khi-deux / N Coefficient de contingence (Pearson) C2 = Phi-deux / (1 + Phi-deux) Coefficient de Tchuprov T2 = Phi-deux / racine carrée du degré de liberté Coefficient de Kramér V = Phi-deux / (plus petite dimension – 1) 0 = indépendance, 1 = maximum On peut exprimer le V de Kramér en pourcentage : ce que représente le Phi-deux (ou le Khi-deux) par rapport au maximum possible.

3 Niveau zéro = indépendance : définie pour une case et pour l’ensemble
Exigences : - indice local et global qui soient dans la même logique, - qui soit réaliste (on peut rencontrer le maximum et le minimum), - dont l’agrégation du local soit cohérent avec le global, - indice exprimé d’une manière usuelle : en pourcentage. Niveau zéro = indépendance : définie pour une case et pour l’ensemble Liaison maximum (niveau 100) pour une case du tableau : l’effectif dans la case est le plus élevé possible en tenant compte des contraintes des marges. Effectif-max = min (marge ligne, marge colonne) PEM = Pourcentage de l’Ecart Maximum On compare l’écart à l’indépendance observé par rapport à l’indépendance dans le cas du maximum. Observé : Nij Théorique : Ni x Nj / N Ecartobs = Obs – théorique Max = Min (Ni, Nj) Ecartmax = Max – théorique PEM = Ecartobs / Ecartmax x 100 T Cj Total Li Nij Ni Nj N

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PEM d’une attraction Le Khi-deux du tableau est de Degré liberté = 1 Prob.= 0.047 |N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total | |Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne | |Masc | | | | | | * * | |Fémi | | | | | | * * | | Total | | | | | en colonne | | | | Case féminin – école nouvelle Observé Maximum d’attraction Théorique 268 x 98 / 512 = 51,30 Ecartobs = Observé – Théorique Ecartmax =Maximum – Théorique 60 – 51,30 = 8, – 51,30 = 46,70 Ecartobs / Ecartmax = 8,70 / 46,70 = 0,186 PEM = Pourcentage de l'écart maximum = 18,6%

5 +------------+------------+------------+------------+
PEM d’une opposition |N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total | |Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne | |Masc | | | | | | * * | |Fémi | | | | | | * * | | Total | | | | | en colonne | | | | Case masculin – école nouvelle Observé Maximum de répulsion Théorique 244 x 98 / 512 =46,70 Ecartobs = Observé – Théorique Ecartmax =Maximum – Théorique 38 – 46,70 = -8, – 46,70 = -46,70 Ecartobs / Ecartmax = -8,70 / -46,70 = 0,186 PEM = Pourcentage de l'écart maximum = -18,6% (négatif par convention)

6 PEM global |N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total | |Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne | |En avance | | | | | | | | | |A l'heure | | | | | | | | | |En retard | | | | | | * * | | Total | | | | | en colonne | | | | Le Khi-deux du tableau est de Degré liberté = 2 Prob.= **

7 Liaison maximum pour l’ensemble du tableau : suppose un ordre pour les lignes et les colonnes. Soit un ordre « naturel » soit un ordonnancement par le premier facteur d’une ACP sur les écarts à l’indépendance. - Indépendance : effectif théorique pour chaque case - Algorithme de chargement de la diagonale qui porte les écarts positifs à l’indépendance. |N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total | |Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne | |En avance | | | | | | | | | |A l'heure | | | | | | | | | |En retard | | | | | | * * | | Total | | | | | en colonne | | | |

8 Collège bonne réputation
Ecole nouvelle Collège bonne réputation Total En avance 0  92 A l'heure 379 En retard 41 98 414 512

9 Collège bonne réputation
Ecole nouvelle Collège bonne réputation Total En avance  0 92 A l'heure 322  379 En retard 41 98 414 512

10 Collège bonne réputation
Ecole nouvelle Collège bonne réputation Total En avance  0 92 A l'heure 57  322  379 En retard  41 41 98 414 512

11 PEM global = 14,3 / 66,3 x 100 = 21,6% Ecole nouv. Collège bonne rép.
Ecole nouv. Collège bonne rép. Total En avance -1,6 1,6 92 A l'heure -5,5 5,5 379 En retard 7,2 -7,2 41 98 414 512 Ecole nouv. Collège bonne rép. Total En avance -17,6 17,6 92 A l'heure -15,5 15,5 379 En retard 33,2 -33,2 41 98 414 512 Somme des écarts positifs (observé) = 14,3 Somme écarts positifs (maximum) = 66,3 PEM global = 14,3 / 66,3 x 100 = 21,6% PEM locaux : 9,1 ; 7,6 ; 21,6

