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St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet1 Marc Gengler Cours de graphes Alexandra Bac - Sébastien Fournier 12h de cours.

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1 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet1 Marc Gengler Cours de graphes Alexandra Bac - Sébastien Fournier 12h de cours 12h de TD des devoirs … et un examen

2 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet2 Bibliographie Tout ce qui contient - graphes, graphs. Internet - souvent, cest trop simplifié ou trop dense, - et pas toujours correct. Mes choix - Introduction to Algorithms, Leiserson et al. - Algorithms, Sedgewick. - Fundamental Algorithms, Knuth. - Graphes, Berge.

3 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet3 Les grandes lignes du cours Définitions de base Définitions de base Connexité Connexité Les plus courts chemins Les plus courts chemins Dijkstra et Bellmann-Ford Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres Arbres Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux Problèmes de flots Problèmes de flots Coloriage de graphes Coloriage de graphes Couplage Couplage Chemins dEuler et de Hamilton Chemins dEuler et de Hamilton Problèmes NP-complets Problèmes NP-complets

4 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet4 Définitions de base Il y a des sommets ! (vertex, vertices) Il y a des arêtes ! (edge) Il y a des arcs ! (arc)

5 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet5 Définitions de base Formellement : Il y a lensemble « V » des sommets. –Il y en a « n », cest-à-dire | V |. –La complexité est fonction du nombre de sommets. Il y a lensemble « E » des arcs et arêtes. –Cest une partie du produit cartésien V x V. –« E » peut être réflexif, irréflexif ou ni lun, ni lautre. Tous des couples ( a, a ) ! Aucun couple ( a, a ) !

6 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet6 Définitions de base ( a, b ) ssi ( b, a ) ! Si ( a, b ) avec a = b alors pas ( b, a ) ! / Formellement : Il y a lensemble « V » des sommets. –Il y en a « n », cest-à-dire | V |. –La complexité est fonction du nombre de sommets. Il y a lensemble « E » des arcs et arêtes. –Cest une partie du produit cartésien V x V. –« E » peut être réflexif, irréflexif ou ni lun, ni lautre. –« E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni - ni.

7 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet7 Définitions de base Formellement : Il y a lensemble « V » des sommets. –Il y en a « n », cest-à-dire | V |. –La complexité est fonction du nombre de sommets. Il y a lensemble « E » des arcs et arêtes. –Cest une partie du produit cartésien V x V. –« E » peut être réflexif, irréflexif ou ni lun, ni lautre. –« E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni - ni. Graphe non orienté ! Graphe orienté !

8 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet8 Définitions de base Si ( a, b ) et ( b, c ) alors (a, c ) ! Formellement : Il y a lensemble « V » des sommets. –Il y en a « n », cest-à-dire | V |. –La complexité est fonction du nombre de sommets. Il y a lensemble « E » des arcs et arêtes. –Cest une partie du produit cartésien V x V. –« E » peut être réflexif, irréflexif ou ni lun, ni lautre. –« E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni - ni. –« E » peut être transitive, ou non-transitive.

9 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet9 Définitions de base Formellement : –G = ( V, E ) –Un graphe est donné par les ensembles « V » et « E ». Il y a des multi-graphes qui sont correspondent au cas où « E » est un multi-ensemble (plusieurs arêtes et/ou arcs entre deux sommets). Il y a des graphes pondérés qui correspondent au fait lon attache des poids aux arcs ou arêtes (entiers par exemple)

10 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet10 Définitions de base Sous-graphe G dun graphe G : –Le graphe G = ( V, E ) est un sous-graphe du graphe G = ( V, E ), si : V V les sommets de G sont parmi ceux de G E E V x V les arcs et arêtes de G sont parmi ceux et celles de G et se limitent aux sommets de G. U U v

11 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet11 Définitions de base Représentation des données : Nous indexons (numérotons) les sommets. Nous représentons les arcs et les arêtes. Nous obtenons une matrice « M » de taille n x n qui comporte des valeurs binaires. M( a, b ) est vrai si et seulement si larc ( a, b ) existe !

12 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet12 Définitions de base Lexistence ou non de larc ( 2, 5 ) ! ! !

