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Analyse discriminante sur données fonctionnelles Gilbert Saporta Chaire de Statistique Appliquée & CEDRIC Conservatoire National des Arts et Métiers 292.

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1 Analyse discriminante sur données fonctionnelles Gilbert Saporta Chaire de Statistique Appliquée & CEDRIC Conservatoire National des Arts et Métiers 292 rue Saint Martin F 75141 Paris Cedex 03 saporta@cnam.fr http://cedric.cnam.fr/~saporta

2 CNAM, 18 juin 20082 Plan 1. Introduction 2. Régression MCO sur données fonctionnelles 3. Régression PLS fonctionnelle 4. Méthodes linéaires de discrimination 5. Prédiction anticipée 6. Conclusion et perspectives Travaux réalisés en collaboration avec C.Preda(Univ. Lille2) et D.Costanzo (Univ.Calabria)

3 CNAM, 18 juin 20083 1. Introduction Données fonctionnelles: courbes ou trajectoires dun processus stochastique X t Réponse Y Y numérique: régression Y catégorielle: classification supervisée, discrimination Intervalle de temps commun [0;T], variables centrées

4 CNAM, 18 juin 20084 Régression sur données fonctionnelles Exemple 1: Y= récolte X t = température p= R.A.Fisher (1924)

5 CNAM, 18 juin 20085 Données de très grande dimension: infinité non dénombrable (en principe..) de prédicteurs Combinaison linéaire « Integral regression » Au lieu dune somme finie

6 CNAM, 18 juin 20086 R.A.Fisher « The Influence of Rainfall on the Yield of Wheat at Rothamsted » Philosophical Transactions of the Royal Society, B, 213, 89-142 (1924)

7 CNAM, 18 juin 20087 Discrimination sur données fonctionnelles Exemple 2: courbes de pétrissage pour biscuits (Danone Vitapole)

8 CNAM, 18 juin 20088 Après lissage par B-splines cubiques (Lévéder & al, 2004) Comment prédire la qualité des biscuits?

9 CNAM, 18 juin 20089 Discrimination sur données fonctionnelles Cas particulier de la régression sur données fonctionnelles pour deux classes Anticipation déterminer t* { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.fr/1696203/6/slides/slide_8.jpg", "name": "CNAM, 18 juin 20089 Discrimination sur données fonctionnelles Cas particulier de la régression sur données fonctionnelles pour deux classes Anticipation déterminer t*

10 CNAM, 18 juin 200810 2. Régression sur données fonctionnelles Y ; X t (E(Y)=E(X t ) =0 ) 2.1 Les mco Equations normales ou de Wiener-Hopf: C(t,s)= cov(X t, X s )=E(X t X s )

11 CNAM, 18 juin 200811 2.2 décomposition de Karhunen-Loeve facteurs: Composantes principales: Covariance avec une composante principale:

12 CNAM, 18 juin 200812 Theorème de Picard: unique si et seulement si: Généralement faux... Surtout quand n est fini car p >n. Ajustement parfait en minimisant:

13 CNAM, 18 juin 200813 Même quand est unique, « Léquation de Wiener-Hopf nest pas une équation intégrale ordinaire mais un accouplement entre fonction et distribution dont la solution est plus souvent une distribution quune fonction » Paul Kree, 1972 Nécessité de contraintes. (cf Green & Silverman 1994, Ramsay & Silverman 1997).

14 CNAM, 18 juin 200814 2.3 Régression sur composantes principales Approximation de rang q:

15 CNAM, 18 juin 200815 Résolution numérique: Equations intégrales non explicites dans le cas général: C(t,s) connu point par point Fonctions en escalier: nombre fini de variables et dindividus: opérateurs matriciels mais de grande taille Approximations par discrétisation du temps

16 CNAM, 18 juin 200816 Quelles composantes? Les q premières? Les q plus corrélées? Les composantes principales sont calculées sans tenir compte de la réponse Y

17 CNAM, 18 juin 200817 3. Régression PLS fonctionnelle Utiliser les composantes PLS au lieu des composantes principales Première composante PLS : Puis itération sur les résidus

18 CNAM, 18 juin 200818 Approximation de Y par X t dordre q: Convergence : Mais q doit être fini pour avoir une formule! q déterminé par validation croisée (Preda & Saporta, 2005)

19 CNAM, 18 juin 200819 Première composante PLS facilement interprétable: coefficients du même signe que r(y;x t ) Pas déquation intégrale Meilleur ajustement par PLS que par ACP: (De Jong 1993)

20 CNAM, 18 juin 200820 4. Discrimination linéaire 4.1 ADL fonctionnelle ADL : combinaison linéaire maximisant le rapport variance inter/variance intra Pour 2 groupes la FLD de Fisher sobtient en régressant Y codé sur X t eg (Preda & Saporta, 2005a)