12 V =φ2 /(min(nb lignes, nb col) -1)
Il faut situer une observation dans l’univers des possibles (selon Georges Guilbaud) 0-1M 1-2M 2-3M +M3 OENF 9558 1ENF 11110 2ENF 3635 3ENF 778 4E1+ 182 969 25263 Χ2 = = n x 3 0-1M 1-2M 2-3M +M3 OENF 1339 5173 3046 9558 1ENF 1521 9589 11110 2ENF 3635 3ENF 778 4E1+ 182 6116 10928 25263 Harald Cramèr, Mathematical Methods of Statistics, Princeton, PUP, 1946, p. 444 Χ2 = 35867,65 Khi2/Khi2max = 568,5 / 35867,65=0,016 PKM = 1,6% (PEM = 10,7%) φ2 = χ2/n V =φ2 /(min(nb lignes, nb col) -1)

13 Enquête REL86 : 1891 tableaux croisés entre 62 questions
V de Cramèr = (χ2 /n) / (plus petite dimension – 1) PEM = Somme écarts positifs / Somme écarts positifs dans le cas du maximum x 100 V de Cramèr x 100 1er quartile=1 Médiane=9 3e quartile=36 Moyenne=5,32 Ecart-type=7,27 PEM globaux 1er quartile=16 Médiane=25 3e quartile=42 Moyenne=30,26 Ecart-type=18,18

14 Distributions de PEM Enquête REL86 : 1891 PEM globaux entre 62 questions 1er quartile=16 Médiane=25 3e quartile=42 Moyenne=30,26 ET=18,18 Enquête Prat89 30628 PEM globaux entre 248 questions 1er quartile=6 Médiane =11 3e quartile =21 Moyenne=16,08 ET=15,89 Enquête Prat89 1891 PEM globaux entre 62 questions 1er quartile=7 Médiane =11 3e quartile =18 Moyenne=14,68 ET=12,38

15 Applications du PEM Analyse d’un tableau : étalonnage du PEM PEM global : recherche des questions en attraction avec une variable d’intérêt Visualisation de liens entre modalités sur un graphique factoriel et profil d’une modalité

16 (Ph.Cibois, F. de Singly, Deug socio Paris 5, 1992)
Les stratégies éducatives des classes moyennes et supérieures salariées (Ph.Cibois, F. de Singly, Deug socio Paris 5, 1992) N= 512 (mères) 140 questions - description fine de l'enfant : ses "qualités", ses "défauts", son attitude en famille ; son comportement et son niveau scolaire, les raisons du choix du collège, ses matières préférées, son avenir ; - ses loisirs ; - le style des relations que la mère avait avec l'enfant (complicité, fermeté, etc.). - situation sociale de la mère : métier, formation (y compris celle des grands-parents), gouts, affiliations politiques, religieuses, associatives, du couple. Variable d'intérêt : choix du type de collège (école nouvelle / collège bonne réputation)

17 Profil de la modalité Q17A TypeEcole
Nom PEM Intitulé Q17B 65 Ecole QV SatisfactionEnfantEnseign Q88E 35 AuCourantOpinionsPolitiqu QV Jusqu'oùAller QV ImpApprentissageAutonomie QV ImpRéussiteCollège QV ImpProximitéCollège Q50D 27 Activité3 Q73B 25 PrioritéEducative2 Q50C 25 Activité2 Q67D 25 CadeauNoël3 Q50B 24 Activité1 Q61A 22 ActivitéPréférée1 QV TypeSanction1 QV QuiChoixCollège Q73A 21 PrioritéEducative1 Q65A 21 JeuSociété1 QCSP 21 CSPère Q92A 21 LoisirPréféréMère1 QV NiveauFinSouhaité QV ReproductionEducative QV CompétitionSportive Q78C 20 ActivitéAvecEnfant2 Q67B 20 CadeauNoël1 QGSM 20 GSGPMat Q43A 20 AnticipationLycée Q67E 19 CadeauNoël4 Q92B 19 LoisirPréféréMère2 Q84A 19 MotifRéprimande1 QV DifférencesEducatives QV VêtementDeMarque Q StatutProfNouvConjoint QV PosPolMère QV EnfantBonneMatière QV RessourcesEnSommeil QAGS 18 AgeScolaire QV Choix3Qualités QV Classe QV NbTélé Q NivEtudesGPèrePat Q NivEtudesGPèreMat QV QuiAimeBien... Q82A 16 AideMaternelle1 Q35B 16 MatièresScolaires2 Q26A 16 FreqCollègeAntérieure Q26B 16 FreqCollègeUltérieure Q67C 16 CadeauNoël2 Q71B 15 FinirSonAssiette QV Choix1Qualités QV MénageMaison Q SexeEnquêteur QCSM 15 CSMère QV SitProfMère Q89A 15 SujetsDesaccords1 QV PersonneAdmirée Q79B 15 AttitudeEducMère2 Q78D 15 ActivitéAvecEnfant3 QV ConfidenceAmoureuse QV Choix2Qualités QV Sexe Q88C 13 AuCourantSoucisSanté

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