13 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet13 Définitions de base V F F F F F V V V V Les arêtes ( 2, 4 ) et ( 3, 5 ) sont symétriques ! V V Les arcs ( 1, 4 ) et ( 4, 1 ) donnent aussi une symétrie ! V V Les arcs ( 4, 3 ) et ( 6, 3 ) nont pas leur pendant symétrique ! ! ! Il faut n^2 bits ! FF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F La diagonale parle des couples ( u, u ) !

14 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet14 Définitions de base V F F F F F Pour des multi-graphes, nous remplaçons les booléens par des multiplicités ! V V V V V V Pour des graphes pondérés, nous remplaçons les booléens par des poids ! V V FF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F

15 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet15 Définitions de base V F F F F F V V V V V V V V FF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F Il faut ( | V | + | E | ) * log( | V | ) bits ! Parfois, le graphe est peu dense ! Nous mémorisons juste les indices des colonnes différentes de Faux !

16 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet16 Définitions de base V F F F F F Les voisins dun sommet « u » : Les voisins sortants : V+ ( u ) Les voisins entrants : V - ( u ) V V V V V V V+ ( u ) = { v V | ( u, v ) E } V - ( u ) = { v V | ( v, u ) E } V V FF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F Si le graphe est symétrique : V ( u ) = V+ ( u ) = V - ( u ) V - ( 3 ) = { 4, 5, 6 } V+ ( 4 ) = { 1, 2, 3 }

17 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet17 Définitions de base V F F F F F Le degré dun sommet « u » : Le degré sortant : D+ ( u ) Le degré entrant : D - ( u ) V V V V V V D+ ( u ) = | V+ ( u ) | D - ( u ) = | V - ( u ) | V V FF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F Si le graphe est symétrique : D ( u ) = D+ ( u ) = D - ( u ) Le degré dun graphe G = ( V, E ) : D( G ) = max { D ( u ) } u V

18 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet18 Définitions de base V F F F F F Le degré dun sommet « u » : Le degré sortant : D+ ( u ) Le degré entrant : D - ( u ) V V V V V V D+ ( u ) = | V+ ( u ) | D - ( u ) = | V - ( u ) | V V FF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F Si le graphe est symétrique : D ( u ) = D+ ( u ) = D - ( u ) Le degré dun graphe G = ( V, E ) : D( G ) = max { D ( u ) } u V

19 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet19 Définitions de base Les chemins : Un chemin, de longueur « n », du sommet « u » au sommet « v » est : ( w,..., w ) telle que –u = w et v = w –( w, w ) est une arête ou un arc du graphe. Le chemin est orienté sil comporte des arcs, non orienté sil est fait darêtes uniquement. 1n+1 ii+1 1n+1

20 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet20 Définitions de base Notations et propriétés sur les chemins : Nous noterons ( cest non standard ) : –( u, v ) larête ou larc, cest-à-dire le chemin de longueur 1. –( u ; v ) le chemin de longueur quelconque. Pour tout chemin non orienté ( u ; v ) du graphe G, nous pouvons construire le chemin ( v ; u ) dans G. Dans un graphe G, lexistence du chemin orienté ( u ; v ) nimplique pas lexistence dun chemin de retour ( v ; u ).

21 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet21 Définitions de base Cycles et circuits : Un chemin non orienté ( u ; v ) pour lequel « u » coïncide avec « v » est un cycle. Un chemin orienté ( w ; t ) pour lequel « w » coïncide avec « t » est un circuit. u = v w = t

22 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet22 Définitions de base Chemins simples : Un chemin ( u ; v ), où « u » est différent de « v », est simple si et seulement si aucun sommet nest répété dans la séquence : ( u,..., v ) u t Chemin simple ( u ; v ) v w Chemin non simple ( w ; t )

23 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet23 Définitions de base Lemme de König : De tout chemin non simple ( u ; v ), nous pouvons extraire un chemin de « u » vers « v » qui est simple et plus court que le chemin initial. ( u,..., w,..., w, t,..., v ) u v w t De tout cycle ou circuit nous pouvons extraire un cycle ou circuit élémentaire !

