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Chapitre 2 Les indices. Chapitre 2 : Les indices 1. Définition et propriétés En sciences sociales, les grandeurs varient dans lespace et dans le temps.

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1 Chapitre 2 Les indices

2 Chapitre 2 : Les indices 1. Définition et propriétés En sciences sociales, les grandeurs varient dans lespace et dans le temps : -Dans le temps, puisquelles prennent des valeurs différentes à différentes dates. -Dans lespace, puisquelles prennent des valeurs différentes dune région à lautre. Ce nest pas toujours facile de pouvoir comparer des grandeurs. EX :

3 Chapitre 2 Pour faciliter la comparaison, on a recours à la notion dindice. Définition : Un indice, cest un rapport positif ou nul Il existe des indices synthétiques, qui sont des rapports obtenus avec des grandeurs complexes (composés de plusieurs indices simples). Ex: lindice des prix est un indice qui résume lévolution des prix de grandeurs hétérogènes (prix du chocolat et prix dun vidéoprojecteur). La difficulté est lagrégation de ces grandeurs si différentes.

4 Chapitre 2 2. Les indices simples Notons la date t=0 : date de base (situation de base) et la date t : date ou période courante. Soit deux valeurs V0 (valeur de départ) et Vt (valeur darrivée), on appelle -indice simple ou élémentaire - indice simple base 100 :

5 Chapitre 2 Exemple : Evolution dun prix entre 2000 et 2005 (base 100 en 2000)

6 Chapitre 2 Exemple : Rapport dun prix entre la Région parisienne (RP) et la France entière(FR) (base 100 pour lensemble de la France)

7 Chapitre 2 3. Décomposition dindices

8 Chapitre Propriétés des indices élémentaires - La circularité entre t=1 et t=2 En généralisant :

9 Chapitre 2 On se ramène à lexpression précédente : Pour comparer deux grandeurs simples, il suffit de faire le rapport de leurs indices. Généralisation :

10 Chapitre 2 - La réversibilité Quand on inverse le rôle de la base et de la période courante, lindice élémentaire sinverse à près.

11 Chapitre 2 Propriété secondaire : Produits dindices Si a=bxc EX : RT=PxQ (indice des prix et indice des quantités=indice de la recette totale)

12 Chapitre 2 4. Les indices synthétiques Un indice synthétique résume une série dindices élémentaires Les indices synthétiques les plus utilisés Valeur=prix x quantité Lindice de la valeur sécrit :

13 Chapitre 2 Le problème de cet indice, cest quon ne peut attribuer la cause de lévolution : ce peut être toute combinaison des prix ou des quantités. Il faut ainsi éliminer linfluence des prix pour calculer un indice des quantités et éliminer linfluence des quantités pour calculer un indice des prix. Par exemple pour un indice simple des prix dun bien :

14 Chapitre 2 Indice synthétique des prix Indice synthétique des quantités

15 Chapitre 2 Exemple de calculs dindices synthétiques (de prix et de quantités) avec trois biens

16 Chapitre 2 1.Calculer lindice dévolution de la valeur de B1 2.Calculer lindice synthétique des prix 3.Calculer lindice synthétique des quantités

17 Chapitre 2 Exemple de la propriété de circularité : trouver IND2007/2006 ou

18 Chapitre 3 Le modèle Linéaire Simple (La méthode des moindres carrés ordinaires)

19 1. PRESENTATION DU MODELE Définition La régression est loutil le plus utilisé pour estimer une équation linéaire. La régression permet de décrire et dévaluer la relation entre une variable dépendante et une (ou plusieurs) variable(s) indépendante(s). La variable dépendante est définie par y et la variables indépendantes par x. –Dans le modèle de régression simple, k=1. –Dans le modèle de régression multiple, k>1.

20 I. PRESENTATION DU MODELE Définition Quelques noms pour les variables y et x. yx variable dépendantevariable indépendante variable de contrôle variable à expliquervariable explicative (régresseur) Dans une régression, la variable y et la ou les variables x sont traitées de manière asymétrique. –La variable y est supposée être aléatoire ou stochastique. Elle possède une distribution de probabilité. –La ou les variables x sont supposée(s) avoir des valeurs fixes dun échantillon à lautre (elles ne sont pas aléatoires).

21 I. PRESENTATION DU MODELE Définition Dans le modèle de régression simple, il ny a quune une seule variable x (k=1). Le modèle de régression linéaire simple peut être spécifié de la manière suivante: –Pour des données temporelles (t=1,…,n) –y t = a0 + a1x t + ε t –Pour des données en coupe transversale (i=1,…,N) –y i = a0 + a1x i + ε i

22 I. PRESENTATION DU MODELE Le Rôle de La relation spécifiée entre y et x ne peut pas être déterministe. –Il nous est impossible de connaître le modèle vrai de régression pour y: E(y|x) = a 0 + a 1 x : Il est (souvent) impossible (ou trop coûteux) dobserver la totalité de la population de Y et X. Comme le modèle spécifié ne sera jamais rigoureusement exact, un terme aléatoire (aussi appelé terme derreur) est ajouté. –Ce terme est et restera inconnu. On ne pourra en obtenir quune estimation (e).

