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Analyse discriminante sur données fonctionnelles Gilbert Saporta Chaire de Statistique Appliquée & CEDRIC Conservatoire National des Arts et Métiers 292.

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1 Analyse discriminante sur données fonctionnelles Gilbert Saporta Chaire de Statistique Appliquée & CEDRIC Conservatoire National des Arts et Métiers 292 rue Saint Martin F Paris Cedex 03

2 CNAM, 18 juin Plan 1. Introduction 2. Régression MCO sur données fonctionnelles 3. Régression PLS fonctionnelle 4. Méthodes linéaires de discrimination 5. Prédiction anticipée 6. Conclusion et perspectives Travaux réalisés en collaboration avec C.Preda(Univ. Lille2) et D.Costanzo (Univ.Calabria)

3 CNAM, 18 juin Introduction Données fonctionnelles: courbes ou trajectoires dun processus stochastique X t Réponse Y Y numérique: régression Y catégorielle: classification supervisée, discrimination Intervalle de temps commun [0;T], variables centrées

4 CNAM, 18 juin Régression sur données fonctionnelles Exemple 1: Y= récolte X t = température p= R.A.Fisher (1924)

5 CNAM, 18 juin Données de très grande dimension: infinité non dénombrable (en principe..) de prédicteurs Combinaison linéaire « Integral regression » Au lieu dune somme finie

6 CNAM, 18 juin R.A.Fisher « The Influence of Rainfall on the Yield of Wheat at Rothamsted » Philosophical Transactions of the Royal Society, B, 213, (1924)

7 CNAM, 18 juin Discrimination sur données fonctionnelles Exemple 2: courbes de pétrissage pour biscuits (Danone Vitapole)

8 CNAM, 18 juin Après lissage par B-splines cubiques (Lévéder & al, 2004) Comment prédire la qualité des biscuits?

9 CNAM, 18 juin Discrimination sur données fonctionnelles Cas particulier de la régression sur données fonctionnelles pour deux classes Anticipation déterminer t*

10 CNAM, 18 juin Régression sur données fonctionnelles Y ; X t (E(Y)=E(X t ) =0 ) 2.1 Les mco Equations normales ou de Wiener-Hopf: C(t,s)= cov(X t, X s )=E(X t X s )

11 CNAM, 18 juin décomposition de Karhunen-Loeve facteurs: Composantes principales: Covariance avec une composante principale:

12 CNAM, 18 juin Theorème de Picard: unique si et seulement si: Généralement faux... Surtout quand n est fini car p >n. Ajustement parfait en minimisant:

13 CNAM, 18 juin Même quand est unique, « Léquation de Wiener-Hopf nest pas une équation intégrale ordinaire mais un accouplement entre fonction et distribution dont la solution est plus souvent une distribution quune fonction » Paul Kree, 1972 Nécessité de contraintes. (cf Green & Silverman 1994, Ramsay & Silverman 1997).

14 CNAM, 18 juin Régression sur composantes principales Approximation de rang q:

15 CNAM, 18 juin Résolution numérique: Equations intégrales non explicites dans le cas général: C(t,s) connu point par point Fonctions en escalier: nombre fini de variables et dindividus: opérateurs matriciels mais de grande taille Approximations par discrétisation du temps

16 CNAM, 18 juin Quelles composantes? Les q premières? Les q plus corrélées? Les composantes principales sont calculées sans tenir compte de la réponse Y

17 CNAM, 18 juin Régression PLS fonctionnelle Utiliser les composantes PLS au lieu des composantes principales Première composante PLS : Puis itération sur les résidus

18 CNAM, 18 juin Approximation de Y par X t dordre q: Convergence : Mais q doit être fini pour avoir une formule! q déterminé par validation croisée (Preda & Saporta, 2005)

19 CNAM, 18 juin Première composante PLS facilement interprétable: coefficients du même signe que r(y;x t ) Pas déquation intégrale Meilleur ajustement par PLS que par ACP: (De Jong 1993)

20 CNAM, 18 juin Discrimination linéaire 4.1 ADL fonctionnelle ADL : combinaison linéaire maximisant le rapport variance inter/variance intra Pour 2 groupes la FLD de Fisher sobtient en régressant Y codé sur X t eg (Preda & Saporta, 2005a)