24 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet24 Définitions de base Lemme de König : De tout chemin non simple ( u ; v ), nous pouvons extraire un chemin de « u » vers « v » qui est simple et plus court que le chemin initial. ( u,..., w,..., w, t,..., v ) u v w t De tout cycle ou circuit nous pouvons extraire un cycle ou circuit élémentaire !

25 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet25 Définitions de base V F F F F F V V V V V V V V FF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F La composante connexe de « u » : La composante sortante : C+ ( u ) La composante entrante : C - ( u ) C+ ( u ) = { v V | ( u ; v ) existe } C - ( u ) = { v V | ( v ; u ) existe } Si G est symétrique : C ( u ) = C+ ( u ) = C - ( u ) C+ ( 4 ) = { 1, 2, 3, 4, 5 } C - ( 4 ) = { 1, 2, 4 }

26 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet26 Définitions de base Pour un graphe non orienté : La composante connexe de « u » est : –réflexive, vous pouvez rester où vous êtes ! –symétrique, les chemins de retour existent ! –transitive, vous pouvez concaténer des chemins ! Une composante connexe est une classe déquivalence ! Un graphe non orienté est partitionné en ses classes déquivalence !

27 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet27 Définitions de base V F F F F F V V V V V VFF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F F F Nous partons dune relation symétrique ! Nous fermons réflexivement ! La fermeture réflexive dune relation « R » est la plus petite relation réflexive qui contienne « R ».

28 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet28 Définitions de base V V V V V V VFF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F F F Nous partons dune relation symétrique ! Nous fermons réflexivement ! La fermeture réflexive dune relation « R » est la plus petite relation réflexive qui contienne « R ». V V V V V

29 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet29 Définitions de base V V V V V V VFF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F F F Nous partons dune relation symétrique ! Nous fermons réflexivement ! La fermeture transitive dune relation « R » est la plus petite relation transitive qui contienne « R ». V V V V V Nous fermons transitivement !

30 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet30 Définitions de base V V V V V V VF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F F Nous partons dune relation symétrique ! Nous fermons réflexivement ! La fermeture transitive dune relation « R » est la plus petite relation transitive qui contienne « R ». V V V V V Nous fermons transitivement ! V V

31 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet31 Définitions de base V V V V V V VF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F F Nous partons dune relation symétrique ! Nous fermons réflexivement ! V V V V V Nous fermons transitivement ! V V { 1, 2, 4 } est une composante connexe !

32 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet32 Définitions de base V V V V V V VF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F F Nous partons dune relation symétrique ! Nous fermons réflexivement ! V V V V V Nous fermons transitivement ! V V { 3, 5 } est une composante connexe !

33 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet33 Définitions de base V V V V V V VF FFF FF FF FFFF FF FF FF FF F F Nous partons dune relation symétrique ! Nous fermons réflexivement ! V V V V V Nous fermons transitivement ! V V { 6 } est une composante connexe !

34 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet34 Définitions de base V V V V V V VF FFF FF F F FFFF FF FF FF FF F F Nous partons dune relation symétrique ! Nous fermons réflexivement ! V V V V V Nous fermons transitivement ! V V Si nous renumérotons !

35 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet35 Définitions de base Principe de décomposition : Souvent, le traitement appliqué à un graphe non connexe consiste à appliquer ce même traitement indépendamment sur chacune des composantes connexes ! Dans ce cas, on ne perd rien à supposer G connexe ! ! !

36 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet36 Définitions de base Pour un graphe orienté : Un sous-ensemble « X » des sommets dun graphe orienté est fortement connexe si nous pouvons aller de nimporte quel sommet vers nimporte quel autre sommet. Proposition : –Une composante est fortement connexe si et seulement si chaque sommet se trouve sur un circuit. Preuve : –=> : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et donc ( u ; v ; u ). –<= : Soit ( u ; v ) de la forme ( u ; w ; v ). Pour « w » bien choisi, le circuit ( w ; v ; w ) existe ! Nous recommençons le raisonnement pour ( u ; w ). u vw

37 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet37 Définitions de base Pour un graphe orienté : Un graphe orienté est quasi-fortement connexe sil existe un sommet depuis lequel nous pouvons atteindre tous les autres sommets. Un tel sommet sera appelé « racine ».