23 I. PRESENTATION DU MODELE Le Rôle de Le terme aléatoire synthétise: 1.Une erreur de spécification La variable explicative peut ne pas être suffisante pour rendre compte de la totalité du phénomène expliqué. (Le terme aléatoire synthétise lensemble des informations non explicitées dans le modèle) 2.Une erreur de mesure Les données ne représentent pas exactement le phénomène. Il y a des données manquantes. 3.Une erreur de fluctuation déchantillonnage Les observations comprises dans léchantillon, et donc les estimations, peuvent être différentes.

24 I. PRESENTATION DU MODELE Conséquence du terme aléatoire Comme les valeurs vraies de a 0 et a 1 ne sont pas connues, elles doivent être estimées. –On dérive les formules des estimateurs de a 0 et a 1, notés respectivement â 0 et â 1. Lestimation de a est la valeur particulière que prend lestimateur â pour un échantillon donné. Le modèle de régression linéaire estimé peut sécrire: –y = â 0 + â 1 x + e â 0 et â 1 possèdent une distribution de probabilité : ( a 0 et a 1 sont des constantes). â 0 et â 1 suivent les mêmes lois de distribution que y et e.

25 II. ESTIMATION DES PARAMETRES La méthode des MCO (moindres carrés ordinaires) La méthode la plus souvent utilisée pour estimer les paramètres a 0 et a 1 est la méthode des Moindres Carrés Ordinaires (MCO/OLS). –Elle consiste à ajuster un nuage de points à laide dune droite en minimisant la distance au carré entre chaque valeur observée et la droite. –Cette distance mesure le résidu (lerreur/la partie non expliquée) pour chaque observation:

26 De manière analytique, il sagit de minimiser la Somme des Carrés des Résidus (SCR/RSS), c.à.d. : Minimisons la fonction L, évaluée en â 1 et â 2, en dérivant par rapport à chacun des deux paramètres:

27 II. ESTIMATION DES PARAMETRES La méthode des MCO On obtient lestimateur de a 0 à partir de la première équation comme suit :

28 Calcul des estimateurs Lestimateur de a 1 est obtenu à partir de la seconde comme suit:

29 Calcul des estimateurs On formule lestimateur de a 1 en terme de variance-covariance :

30 Calcul des estimateurs En remplaçant A et B par leur valeur, on obtient: Car en divisant chaque terme par (n-1), on a

31 Calcul des estimateurs Le coefficient de régression mesure limpact dune variation (c.à.d. leffet propre/partiel) de la variable indépendante sur la variable dépendante. â 1 = Y/ X (coefficient de régression de Y sur X)

32 Régression corrélation 1.En matière de corrélation, les variables sont traitées de manière SYMETRIQUE (elles sont aléatoires). –Le coefficient de corrélation, ne dépend pas de la manière dont sont traitées X et Y. Si y = a 0 + a 1 x + e, Y,X = Si x = a 0 + a 1 y + e, X,Y = 2.â 1, le coefficient de régression de y sur x, nest pas égal à, le coefficient de corrélation entre y et x.

33 Régression corrélation

34 ANALYSE DE LA VARIANCE Léquation fondamentale de lanalyse de la variance est: SCT = Somme des Carrés Totaux = variabilité totale (SST = Total Sum of Squares). SCR = Somme des Carrés des Résidus = variabilité non expliquée (SSR = Residual Sum of Squares). SCE = Somme des Carrés Expliqués = variabilité expliquée (SSE = Explained Sum of Squares).

35 ANALYSE DE LA VARIANCE Plus la variabilité expliquée (SCE) est proche de la variabilité totale (SCT), meilleur est lajustement du nuage de points par la droite des MCO. => La variabilité de y autour de sa moyenne est bien expliquée par la variable explicative. Une mesure de la qualité dajustement est le coefficient de détermination, R 2 (avec R=ρ, le coefficient de corrélation linéaire). R 2 =SCE/SCT R 2 =1-(SCR/SCT)

36 ANALYSE DE LA VARIANCE Les cas limites où R 2 =0 et R 2 =1

37 Exercice 1 Calcul dun « trend » par les MCO. Estimer léquation y t = a0 + a1x t + ε t avec les données suivantes.

38 Exercice 2 La relation prix/demande.

39 Exercice 2 1.Passer en Log. On pose u=log(x) et v=log(y) 2.Calculer le coefficient de corrélation linéaire 3.Calculer les estimateurs de a et b en estimant V=aU+b+ε 4.Calculer la quantité demandé pour un prix égal à 75

40 Exercice 3 Corrélation et équation danalyse de la variance

41 Exercice 3 1.Calculer le coefficient de corrélation linéaire 2.Calculer les estimateurs de a et b en estimant Y=aX+b+ε 3.Calculer les variance expliquées et résiduelles

42 Exercice 3


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