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Les principaux résumés de la statistique Les résumés de position et de valeur centrale DESCRIPTIVE Année 2005-2006 LA STATISTIQUE.

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1 Les principaux résumés de la statistique Les résumés de position et de valeur centrale DESCRIPTIVE Année LA STATISTIQUE

2 MENU GENERAL COURS EXERCICE Veuillez cliquer sur lun des boutons Fractal FIN

3 Menu du cours Veuillez cliquer sur lun des boutons MENU GENERAL MENU GENERAL Forme des distributions Dispersion Valeurs centralesFractal

4 Menu des résumés de positions et de valeurs centrales Médiane Mode Moyenne Arithmétique Moyenne Géométrique Moyenne Harmonique Moyenne quadratique Veuillez cliquer sur lun des boutons RETOUR MENU RETOUR MENU Quartiles Déciles et centiles Conditions de YULEFractal

5 Propriétés souhaitables RETOUR MENU RETOUR MENU Les distributions statistiques à une variable sont représentées par un petit nombre d'indicateurs (résumés numériques) qui doivent être représentatifs de la distribution statistique. Il est souhaitable que les paramètres ou résumés numériques possèdent certaines propriétés, appelées conditions de Yule : être définis de manière objective, dépendre de toutes les observations, avoir une signification concrète, être facilement calculables et interprétables, être peu sensibles aux fluctuations d'échantillonnage, se prêter aisément aux calculs algébriques.

6 La médiane La médiane X M d'une distribution statistique est la valeur de la variable qui partage l'effectif total de la distribution en deux parties égales, telles que la première moitié des observations soit inférieures (ou égales) à X M et la seconde moitié soit supérieures (ou égales) à X M. Définition RETOUR MENU RETOUR MENU Voir exercice Voir exercice

7 La médiane (suite) Si (x i, F i (x)) est la distribution des fréquences cumulées d'une variable statistique, alors la médiane est donnée par l'équation : F(X M ) = 1/2 Si la variable est continue on effectue une interpolation à lintérieure de la classe médiane. Calcul de la médiane RETOUR MENU Voir exercice Voir exercice

8 Les quartiles, déciles et centiles Les quartiles Q1, Q2, Q3, sont les valeurs d'une série ou d'une distribution statistique rangée par ordre croissant (ou décroissant) qui partagent l'effectif total en quatre parties égales. Si (x i, F i (x)) représente la distribution de fréquences relatives cumulées d'une variable statistique, alors les quartiles sont donnés par les équations : F(Q1) = 0.25 F(Q2) = 0.5 F(Q3) = 0.75 Le quartile Q2 d'une variable statistique est égale à la médiane X M Définition des quartiles RETOUR MENU RETOUR MENU

9 Les quantiles (suites) Les déciles, notés D1, D2, D3,..., D9 (resp. les centiles ou percentiles, souvent notés C1, C2, C3,..., C99 ) partagent l'effectif total d'une série ou d'une distribution statistique rangée par ordre croissant (ou décroissant) en dix (resp. cent) parties égales. Si l'on reprend les notations ci-dessus nous avons la relation : C50 = D5 = Q2 = XM ; C10 = D1 ; C90 = D9. Définition des déciles et centiles RETOUR MENU RETOUR MENU

10 Le mode Définition restrictive Le mode Xm d'une série ou d'une distribution statistique est la valeur de la variable pour laquelle l'effectif est le plus élevé ; on parle alors de mode absolu. Définition élargie Le mode Xm d'une série ou d'une distribution statistique est la valeur de la variable dont l'effectif ou la fréquence est encadré par deux valeurs qui lui sont inférieures ; on parle alors de mode relatif. Lorsqu'une série ou une distribution statistique possède un seul mode on dit que la série ou la distribution est unimodale, en possède plusieurs, on dit qu'elle est multimodale RETOUR MENU RETOUR MENU Voir exercice Voir exercice

11 Le mode (suite) Lorsque les variables sont groupées en classes il est parfois utile de remplacer la notion de classe modale par la notion de mode, pour cela on effectue une interpolation linéaire à l'intérieur de la classe modale ; la détermination se fait de la façon suivante : Calcul du mode RETOUR MENU Voir exercice Voir exercice