38 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet38 Définitions de base Distances et diamètre : La distance « d ( u, v ) » entre un sommet « u » et un sommet « v » est : –la longueur du plus court chemin (forcément simple) de « u » vers « v », si celui-ci existe, –infini, sinon. Le diamètre dun graphe connexe est la distance entre ses sommets les plus éloignés : ( G ) = max { d ( u, v ) } u, v V

39 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet39 Définitions de base u v Chemin simple de longueur 4 ! Le plus court chemin est de longueur 3 : d ( u, v ) = 3 ( G ) = 4 ( G ) = 4

40 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet40 Définitions de base Ecarts, centre et diamètre : Lécart « e ( u ) » dun sommet « u » dun graphe connexe est : –la distance vers le sommet « v » le plus loin de « u » : e ( u ) = max { d ( u, v ) } Un sommet « u » est au centre de G si e ( u ) = min { e ( v ) } ( G ) = max { e ( v ) } v V

41 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet41 Définitions de base u e ( u ) = 3 v « v » est au centre car e ( v ) = 2 est minimal ! ( G ) = e ( w ) = 4 ( G ) = e ( w ) = 4 w

42 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet42 Définitions de base Lemme des plus courts chemins (De la Palisse) : Si le plus court chemin de « u » vers « v » passe par « w », alors la partie préfixe de « u » vers « w » est aussi le plus court chemin de « u » vers « w ». u vw Le plus court chemin de « u » à « v » ! Le plus court chemin de « u » à « w » !

43 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet43 Définitions de base Poids dun chemin : Dans un graphe pondéré, le poids dun chemin est la somme des poids de ses arcs et arêtes. Nous pouvons alors, de manière évidente, définir le chemin le plus léger de « u » vers « v ». Le chemin le plus léger (poids) ne coïncide pas forcément avec le chemin le plus court (nombre darcs et arêtes). Les poids ne vérifient pas forcément linégalité triangulaire !

44 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet44 Définitions de base Poids dun chemin : Dans un graphe pondéré, le poids dun chemin est la somme des poids de ses arcs et arêtes. Nous pouvons alors, de manière évidente, définir le chemin le plus léger de « u » vers « v ». Le chemin le plus léger (poids) ne coïncide pas forcément avec le chemin le plus court (nombre darcs et arêtes). Les poids ne vérifient pas forcément linégalité triangulaire !

45 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet45 Connexité – plus courts chemins Sur un graphe non orienté, nous allons calculer : –les composantes connexes ! Sur une composante connexe, nous allons calculer : –les plus courts chemins ! Nous rajoutons une pondération strictement positive et nous allons calculer : –les chemins les plus légers !

46 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet46 Connexité – plus courts chemins Nous utilisons trois algorithmes : –un algorithme par « vague », cest un parcours en largeur, –un algorithme par « multiplication de matrices », –lalgorithme de programmation dynamique « Floyd-Warshall » ! Pour chacun dentre eux, il sagit de savoir si : –il arrive à résoudre le problème en question, –quelle est la complexité du calcul ?

47 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet47 Connexité – plus courts chemins Connexité Plus courts Plus légers La vague MultiplicationFloyd-Warshall

48 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet48 Connexité – plus courts chemins Lalgorithme par vague : –Nous choisissons un sommet sec et le mouillons, –nous mouillons ses voisins, –nous mouillons les voisins des voisins,... Attention, dans un graphe il peut y avoir des cycles ! ! ! –Il faut éviter de tourner en rond ! –Ici, nous ne faisons rien pour un sommet déjà mouillé ! Complexité : ( | E | ) = O ( | V |^2 ) = O ( n^2 ) –Chaque arête est visitée une et une seule fois !