21 CNAM, 18 juin La régression PLS avec q composantes donne une approximation de β(t) et du score:

22 CNAM, 18 juin Mesures de qualité Pour k=2 : courbe ROC et AUC Pour un seuil s, x est classé en 1 si d T (x)>s Sensibilité ou taux de vrais positifs: P(d T (x)>s/Y=1)=1-β 1- Spécificité ou 1-taux de vrais négatifs: P(d T (x)>s/Y=0)=

23 CNAM, 18 juin Courbe ROC En cas de discrimination parfaite : courbe confondue avec les côtés du carré Si distribution conditionnelles identiques, courbe confondue avec la diagonale

24 CNAM, 18 juin Courbe ROC invariante pour toute transformation monotone croissante Surface sous la courbe: mesure de performance permettant de comparer (partiellement) des modèles On tire une obs de G 1 et une de G 2 AUC estimée par la proportion de paires concordantes n c statistique de Wilcoxon-Mann-Whitney U+W= n 1 n n 1 (n 1 +1) AUC=U/n 1 n 2

25 CNAM, 18 juin Prédiction anticipée Chercher t*

26 CNAM, 18 juin Test dégalité via une procédure bootstrap Rééchantillonnage des données, stratifié pour conserver les proportions des classes A chaque réplication b on calcule AUC b (s) et AUC b (T) Test basé sur les différences (Student ou Wilcoxon pour données appariées) b =AUC b (s)- AUC b (T)

27 CNAM, 18 juin Applications 5.1 Données simulées Deux classes équiprobables W(t) brownien standard

28 CNAM, 18 juin

29 CNAM, 18 juin Avec B=50

30 CNAM, 18 juin Courbes de pétrissage Après un temps T= 480 de pétrissage on fabrique des biscuits de qualité Y 115 observations dont 50 « bonnes », 40 «mauvaises » et 25 « ajustables » 241 points de mesure équidistants Lissage avec B-splines cubiques, 16 nœuds

31 CNAM, 18 juin Performances pour Y={bon,mauvais} 100 séparations apprentissage test (60, 30) Taux derreur moyen avec composantes principales avec composantes PLS AUC moyen Fonction β(t)

32 CNAM, 18 juin Prédiction anticipée Avec B=50 t*=186 Il est donc possible de réduire de plus de moitié la durée détude.

33 CNAM, 18 juin Conclusions et perspectives La régression PLS permet deffectuer une prédiction linéaire de manière simple et efficace Nécessité de prétraitements pour données bruitées Prédiction anticipée via une procédure simple

34 CNAM, 18 juin En cours: Recherche de prédiction « on-line »: adapter t* pour chaque nouvelle courbe Comparaison avec régression logistique PLS fonctionnelle et autres approches

35 CNAM, 18 juin Références Aguilera A.M., Escabias, M.,Valderrama M.J. (2006) Using principal components for estimating logistic regression with high-dimensional multicollinear data, Computational Statistics & Data Analysis, 50, Barker M., Rayens W. (2003) Partial least squares for discrimination. J. of Chemometrics 17:166–173 Charles, C., (1977) Régression typologique et reconnaissance des formes. Ph.D., Université Paris IX. D. Costanzo, C. Preda, G. Saporta (2006) Anticipated prediction in discriminant analysis on functional data for binary response. In COMPSTAT2006, p , Physica-Verlag Hennig, C., (2000) Identifiability of models for clusterwise linear regression. J. Classification 17, 273–296. Lévéder C., Abraham C., Cornillon P. A., Matzner-Lober E., Molinari N. (2004) Discrimination de courbes de pétrissage. Chimiometrie 2004, 37–43. Preda C., Saporta G. (2005a) PLS regression on a stochastic process, Computational Statistics and Data Analysis, 48, Preda C., Saporta G. (2005b) Clusterwise PLS regression on a stochastic process, Computational Statistics and Data Analysis, 49, Preda C., Saporta G., Lévéder C., (2007) PLS classification of functional data, Computational Statistics, 22(2), Ramsay J.O., Silverman (1997) Functional data analysis, Springer


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