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Autres LOIS de PROBABILITES Professeur Pascale FRIANT-MICHEL > Faculté de Pharmacie

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Présentation au sujet: "Autres LOIS de PROBABILITES Professeur Pascale FRIANT-MICHEL > Faculté de Pharmacie"— Transcription de la présentation:

1 Autres LOIS de PROBABILITES Professeur Pascale FRIANT-MICHEL > Faculté de Pharmacie

2 I - INTRODUCTION I - INTRODUCTION > II - LOI du x2 (1) Chapitre - Autres Lois de Probabilités Les autres LOIS de PROBABILITES Permet, en particulier, de comparer des distributions 1. Définition Soient X 1, X 2,... X, lois normales centrées réduites N (0, 1) indépendantes II – LOI du 2 (lettre grecque : khi, on dit : loi du khi deux) - Grand nombre de lois de probabilités - Etude de trois lois très utilisées dans les tests statistiques de formulation connue mais complexe =>seules leurs principales caractéristiques seront données P. FRIANT-MICHEL

3 II - LOI du 2 (2) 2. Propriétés a) 2 0, + c) représentation graphique de la loi de 2 b) distribution de 2 continue. famille de courbes de 2 suivant le nombre de degrés de liberté La loi de 2 à degrés de liberté est la loi de la variable aléatoire somme : 2 = Remarque : 2 à 1 degré de liberté est le carré dune variable normale centrée réduite. courbe en cloche unimodale asymétrique avec étalement vers la droite (pour les faibles valeurs de ) 1. Définition (2) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

4 II - LOI du 2 (3) d)En pratique : tables de la distribution de 2 tables établies par PEARSON 0 2 = 15 P ( 2 ) = 1 0,05 0,15 0,10 = 4. La loi de 2 tend vers la loi normale centrée réduite quand Les deux lois deviennent quasiment identiques quand > Propriétés (2) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

5 II - LOI du 2 (4) 3. Table du 2 (la plus utilisée). table à double entrée (du fait de la dépendance en ) La valeur de est lue en ligne, celle de en colonne, la valeur recherchée 2 se situant à lintersection. donne, en fonction du nombre de degrés de liberté, les valeurs limites 2 du 2 correspondant au coefficient de risque 0 2 P ( 2 ) 2 P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

6 II - LOI du 2 (5) 0, ,050,010 13, ? Exemple :pour = 8 et = 0,05 Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque : = 5 %soitpour = 8 2 5% = 15,51 = 1 %" 2 1% = 20,09 3. Table du 2 (2) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

7 II - LOI du 2 (6) II - LOI du 2 (6) > III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (1) Permet, en particulier, de comparer les moyennes déchantillons 1. Définition La loi de STUDENT notée t s à degrés de liberté est le quotient dune loi normale centrée réduite N (0, 1) par la racine carrée dune loi du khi 2 à degrés de liberté divisée par ; les deux lois étant indépendantes t s = III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER Remarques : - pour toute la 1 ère ligne, les valeurs sont celles du carré de la variable normale centrée réduite t - la table sarrête pour = 30, au-delà on prend lapproximation de la loi normale et on utilise la table de t 3. Table du 2 (3) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

8 III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (2) 2. Propriétés a)t s -, + [ b)représentation graphique de la loi de STUDENT. courbe en cloche symétrique, plus aplatie que la courbe de Gauss (courbe hyper-normale). dautant plus aplatie que est plus petit 0 t courbe normale courbe hyper-normale P (t) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

9 III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (3). La loi de STUDENT tend vers la loi normale centrée réduite quand Les deux lois deviennent quasiment identiques quand > 30. famille de distributions de t s suivant le nombre de degrés de liberté 0 t st s = 40 = 3 = 10 P (t s ) 2. Propriétés (2) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

10 III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (4) 3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (la plus utilisée) c)En pratique : tables de la variable t s. similaire à celle de lécart-réduit (loi normale). table à double entrée (du fait de la dépendance en ) 0 - t s t st s / 2 La valeur de est lue en ligne, celle de en colonne, la valeur recherchée t s se situant à lintersection 2. Propriétés (3) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

11 III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (5) 0, ,050, ? ,1261,9603,291 Exemple :pour = 10 et = 0,05 Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque : = 5 %soitt s = 2,228(t = 1,96 pour loi normale) = 1 %t s = 3,169(t = 2,58") 3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (2) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

12 Permet, en particulier, de comparer les variances déchantillons 1. Définition Soient 2 1 et 2 2 deux lois indépendantes du 2 à 1 et 2 degrés de liberté respectivement La loi de SNEDECOR à 1 et 2 degrés de liberté notée F 1, 2 (en hommage à Fisher) est définie comme le quotient : F 1, 2 = 2. Propriétés a) F 0, + b) attention : F 1, 2 F 2, 1 P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (1)

13 IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (2) c) représentation graphique de la loi de SNEDECOR. courbes en cloche unimodale asymétrique avec étalement vers la droite Remarque : quand on échange les degrés de liberté, on démontre que lon transforme le calcul de la probabilité par le calcul de son complémentaire. dépendance avec les deux degrés de liberté 1 et 2 =>famille de courbes de SNEDECOR 0 F P (F) ( 1, 2 ) = (2, 5) ( 1, 2 ) = (10, 10) ( 1, 2 ) = (5, 2) 2. Propriétés (2) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

14 IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (3) d)En pratique : tables de la distribution de F 3. Table de SNEDECOR. table à triple entrée (du fait de la double dépendance en degrés de liberté)=> une table par valeur de. similaire à celle de 2 0 F P (F) F. pour chaque, table à double entrée ( 1 et 2 ) La valeur de 1 est lue en ligne, celle de 2 en colonne, la valeur recherchée F se situant à lintersection 2. Propriétés (3) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

15 IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (4) ? ,841,571,00 Exemple :pour = 0,05, 1 = 20 et 2 = 10 Reportons-nous à la table = 5% Soit F 20,10 = 2,77 3. Table de SNEDECOR (2) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

16 IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (5) Quand les valeurs ne sont pas dans les tables, on procède par interpolation 3. Table de SNEDECOR (3) P. FRIANT-MICHEL Chapitre - Autres Lois de Probabilités

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