49 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet49 Connexité – plus courts chemins Connexité Plus courts Plus légers La vague MultiplicationFloyd-Warshall ( | E | ) = ( | E | ) = O ( | V |^2 ) O ( | V |^2 )

50 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet50 Connexité – plus courts chemins La multiplication de matrices : –Nous prenons une matrice avec des « 0 » et des « 1 », –nous la fermons réflexivement (des « 1 » sur la diagonale), –nous effectuons le calcul suivant : M * M ( i, j ) = max M ( i, k ) * M ( k, j ) Nous calculons : M - > M^2 - > M^4 - >... Propriété : M^( 2 * i ) = M^i * M^i contient tous les chemins de longueur au plus 2 * i. Il suffit de calculer M^k avec k >= | V | - 1 = n - 1 (le plus long chemin possible; et donc tous les chemins) ! Il suffit de O ( log( | V | ) ) élévations au carré ! k

51 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet51 Connexité – plus courts chemins Preuve de la propriété : –La matrice M fermée réflexivement contient tous les chemins de longueur 0 ou 1. –Hypothèse dinduction : M^i contient tous les chemins de longueur au plus i. M^( 2 * i ) ( u, v ) = 1 max_k M^i ( u, k ) * M^i ( k, v ) = 1 w tel que M^i ( u, w ) * M^i ( w, v ) = 1 M^i ( u, w ) = 1 et M^i ( w, v ) = 1 ( u ; w ) et ( w ; v ) sont de longueur au plus i ( u ; w ; v ) est de longueur au plus 2 * i. On obtient bien-sûr tous les chemins !

52 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet52 Connexité – plus courts chemins Connexité Plus courts Plus légers La vague MultiplicationFloyd-Warshall ( | E | ) = ( | E | ) = O ( | V |^2 ) O ( | V |^2 ) ( | V |^3 * ( | V |^3 * log( | V | ) ) log( | V | ) )

53 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet53 Connexité – plus courts chemins Floyd-Warshall : –La multiplication recalcule de façon répétée les chemins courts. Si M^i ( u, v ) = 1 : M^( 2 * i ) ( u, v ) = max_k M^i ( u, k ) * M^i ( k, v ) = M^i ( u, u ) * M^i ( u, v ) = M^i ( u, v ) = 1 La DP numérote les sommets de « 1 » à « n » et : –à létape (1), ne calcule que les chemins dont les intermédiaires sont dans lensemble { 1 }, –à létape (2), ne calcule que les chemins dont les intermédiaires sont dans lensemble { 1, 2 },...

54 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet54 Connexité – plus courts chemins Initialement : M (0) Etape 1 : M (1) Nous navons pas dessiné les boucles de la fermeture réflexive ! Etape 2 : M (2) Etape 3 : M (3) Petit à petit, les uns...

55 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet55 Connexité – plus courts chemins Initialement : M (0) Etape 1 : M (1) Nous navons pas dessiné les boucles de la fermeture réflexive ! Etape 2 : M (2) Etape 3 : M (3) Petit à petit, les autres...

56 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet56 Connexité – plus courts chemins Initialement : M (0) Etape 1 : M (1) Nous navons pas dessiné les boucles de la fermeture réflexive ! Etape 2 : M (2) Etape 3 : M (3) Petit à petit, finalement...

57 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet57 Connexité – plus courts chemins M ( u, v ) = M ( u, v ) (k) (k - 1) (k) M est donnée, elle comporte tous les chemins avec des intermédiaires parmi { 1,..., k - 1 }. M ( u, v ) est un chemin de « u » vers « v » avec des intermédiaires parmi { 1,..., k }. Soit le sommet « k » figure dans ce chemin, soit il ne le fait pas. u k v M ( u, k ) M ( k, v ) / k (k - 1) }}

58 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet58 Connexité – plus courts chemins M est la matrice dadjacence, fermée réflexivement. Elle comporte des « 0 » et des « 1 ». M ( u, v ) = max (, ) M est la matrice recherchée ! (0) M ( u, k ) * M ( k, v ) (k - 1) M ( u, v ) (k - 1) (n) (k) Pour k de 1 a | V | Pour u de 1 a | V | Pour v de 1 a | V | M_k ( u, v ) <-...

59 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet59 Connexité – plus courts chemins Connexité Plus courts Plus légers La vague MultiplicationFloyd-Warshall ( | E | ) = ( | E | ) = O ( | V |^2 ) O ( | V |^2 ) ( | V |^3 * ( | V |^3 * log( | V | ) ) log( | V | ) ) ( | V |^3 ) ( | V |^3 )

60 St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet60 Synthèse Définitions de base Connexité : –à laide de la vague, –à laide de la multiplication, –à laide de Floyd-Warshall.


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