12 La moyenne arithmétique Soit x 1,..., x i,..., x r les r observations numériques d'une variable statistique X et soit les effectifs respectifs n 1,..., n i,..., n r de ces r valeurs numériques avec : Définition RETOUR MENU RETOUR MENU Voir exercice Voir exercice

13 La moyenne géométrique Soit x 1,..., x i,..., x r les r observations numériques d'une variable statistique X et soit les effectifs respectifs n 1,..., n i,..., n r de ces r valeurs numériques avec : Définition RETOUR MENU RETOUR MENU

14 La moyenne harmonique Soit x 1,..., x i,..., x r les r observations numériques d'une variable statistique X et soit les effectifs respectifs n 1,..., n i,..., n r de ces r valeurs numériques avec : Définition RETOUR MENU RETOUR MENU

15 La moyenne quadratique Soit x 1,..., x i,..., x r les r observations numériques d'une variable statistique X et soit les effectifs respectifs n 1,..., n i,..., n r de ces r valeurs numériques avec : Définition RETOUR MENU RETOUR MENU

16 Menu des résumés des valeurs de dispersion Étendue Variance – écart type Veuillez cliquer sur lun des boutons RETOUR MENU RETOUR MENUFractal

17 Létendue Les résumés de dispersion L'étendue est la mesure la plus simple de la dispersion (ou variabilité ou étalement) des observations faites sur une variable. L'étendue ne dépend que très indirectement de l'ensemble des valeurs x i de la variable X. L'étendue est très influencée par les valeurs extrêmes de la variable statistique qui sont parfois aberrantes, ce qui en fait une mesure peu utilisée. Définition RETOUR MENU RETOUR MENU

18 La variance et lécart-type Définition Soit X une variable statistique de distribution (x i, n i ) où, on appelle variance (mesure de dispersion ou de variabilité), notée, la moyenne arithmétique pondérée des carrés des écarts à la moyenne arithmétique pondérée : On appelle écart-type de la variable X, noté, la racine carrée de la variance : Voir exercice Voir exercice RETOUR MENU RETOUR MENU

19 Les moments non-centrés dordre r Soit la distribution statistique (x i, n i ) où, on appelle moment non centré dordre r de la variable statistique X,la quantité définie par : Définition Voir exercice Voir exercice RETOUR MENU RETOUR MENU

20 Les moments centrés dordre r Soit la distribution statistique (x i, n i ) où, on appelle moment non centré dordre r de la variable statistique X,la quantité définie par : Définition Voir exercice p=2 Voir exercice p=2 Voir exercice p=3 Voir exercice p=3 Voir exercice p=4 Voir exercice p=4 RETOUR MENU RETOUR MENU

21 Menu des caractéristiques asymétrie et daplatissement Moment non centré Moment centré Asymétrie Aplatissement Veuillez cliquer sur lun des boutons Présentation RETOUR MENU RETOUR MENUFractal

22 Les caractéristiques de forme RETOUR MENU RETOUR MENU Les différents indicateurs dasymétrie et daplatissement permettent en premier lieu la comparaison entre les distributions statistiques. lasymétrie dune distribution peut être approchée par une comparaison entre le mode, la médiane et la moyenne arithmétique (vision empirique). laplatissement peut être approchée par létude des observations aux alentours du mode. Plus le nombre dindividus ayant une valeur proche du mode de la distribution, plus la courbe sera concentrée et plus laplatissement sera faible.

23 Le coefficient d'asymétrie de Pearson L'approche de la mesure de lasymétrie est réalisée grâce à la notion de moment centré. Définition Si A P est nul alors la distribution est symétrique. Si A P est positif alors il y a asymétrie. Le signe est donné par le moment centré dordre 3 Voir asymétrie de Fisher Voir exercice Voir exercice RETOUR MENU RETOUR MENU

24 Le coefficient d'asymétrie de Fisher L'approche de la mesure de lasymétrie pour Fisher est réalisée à partir de la définition de Pearson. Définition Sil est calculé directement, alors il est possible décrire : Si A F = 0 alors la distribution est symétrique, Si A F > 0 alors la distribution est étalée vers la droite, Si A F < 0 alors la distribution est étalée vers la gauche. RETOUR MENU RETOUR MENU