21 CNAM, 18 juin 200821 La régression PLS avec q composantes donne une approximation de β(t) et du score:

22 CNAM, 18 juin 200822 4.3 Mesures de qualité Pour k=2 : courbe ROC et AUC Pour un seuil s, x est classé en 1 si d T (x)>s Sensibilité ou taux de vrais positifs: P(d T (x)>s/Y=1)=1-β 1- Spécificité ou 1-taux de vrais négatifs: P(d T (x)>s/Y=0)=

23 CNAM, 18 juin 200823 Courbe ROC En cas de discrimination parfaite : courbe confondue avec les côtés du carré Si distribution conditionnelles identiques, courbe confondue avec la diagonale

24 CNAM, 18 juin 200824 Courbe ROC invariante pour toute transformation monotone croissante Surface sous la courbe: mesure de performance permettant de comparer (partiellement) des modèles On tire une obs de G 1 et une de G 2 AUC estimée par la proportion de paires concordantes n c statistique de Wilcoxon-Mann-Whitney U+W= n 1 n 2 +0.5n 1 (n 1 +1) AUC=U/n 1 n 2

25 CNAM, 18 juin 200825 4. Prédiction anticipée Chercher t* { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.fr/1696203/6/slides/slide_24.jpg", "name": "CNAM, 18 juin 200825 4.", "description": "Prédiction anticipée Chercher t*

26 CNAM, 18 juin 200826 Test dégalité via une procédure bootstrap Rééchantillonnage des données, stratifié pour conserver les proportions des classes A chaque réplication b on calcule AUC b (s) et AUC b (T) Test basé sur les différences (Student ou Wilcoxon pour données appariées) b =AUC b (s)- AUC b (T)

27 CNAM, 18 juin 200827 5.Applications 5.1 Données simulées Deux classes équiprobables W(t) brownien standard

28 CNAM, 18 juin 200828

29 CNAM, 18 juin 200829 Avec B=50

30 CNAM, 18 juin 200830 5.2 Courbes de pétrissage Après un temps T= 480 de pétrissage on fabrique des biscuits de qualité Y 115 observations dont 50 « bonnes », 40 «mauvaises » et 25 « ajustables » 241 points de mesure équidistants Lissage avec B-splines cubiques, 16 nœuds

31 CNAM, 18 juin 200831 Performances pour Y={bon,mauvais} 100 séparations apprentissage test (60, 30) Taux derreur moyen 0.142 avec composantes principales 0.112 avec composantes PLS AUC moyen 0.746 Fonction β(t)

32 CNAM, 18 juin 200832 Prédiction anticipée Avec B=50 t*=186 Il est donc possible de réduire de plus de moitié la durée détude.

33 CNAM, 18 juin 200833 6.Conclusions et perspectives La régression PLS permet deffectuer une prédiction linéaire de manière simple et efficace Nécessité de prétraitements pour données bruitées Prédiction anticipée via une procédure simple

34 CNAM, 18 juin 200834 En cours: Recherche de prédiction « on-line »: adapter t* pour chaque nouvelle courbe Comparaison avec régression logistique PLS fonctionnelle et autres approches

35 CNAM, 18 juin 200835 Références Aguilera A.M., Escabias, M.,Valderrama M.J. (2006) Using principal components for estimating logistic regression with high-dimensional multicollinear data, Computational Statistics & Data Analysis, 50, 1905-1924 Barker M., Rayens W. (2003) Partial least squares for discrimination. J. of Chemometrics 17:166–173 Charles, C., (1977) Régression typologique et reconnaissance des formes. Ph.D., Université Paris IX. D. Costanzo, C. Preda, G. Saporta (2006) Anticipated prediction in discriminant analysis on functional data for binary response. In COMPSTAT2006, p. 821-828, Physica-Verlag Hennig, C., (2000) Identifiability of models for clusterwise linear regression. J. Classification 17, 273–296. Lévéder C., Abraham C., Cornillon P. A., Matzner-Lober E., Molinari N. (2004) Discrimination de courbes de pétrissage. Chimiometrie 2004, 37–43. Preda C., Saporta G. (2005a) PLS regression on a stochastic process, Computational Statistics and Data Analysis, 48, 149-158. Preda C., Saporta G. (2005b) Clusterwise PLS regression on a stochastic process, Computational Statistics and Data Analysis, 49, 99-108. Preda C., Saporta G., Lévéder C., (2007) PLS classification of functional data, Computational Statistics, 22(2), 223-235 Ramsay J.O., Silverman (1997) Functional data analysis, Springer


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