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Michel MIZONY Université Lyon1 Institut Camille Jordan et IREM de Lyon Or je soutiens que dans toute théorie particulière de la nature il ny a de science.

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1 Michel MIZONY Université Lyon1 Institut Camille Jordan et IREM de Lyon Or je soutiens que dans toute théorie particulière de la nature il ny a de science proprement dite quautant quil sy trouve de mathématique. E. Kant Lhéritage de Poincaré : quest-ce une modélisation ?

2 Une nombreuse littérature sur la modélisation mathématique ! les mots relation, lien, interaction, articulation entre maths et autres disciplines apparaissent souvent et le mot modélisation y est rarement défini clairement. La science et lhypothèse (1902), Poincaré donne sa position « Les théories mathématiques nont pas pour objet de nous révéler la véritable nature des choses ; ce serait là une prétention déraisonnable. Leur but unique est de coordonner les lois physiques que lexpérience nous fait connaître, mais que sans le secours des mathématiques nous ne pourrions même énoncer. » « Peu nous importe que léther existe réellement, cest laffaire des métaphysiciens ; lessentiel pour nous cest que tout se passe comme sil existait et que cette hypothèse est commode pour lexplication des phénomènes. Après tout, avons-nous dautre raison de croire à lexistence des objets matériels ? Ce nest là aussi quune hypothèse commode ; seulement elle ne cessera jamais de lêtre, tandis quun jour viendra sans doute où léther sera rejeté comme inutile. »

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4 La question épistémologique qui est mise en évidence provient des flèches horizontales b), c) et e). Les flèches a) et d) sont claires, lune relevant de la physique et lautre des mathématiques. Pour b), c) et e) qui relèvent à la fois dun travail de physicien et de celui dun mathématicien, il y a choix et traduction donc toutes les possibilités de non-sens, contresens, fautes de syntaxe, faux amis etc.

5 Dans toute modélisation il y a un choix a priori de lespace mathématique servant à repérer lensemble des phénomènes. En aucun cas il ne peut être identifié au réel de la physique. espace de repérage mathématique domaine phénoménal, traduit (actualise ?) le dire de Kant « espace et temps sont les cadres a priori de toute description de notre expérience. »

6 Espace et temps nont pas de réalité physique - Zénon et Aristote, St Augustin -Avicenne, Thomas dAquin - Leibniz, …. -Kant -Calinon, Poincaré, Rougier -Puis presque plus rien depuis 1913 … -Gonseth (1926), Souriau (1970) -G. G. Granger (1992), J. Petitot

7 Paradoxes de Zénon Dans le numéro 463 du Bulletin de l'APMEP (Mars-Avril 2006), Michel Fréchet écrit "Achille ne rattrapera jamais la tortue". Il expose les arguments de Zénon (les quatre célèbres paradoxes) qui lui permettent d'affirmer que si le mouvement existe, alors l'espace et le temps ne peuvent être ni continus (divisibles indéfiniment) par la Dichotomie et Achille ni composés d'atomes (d'indivisibles) par la Flèche et le Stade.

8 ARISTOTE : « Le temps est le nombre du mouvement » AVICENNE ( ) « L'espace est une forme déduite de la matière et existant uniquement dans la conscience » Thomas d'Aquin a repris les positions d'Aristote et d'Avicenne Pour Leibniz et Kant ces concepts de temps et despace sont liés entre eux et sont des méta concepts, ils ne peuvent s'exprimer qu'en référence à eux-mêmes. "L'ordre des successions reçoit sa raison d'être de ce qui se succède, l'ordre des coexistences reçoit sa raison d'être de ce qui coexiste". (Gilles Deleuze) Donc une vieille tradition qui affirme, de différentes manières, que les concepts de temps et d'espace sont des concepts issus de l'esprit humain, des mots d'un langage, pour se situer, décrire, échanger et transmettre des savoirs.

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13 Tirages au sort et la loi des grands nombres.

14 Plusieurs modélisations équivalentes de la relativité restreinte dEinstein 1- Einstein a fait le choix en 1905 de prendre pour espace mathématique lespace IR4, muni de la métrique dite de Minkowski. Lespace associé est un éther géométrique. 2- Soit R4 sur lequel vit le lagrangien Ce lagrangien est invariant par les transformations de Lorentz et plus générale ment par le groupe de... Poincaré. 3- et 4- R4 non standard de Leibniz avec métrique ou lagrangien. 5- On prend les décimaux à 10 chiffres, x à la place de dx, etc. 6- Varicak prend la géométrie de lobachevski, en Etc.

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17 Et léther ? un éther est la réification (la chosification) dun espace mathématique utilisé pour étudier un domaine phénoménal. Et si il y a unicité dun domaine phénoménal, il y a multiplicité des espaces mathématiques pouvant exprimer un domaine de la physique (cest ce que Poincaré nomme le pluralisme théorique),

18 admet une « flèche inverse » La flèche Cest lapport de Poincaré, oublié par notre occident

19 Moralité ou conclusion Il existe toujours une multiplicité de modélisations dun même domaine phénoménal. Ces modélisations sont mathématiquement équivalentes et expérimentalement indiscernables, mais conceptuellement très différentes; autrement dit elles séclairent lune lautre. Choisir une modélisation, cest choisir un éther (au sens de Poincaré), support de lintuition scientifique. Cest le sens profond du 5 ème axiome dEuclide (axiome des parallèles) comme la si bien exprimé G. G. Granger.


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