25 Le coefficient d'aplatissement de Pearson Si AP P = 3 alors la distribution est dite « normale » ou mésokurtique (de mêmes paramètres),, Si AP P < 3 alors la distribution est dite plus aplatie que la « normale » ou platykurtique (de mêmes paramètres),, Si AP P > 3 alors la distribution est dite moins aplatie que la « normale » ou leptokurtique (de mêmes paramètres). L'approche de la mesure de laplatissement est réalisée grâce à la notion de moment centré. Définition Voir aplatissement de Fisher RETOUR MENU RETOUR MENU

26 Le coefficient d'aplatissement de Fisher L'approche de la mesure de lasymétrie pour Fisher est réalisée à partir de la définition de Pearson. Définition Si AP P = 0 alors la distribution est dite « normale » ou mésokurtique (de même paramètres), Si AP P < 0 alors la distribution est dite plus aplatie que la « normale » ou platykurtique (de même paramètres), Si AP P > 0 alors la distribution est dite moins aplatie que la « normale » ou leptokurtique (de même paramètres). Voir exercice Voir exercice RETOUR MENU RETOUR MENU

27 Menu exercice Veuillez cliquer sur lun des boutons Les calculs Lhistogramme Les effectifs Le mode La médiane La moyenne La variance Les moments - m Le moment – Asymétrie Le moment – Aplatissement MENU COURS MENU COURSFractal

28 Présentation dun exercice Variable statistique continue groupée en classes LE TABLEAU DES CALCULS Lensemble de ces sommes permettent de déterminer les principaux résumés : moyenne, variance, moments, asymétrie et aplatissement r est le nombre de classes MENU EXERCICE x i est la borne de classen i est leffectif de classe

29 Lhistogramme Lamplitude de base est de 5 unités MENU EXERCICE

30 La somme des effectifs ou effectif total Cette somme correspond au nombre dindividus de léchantillon ou qui ont un age entre 20 ans et plus de 75 ans Cest leffectif total. MENU EXERCICE n i est leffectif de classe

31 Le mode (regroupement en classe) Le mode X M d'une série ou d'une distribution statistique est la valeur de la variable pour laquelle l'effectif est le plus élevé. Ici la distribution est unimodale. FAIRE LE CALCUL SUR LES EFFECTIFS CORRIGES Le mode nexiste pas. Nous avons un intervalle modal. Néanmoins, nous pouvons calculer une valeur qui par définition est obtenue par : La classe modale MENU EXERCICE

32 La médiane La classe médiane La médiane X m d'une distribution statistique est la valeur de la variable qui partage l'effectif total de la distribution en deux parties égales, telles que la première moitié des observations soit inférieures (ou égales) à X m et la seconde moitié soit supérieures (ou égales) à X m. Effectifs cumulés croissants Définition MENU EXERCICE

33 La moyenne arithmétique Le rapport de ces deux quantités donne la moyenne arithmétique de la distribution statistique On obtient la moyenne arithmétique : MENU EXERCICE

34 La variance ou dispersion Le rapport de ces deux quantités donne la variance de la distribution statistique. On obtient : Voir également moment centré 2 MENU EXERCICE

35 Moments non centré dordre 2, 3 et 4 Moment non centré dordre s MENU EXERCICE

36 Le moment centré dordre 2 Le moment centré dordre : correspond à la variance La variance est un moment non centré dordre 2 moins un moment non centré dordre 1 élevé au carré. MENU EXERCICE

37 Le moment centré dordre 3 Calcul En fonction des moments non centrés Solution MENU EXERCICE MENU EXERCICE

38 Le moment centré dordre 4 En fonction des moments non centrés Calcul Solution MENU EXERCICE

39 Asymétrie de Pearson Le coefficient de Pearson Coefficient sans dimension Calcul Décision : La distribution est asymétrique étalée vers la droite. Le coefficient est positif (asymétrie) et le moment centré dordre 3 est positif (étalée vers la droite ou oblique à gauche) MENU EXERCICE

40 Aplatissement de Fisher Le coefficient de Fisher Coefficient sans dimension Calcul Décision : La distribution est plus aplatie que la loi normale de mêmes paramètres. La distribution est « platykurtique ». Les paramètres sont ici : MENU EXERCICE

41 Fin des définitions & Graphiques MENU GENERAL MENU GENERAL Année LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE


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